2026年暑假七升八数学培优训练：第七章 相交线与平行线

**基本信息** 以相交线与平行线为核心，通过基础辨析、动态探究及实际应用，构建从概念到综合的递进训练，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-6题|命题判断、三线八角识别|从对顶角、垂线等概念到平行线判定条件的直接应用| |性质应用|选择2/5/7题、填空12/14/16题|平移面积、角度计算、直线位置规律|结合平移性质、角平分线定义，强化性质与判定的逻辑推导| |动态探究|填空11/15题、选择9题|三角板旋转、多角平分线综合|通过旋转、动点问题，深化动态情境下的几何关系分析| |实际应用|选择10题、解答18题|光线反射、路灯支架|将平行线性质迁移到实际场景，培养应用意识与模型观念|

暑假培优训练 七年级数学（人教版)下册 第七章相交线与平行线 一、选择题 1.下列语句中真命题的个数是( ①两直线平行，同旁内角相等： ②命题“对顶角相等”是真命题； ⊥ba⊥cb∥c ③若 ,则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 H 2如图，将1BC海BC 沿的方向平移到△DEF AB=12 DH=3 的位置， BC=16 平移距离为4，则阴影部分的面积为( A.35 B.56 C.42 D.64 ABIICD∠A D的平分线C交1B DE CA 3.如图，直线 于点卫，连结并延长交“的延 长友RxD分2CE,则Fi与FE 的数量关系为( A.∠FEA=2∠FAE 2∠FEA+∠FAE=180° B C2∠PE4+5FME=180 Dr:AE-如 人43E E BC 01=8,@2+5=80,③4=B, 4.如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；② ∠D+∠BCD=180° AD∥BC ④ ,其中能判断 的是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.①③ 5直线AB CD OE ZBOD ,0.OF⊥OE.∠AOC=44° 相交于，平分 ，过点作 ,若 ∠BOF 则 的度数为( ) 460 56° C660 68° A. B D. 6.如图，下列判断错误的是（ ) ∠1.∠4 B ∠5.∠6 与是同旁内角 与是同旁内角 6 D B ∠3∠4 ∠2.∠5 与是内错角 D 与是同位角 7.在同一平面内有2026条直线”，4， 4m,如果91a,4∥4,41a,a∥a, …,以此 类推，那么4与的位置关系是( A.垂直 B.平行 C.垂直或平行 D.重合 A 一B AB,CD,EF,AE CD ,G∠BAE+∠5=180° 1 8.如图，己知直线 与交于点， G 34入5 -D ∠BAG=∠AGC CE⊥ACAE∠BAC 平分 ，则下列说法中错误的是 ( ∠1=180°-∠5 ∠2=2∠5-180° A B ∠3=180°-2∠5 ∠4=∠5-90° C. D. D为上的两点，从、8为F上的两点，延长1至点C, F∥GHA、D.GH M、B.EF C AB 9.如图，已知 平分 ∠D1C,点V在直线DB上，且BN平分FBC, BN ，若<4C8=10 ,则下列结论： ①∠MAB=∠BAD ②∠NBC=∠BDH,③设∠CBM=a,则 BAD=55°- 2“,④∠D81-5°，其中，正确的有 E M B ①③ ①③④ ①②④ ②③④ A. B D. 10.如图，AB为水面， CD ABI‖ICD 为玻璃容器底部， .一平行于1 的光线 G GH EF HM HI⊥EF 经过平面镜反射后得到光线·由光的反射定律可知 M 空气 A H∠GHI=∠MHI HM 水 点 ·当光线从空气斜射向水中时，要发生折射， 经 折射后得到Mr.点H,M.N MP HGIABIICD ,三点共线.则下列结论：① ∠FHG=30°，∠HMB=60° ∠FHG=30°∠MPD=68 HM ;② ,则 ;③若 ，则光线经过折射后偏离 NMP=8° ∠EHM=20°∠MPD=40° 的角度为，即 ；④若 ,则 正确的有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 45° ABC 30° BDE AB BE 11.含有的直角三角板 和含有的直角三角板 按如图放置，其中和重合.三角板 ABC BDE 50 的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转.当它完成旋转一 t= BD⊥BC 周时停止，设旋转的时间为t秒.则时， A(E) 30° ∠ABC=90°，∠BAC=30° 12.将一把长方形直尺和一块含角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中 ∠1=76°∠2 ,若，则的度数为 E B H 13.如图，某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，如果BA14E,CD1E,∠ABC=140 ,那么 ∠BCD= 0 D B ABC,∠ABC=90°AB=5BC=8 ABC BC 14.如图，在直角三角形中， ,将三角形沿向右平移得到三 角形FDE,DF与1C交于点O,连接1F.若O是DF的中点，图中阴影部分的面积 S=15 ,则平 移的距离为 D 15.一副三角尺按如图所示（共顶点A)的方式叠放在一起.若固定三角尺ABC,三角尺ADE绕点A旋 转一周，则当∠B1D的度数为时， DE I AB B D 16.如图，直线B,C0交于点”，0E平分 ,OOE∠10C OF⊥OD∠BOF:∠BOD=4:5,∠AOE ，若 ，则的度 数为」 E D 三、解答题 17.如图，点D,区、R、G均在△MBC的边上，连接D、 BD DE FG∠3=∠CBA FGIBD ,求证： ∠1+∠2=180° B 18.在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班 级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能 ()太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛 OB,OC POO ∠BOP=42° 物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出.图中如果 ∠Q0C=68° ∠ABO∠DCO 请求出和 的度数： AB FG CD AB (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐 角Q180 EF CD B=42° EF FG ,顶部支架”与灯杆所成锐角 ,请直接写出与所成锐角的度数. D G D 777777777777 图① 图② A B C 19.如图，所有小正方形的边长都为1，“，， 都在格点上，请利用网格中的格点按要求画图. C AB CG G (1)过点画的平行线 (标出格点，不写画法，下同)： AB CE E H (2)过点画直线的垂线（标出一个格点）；并注明垂足为”； CE (③)图中表示点到的距离是线段的长度 20.知图，直线1B,C”相交于点0,0E平分 OE∠AOD OF⊥OC∠1=42° ∠2∠3 ,求和的度数 AB∥CDE,G AB,CD AB,CD 21.如图，已知直线 ,B,C分别是直线B,CD上的点，F是直线8，CD之间的点，连接 EF,GF EF⊥FG ,已知 E \E —B 入 G G N 图1 图2 图3 ∠BEF+∠DGF (1)如图1，求 的度数； P,O PF⊥FQ (②点P2在直线CD上，且P MN∥FG FO H 已知 交于点· ∠PFE=∠FHN (i)如图2，试说明 （i)如图3，若10=∠ABF 探究CPF与<E 与 之间的数量关系并加以说明. ABCD 22.已知直线 B1CD,点E,F分别是直线B,CD上的点，点°是直线4B,CD之间一点：日在点 E ,左侧. E A A年 -B 0 M C C -D F 图① 图② ∠AE0=40°∠CFO=60° ∠EOF (1)如图①，当 时，求 的度数； 8者0-0.0-，n.D0m平分袋x于专，o 的平分线交EM于点V 。 。M ∠NOF∠NMF ①如图②，当点在点上方时，试探索 之间的数量关系，并说明理由； ②当”，P的值同山时，直接写出∠F 的度数. 参考答案 1.B 解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题错误，是假命题. ②对顶角的性质为对顶角相等，因此“对顶角相等”是真命题，原命题正确，是真命题 a⊥ba⊥cb,c ③该命题未限定在同一平面内，不在同一平面时，满足，，与不一定平行，原命题错 误，是假命题 ④根据垂线的基本事实，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题正 确，是真命题 综上，真命题共有2个. 2.C 解，aABc B △DEF 沿着点到点的方向平移到的位置， S.ABC=S.DEF S.ABC-S.CEM =S.DEF-S.CEM ABEH 阴影部分面积等于梯形 的面积， DE=AB=12.BE=4 由平移的性质得： DH=3 ..HE=DE-DH=12-3=9 ·阴影部分的面积21 ×9+12)x4=42 3.C ∠ACE=x 解：设 ,∠ACD CE、AB 的平分线交于点E, ∴.∠ACD=2∠ACE=2x AB∥CD .·∠FAE=∠ACD=2x∠AEC=∠ECD=x DE.∠CEB 平分 LCED=∠BED=∠CEB=180°-X-90-S 2 2 °2 ∠FEA=∠BED=90°-￥ 2 20 +x=180° ∴.2∠FEA+ ∠FAE=180° 4.B 解：013 AD∥BC ，能判断 ∠2+∠5=180°∠5=∠6 ② D ∠2+∠6=180°AB∥CD AD∥BC ,不能判断 43E ∠4=∠B AB∥CD AD∥BC C ③ ,能判断 ,不能判断 ∠D+∠BCD=180° AD∥BC ④ 能判断 AD∥BC 综上，能判断 的是①④. 5.D ABCD,、O∠AOC=44° 解：直线、相交于， ∴.∠BOD=∠AOC=44° .OE∠BOD 平分 ∠BOE=1∠B0D=22° 2 :OF⊥OE ∴.∠EOF=90° ∴.∠B0F=∠E0F-∠BOE=90°-22°=68 6.B ∠1∠4 解：A、根据图形可知，与是同旁内角，正确，不符合题意： ∠5∠6 B、根据图形可知， 与不是同旁内角，该选项符合题意； ∠3∠4 C、根据图形可知， 与是内错角关系，该选项不符合题意： ∠2，∠5 D、根据图形可知， 与是同位角，该选项不符合题意. 7.A 解：1ag∥4， .a1a3 allas :a∥g a as as 1a .a1⊥a6 :.%1a, a1⊥a, a,⊥ag 91a 。。。 可知从”开始，每4条直线为一个循环，只与它们的位置关系分别为上，上，"，"， (2026-0小÷4=5061 411a2026 8.C ∠BAE+∠5=180°∠BAG=∠AGC 解： ,AB∥EF ABIICD AB∥EFI∥CD AE ∠BAC 平分 ∠1=∠BAE AB∥EF ∠1=∠BAE=180°-∠5 ,故A正确，不符合题意； ABCD 2∠1+∠2=180° ∠2=180°-2∠1=180°-2(180°-∠5)=2∠5-180° 故B正确，不符合题意； CE⊥AC 、∠3=90°-∠2=90°-(2∠5-180)=270°-2∠ 5,故C错误，符合题意； CD∥EF ∠3+∠4+∠5=180° 270°-2∠5+∠4+∠5=180° ∠4=∠5-90° 整理得： ,故D正确，不符合题意 9C 解：1B ∠DAC 平分 ,∠MAB=∠BAD ① ,故正确，符合题意； EF∥GH ∠NBF=∠BDH BN∠FBC 平分 ∠NBC=∠NBF :∠NBC=∠BDH② ,故正确，符合题意； C----PIN CCPI∥EF B 如图，过点作 ∠PCM+∠CMB=18O°∠BCP=∠CBM=au -H D ∠ACB=110° ∠PCM=∠ACB+∠BCP=110°+a ∠CMB=180°-∠PCM=180°-(110°+a)=70°-a EF∥GH ∠CAD=∠CMB=70°-& .4B ∠DAC 平分 ∠BAD=∠C4D=35°- 2 2,故③错误，不符合题意： ∠CBM=u ∠FBC=180°-a BN∠FBC 平分 ∠CBN=∠FBC=90°-1& 2 ∠ABM=LBAD=35°- 由③知 a .∠ABC=∠ABM+∠CBM=35o- 2a+a=35°41。 a 20=1250 .∠ABN=∠ABC+∠CBN=350+2x+90°1 N DB 点在直线上， ∠DBA=180°-∠ABN=180°-125°=55°，④ ,故正确，符合题意； ①②④ 综上可知， 正确. 10.C .GH AB,AB II CD 解： .HGI‖ABIICD 故①正确； :HⅢLEF ∴.∠FHI=90° :∠FHG=30° ∴.∠GH=∠FH-∠FHG=60° ∠MHⅢ=∠GHI=60° 由光的反射定律可知 ∴.∠GHM=∠GHI+∠MHI=120° GH‖AB 9 .∠GHM+∠HMB=180° ∴.∠HMB=60° ，故②正确： ∠HMB=60° 由②知 H,M,N 点 三点共线， ∴.∠NMA=∠HMB=60° ABI/CD ∴.∠AMP=∠MPD=68 ∴.∠WMP=∠AMP-∠NMA=68°-60°=8° ,故③正确： .∠EHM=20°，HⅢLEF ∴.∠MH=90°-20°=70° ∴.∠GH=∠MHI=70° .∴∠GHM=140° :GH‖AB ∴.∠HMB=180°-140°=40° ∴.∠NMA=∠HMB=40° ∠MPD=40°.ABIICD∠AMP=∠MPD=40° 若 ,由 得 ∠NMP=∠AMP-∠NMA=0° 此时 即光线未发生折射，与题意“发生折射”矛盾，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个 11.3或39 ,BD,.,105°-90°=15°∠CBD=90° 解：当转动 时， 如图： .t=15÷5=3(s) BD 180° ∠CBD=90° 当再转动时， ,如图： BD 15°+180°=195° 一共转动 ,1=195÷5=39(s) B BD⊥BC 综上所述，t为3或39时， 16° 12./16度 ∠1=76°∠CBA=90° 解： ∠EBA=180°-∠CBD-∠1=14° EH∥FG 根据题意得： ∠EBA=∠BAD=14° ∠BAC=30° ∠2=∠BAC-∠BAD=16° 13.130 解：过点“作F1 ,如图， D -F :BA⊥AE BA⊥BF 即<ABF=90 E :∠ABC=140° ∴.∠CBF=∠ABC-∠ABF=140°-90°=50° ,CD‖AE ∴.CDIBF .∴.∠BCD+∠CBF=180 ∴.∠BCD=180°-∠CBF=180°-50°=130° 144 DF=AB=5 DE=BC=8 解：由平移的性质可得： DE O是的中点， OD=1DF=5 2 2 :图中阴影毫分的面积S=15.8=8am-5.am×8x5-×DC×-20-Dc 1 2 2 4 20-3DC=15 .4 ,解得DC=4. CE=DE-DC=8-4=4 4 ∴.平移的距离为· 30°150° 15. 或 DE‖AB 解： 有两种情况： 情况一：如下图， 在41DE ∠D=30° ， 由“内错角相等，两直线平行”可得： ∠DAB=∠D=30°DEIlAB 当 时， 情况二：如下图， A B ADE ∠E=60° 在 中， 由“内错角相等，两直线平行”可得： ∠EAB=∠E=60° DEIAB 当 时， ∠BAD=∠DAE+∠EAB=90°+60°=150° 此时， 30°150° 故答案为： 或 16. 25° /25度 .OF LOD 解： .∠FOD=90° :∠BOF:∠BOD=4:5∠FOD=∠BOF+∠BOD ,且 ∠B0D=90°x,5 4+5 =50° 直线，CD 0 于点， .∠AOC=∠BOD=50° .OE∠AOC 平分 ∠40E-440c-30=2s9 ∠3=∠CBA 17.证明：： DEIAB ∠2=∠ABD FGIBD ∠1+∠ABD=180° ∠1+∠2=180° AB∥P2,CD∥PQ∠BOP=42°∠Q0C=68 18.(1)解：由题意可得： ∠ABO=∠BOP=42°∠DCO+∠QOC=180° ∠DC0=180°-68°=112° D B EA G ∠ABC=L=18°，∠DEF=B=42°ABI‖lFG (2)解：由题意可得： B PI‖AB !P 如图：过E点作 AB∥EP,EP∥FG 777777777777 ∠BEP=∠ABC=a=18° ∠PEF=180°-∠BEP-∠DEF=180°-18°-42°=120° EPI∥FG ∠EFG=180°-∠PEF=60° EF FG 60° ，即与 所成锐角的度数 CG 19.(1)如图所示， 即为所求： y G CE (2)如图所示，垂线，垂足“即为所求； H E B .BH⊥CE (3)解： B CE BH 点”到的距离是线段的长度 OF⊥OC 20.解： ∠FOC=90° ∠1=42° , ∠3=180°-90°-42°=48° ∠A0D=180°-∠3=132° OE ∠AOD 又平分 2-40=w FFT∥AB 21.(1)解：如图，过点作 AB∥CD FTI∥CD 因为 ,所以 ∠BEF+∠EFT=180°∠DGF+∠GFT=180° 所以 BEF+∠DGF+(∠EFT+∠GFT)=360° 所以 B EF⊥FG ∠EFG=∠EFT+∠GFT=90° --T 因为 ,所以 ∠BEF+∠DGF+90°=360° G 所以 ∠BEF+∠DGF=270° 所以 F⊥FQ ∠PFQ=90° (2)(i)因为 ,所以 ∠PFE=∠EFG+∠PFQ-∠GFQ=90°+90°-∠GFQ=180°-∠GFQ 所以 MN∥FG ∠GFQ=∠NHQ 因为 ，所以 ∠FHN=180°-∠NHQ 因为 ∠PFE=∠FHN 所以 ∠CPF-2∠EFQ (iⅱ) 理由如下： FFK∥AB 如图，过点作 AB∥CD FK∥CD 因为 ,所以 ∠CPF=∠PFK=∠PFE-∠EFK=∠PFE-∠AEF 所以 FGI∥MN 因为 --K ∠GFQ=∠NHQ 所以 ∠NHQ=∠AEF 又因为 ∠GFQ=∠AEF 所以 ∠CPF=∠PFE-∠GFQ=∠PFG+∠EFQ+∠GFQ-∠GFQ=∠PFG+∠EFQ 所以 ∠PFQ=∠EFG=90° 因为 ∠PFQ-LGFQ=LEFG-LGFQ∠PFG=∠EFg 所以 ,即 ∠CPF=2∠EFQ 所以 AB OG 22.(1)解：过0向右侧作的平行线， -B ---G AB∥OG ∠AEO=∠EOG=40° AB∥CD,AB∥OG CD∥OG ∠GOF=∠CF0=60° ∠EOF=∠E0G+∠G0F=40°+60°=100° ∠WOF+∠NMF=180° (2)解：① 理由如下： ∠EOF=∠AEO+∠CFO=a+B 由(1)得 ON ∠EOF 平分 ,∠NOF=C+B 2, ∠AEO=a,EM ∠BEO 平分 ∠BEM=1809-&=90°-g 2 2 ∠CFO=B,FM ∠DFO 平分 ∠DFM=1809-E=90-A 2 2 .由(1)得， 2MMF=∠BEM+∠DFM=0-分+90-号-180- 2 2, ∠NOF+∠NMF=180° ∠NMF=180°_a+ ②：由①得， 2, .210=40∠CF0=60 .∠WMF=180°-40°+60 =130° 。 2