3.2 导数几何意义的应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数几何意义应用，通过基础巩固、中档综合、拔高拓展三层设计，构建从单一切线计算到多曲线公切线、存在性问题的递进路径，培养逻辑推理与数学建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|切线斜率计算、已知切线求参数|直接应用导数几何意义，如单选1-4求倾斜角、参数值，夯实概念理解| |中档|切线方程综合、多曲线切线关系|结合方程思想，如单选5-7涉及切线垂直、过原点切线，多选8分析切线与坐标轴交点| |拔高|公切线存在性、参数范围讨论|融合函数与方程，如多选9、填空12探究切线条数，解答14求双函数公切线，提升综合思维|

第2节　导数几何意义的应用 一、单选题 1.曲线y＝(1－x)4在点处切线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 2.曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 3.设函数f(x)＝x＋的图象过x轴上一点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　) A.y＝－x B.y＝－x－1 C.y＝0 D.y＝x－1 4.已知直线y＝x是曲线f(x)＝ln x＋a的切线，则a＝(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 5.若曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则实数a等于(　　) A.－1 B.－ C.－2 D.2 6.过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为(　　) A.y＝x B.y＝2x C.y＝x D.y＝ex 7.已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln(－x)的切线，则(　　) A.k＝，b＝0 B.k＝1，b＝0 C.k＝，b＝－1 D.k＝1，b＝－1 二、多选题 8.设n∈N*，曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线的斜率为kn，与x轴的交点为(xn，0)，与y轴的交点为(0，yn)，则(　　) A.kn＋yn＝－1 B.yn＝－knxn C.x1x2·…·xn＝ D.k1k2·…·kn－1＝(－1)n－1y1y2·…·yn 9.过点P(a，b)作直线l与函数f(x)＝－2x3的图象相切，则(　　) A.若P与原点重合，则l方程为y＝0 B.若l与直线x－6y＝0垂直，则6a＋b＝4 C.若点P在f(x)的图象上，则符合条件的l只有1条 D.若符合条件的l有3条，则<－ 三、填空题 10.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)，则点A的坐标是　　　　.  11.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m＝　　　　.  12.若过点(1，t)可以作曲线y＝x－(x>0)的两条切线，则t的取值范围是　　　　.  四、解答题 13.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值; (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围. 14.已知f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，求直线l的方程. 第2节　导数几何意义的应用 一、单选题 1.曲线y＝(1－x)4在点处切线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　对函数求导得y'＝－×4(1－x)3 ＝(x－1)3， 所以曲线在点处切线的斜率为k＝ (2－1)3＝1. 所以切线的倾斜角为. 2.曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　C 解析　因为曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行， 所以曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线的斜率为2， 因为f'(x)＝ex＋a， 所以f'(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1. 3.设函数f(x)＝x＋的图象过x轴上一点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　) A.y＝－x B.y＝－x－1 C.y＝0 D.y＝x－1 答案　C 解析　令x＋＝0，即x(x＋2)＋1＝0， 即(x＋1)2＝0，解得x＝－1， 故P(－1，0)，f'(x)＝1－， 则f'(－1)＝1－＝0， 则其切线方程为y－0＝f'(－1)(x＋1)， 即y＝0. 4.已知直线y＝x是曲线f(x)＝ln x＋a的切线，则a＝(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案　B 解析　由f(x)＝ln x＋a，得f'(x)＝， 令直线y＝x与曲线f(x)＝ln x＋a相切的切点为(x0，ln x0＋a)， 于是＝1且ln x0＋a＝x0， 所以a＝x0＝1. 5.若曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则实数a等于(　　) A.－1 B.－ C.－2 D.2 答案　C 解析　∵y＝2sin x－2cos x， ∴y'＝2cos x＋2sin x， ∴曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线的斜率k＝y'＝2cos＋2sin＝2. ∵切线与直线x－ay＋1＝0垂直， ∴直线x－ay＋1＝0的斜率为－， 即＝－， ∴a＝－2. 6.过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为(　　) A.y＝x B.y＝2x C.y＝x D.y＝ex 答案　A 解析　由函数y＝ex－2＋1，可得y'＝ex－2， 设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)， 把原点(0，0)代入方程， 可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)， 即(t－1)et－2＝1，解得t＝2， 所以切线方程为 y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x. 7.已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln(－x)的切线，则(　　) A.k＝，b＝0 B.k＝1，b＝0 C.k＝，b＝－1 D.k＝1，b＝－1 答案　A 解析　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x相切的切点坐标为(x1，y1)，直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln(－x)相切的切点坐标为(x2，y2)，对y＝ln x求导得y'＝，对y＝－ln(－x)求导得 y'＝－·(－1)＝－， 所以有 得 解得 所以k＝. 二、多选题 8.设n∈N*，曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线的斜率为kn，与x轴的交点为(xn，0)，与y轴的交点为(0，yn)，则(　　) A.kn＋yn＝－1 B.yn＝－knxn C.x1x2·…·xn＝ D.k1k2·…·kn－1＝(－1)n－1y1y2·…·yn 答案　BC 解析　由于y'＝(n＋1)xn，所以kn＝n＋1， 切线方程为y＝(n＋1)x－n， 从而xn＝，yn＝－n.kn＋yn＝1，A错误; yn＝－knxn，B正确; x1x2·…·xn＝××…×，C正确; k1k2·…·kn－1＝2×3×…×n＝n!， (－1)n－1y1y2·…·yn＝(－1)n－1×(－1)n×1×2×…×n＝－n!，D错误. 9.过点P(a，b)作直线l与函数f(x)＝－2x3的图象相切，则(　　) A.若P与原点重合，则l方程为y＝0 B.若l与直线x－6y＝0垂直，则6a＋b＝4 C.若点P在f(x)的图象上，则符合条件的l只有1条 D.若符合条件的l有3条，则<－ 答案　AD 解析　设l与f(x)＝－2x3的图象切于点Q(t，－2t3)， 则切线斜率k＝f'(t)＝－6t2＝， 整理得4t3－6at2－b＝0. 对于A，若P与原点重合，则a＝b＝0， 所以t＝0，k＝0，l即x轴，方程为y＝0， 故A正确; 对于B，若l与直线x－6y＝0垂直， 则k＝－6t2＝－6，t＝±1， 当t＝1时，4－6a－b＝0，6a＋b＝4， 当t＝－1时，－4－6a－b＝0，6a＋b＝－4，故B错误; 对于C，当点P在f(x)的图象上时b＝－2a3，4t3－6at2＋2a3＝0， 所以(t－a)2(2t＋a)＝0， 解得t＝a，或t＝－， 当a≠0时，l有2条，故C错误; 对于D，设g(t)＝4t3－6at2－b， g'(t)＝12t2－12at， 由g'(t)＝0得t＝0或t＝a，符合条件的l有3条，g(t)有3个零点， 则g(0)g(a)＝－b(－2a3－b)<0， 所以b(2a3＋b)<0，＋1<0，<－，故D正确. 三、填空题 10.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)，则点A的坐标是　　　　.  答案　(e，1) 解析　设A(x0，ln x0)，又y'＝， 则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)， 将(－e，－1)代入得， －1－ln x0＝(－e－x0)， 化简得ln x0＝，解得x0＝e， 则点A的坐标是(e，1). 11.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m＝　　　　.  答案　5 解析　依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同. ∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x， ∴f'(x)＝2x，h'(x)＝－4， ∴ ∵x0>0，∴x0＝1，m＝5. 12.若过点(1，t)可以作曲线y＝x－(x>0)的两条切线，则t的取值范围是　　　　.  答案　(－3，1) 解析　由y＝x－(x>0)求导， 得y'＝1＋， 设切点为P， 则切线方程y－(x－x0)， 由切线过(1，t)， 得t－(1－x0)， 整理得t＝＋1， 令＝s(s>0)，依题意方程t＝4s2－8s＋1(s>0)有两个不同的解， 函数t＝4s2－8s＋1＝4(s－1)2－3的对称轴为s＝1，且当s＝1时，tmin＝－3， 当s＝0时，t＝1. 作出函数t＝4s2－8s＋1(s>0)的图象. 由图知，方程t＝4s2－8s＋1(s>0)有两个不同的解等价于－3<t<1. 即t的取值范围为(－3，1). 四、解答题 13.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值; (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围. 解　f'(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2). (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程f'(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 14.已知f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，求直线l的方程. 解　设直线l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)， 则y1＝，f'(x)＝ex， ∴f'(x1)＝， ∴切点为(x1，)，切线斜率k＝， ∴切线方程为y－(x－x1)， 即y＝·x－x1， ① 同理，设直线l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)， ∴y2＝ln x2＋2，g'(x)＝， ∴g'(x2)＝， 切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝， ∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)， 即y＝·x＋ln x2＋1， ② 由题意知，①与②相同， ∴ 把③代入④得－x1＝－x1＋1， 即(1－x1)(－1)＝0， 解得x1＝1或x1＝0， 当x1＝1时，切线方程为y＝ex; 当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1， 综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $