3.3 导数与函数的单调性(一) 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数与函数单调性，通过基础到综合的四阶分层设计，强化数学思维与逻辑推理，适配一轮复习知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|导数判断单调性基本方法|单选1-4直接应用求导法则，强化运算能力| |能力提升|函数性质与导数综合|单选5-7结合三角函数、指数函数，多选题引入新定义“纯粹递增/递减”| |综合应用|参数求解与分类讨论|填空题结合奇偶性、已知单调区间求参数，解答题需分析切线条件及含参单调性|

第3节　导数与函数的单调性(一) 一、单选题 1.函数f(x)＝2x－cos x在R上是(　　) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 2.函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 3.下列函数在区间(0，π)上单调递减的是(　　) A.y＝x－sin x B.y＝x＋cos x C.y＝xsin x＋cos x D.y＝xcos x－sin x 4.若函数f(x)＝x2－3x－4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　) A.(－∞，－1)，(4，＋∞) B.(－1，4) C.(0，4) D.(4，＋∞) 5.已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝excos x的增区间为(　　) A. B. C. D. 6.设f'(x)是函数f(x)的导函数，在同一个直角坐标系中，y＝f(x)和y＝f'(x)的图象不可能是(　　) 7.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 二、多选题 8.(2026·聊城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　　) A.函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞)上纯粹递增 B.函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增 C.函数f(x)＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减 D.函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减 9.已知函数f(x)＝(x2－4x＋1)ex，则函数f(x)在下列区间上单调递增的有(　　) A.(－1，0) B.(－2，－1) C.(－1，3) D.(3，4) 三、填空题 10.函数f(x)＝＋x的单调递减区间为　　　　.  11.(2025·上海模拟)已知定义在(－3，3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f'(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式>0的解集为　　　　.  12.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为　　　　.  四、解答题 13.已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行. (1)求实数k的值; (2)求函数f(x)的单调区间. 14.已知函数f(x)＝－2x＋2ln a(a>0)，判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性. 第3节　导数与函数的单调性(一) 一、单选题 1.函数f(x)＝2x－cos x在R上是(　　) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 答案　A 解析　∵f(x)＝2x－cos x， ∴f'(x)＝2＋sin x>0在R上恒成立， ∴f(x)在R上是增函数. 2.函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案　D 解析　f'(x)>0的解集对应y＝f(x)的单调递增区间，f'(x)<0的解集对应y＝f(x)的单调递减区间，验证只有D符合. 3.下列函数在区间(0，π)上单调递减的是(　　) A.y＝x－sin x B.y＝x＋cos x C.y＝xsin x＋cos x D.y＝xcos x－sin x 答案　D 解析　A中，y'＝1－cos x，x∈(0，π)时，cos x<1，所以y'>0恒成立， 则y＝x－sin x在区间(0，π)上单调递增，A错误; B中，y'＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x≤1， 所以y'≥0恒成立，则y＝x－sin x在区间(0，π)上单调递增，B错误; C中，y'＝x'sin x＋x(sin x)'＋(cos x)'＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， 当x∈时，cos x>0， 所以y'>0，y＝xsin x＋cos x在上是单调递增函数，C错误; D中，y'＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x， x∈(0，π)时，sin x>0，则y'<0恒成立， 所以y＝xcos x－sin x在区间(0，π)上单调递减，D正确. 4.若函数f(x)＝x2－3x－4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　) A.(－∞，－1)，(4，＋∞) B.(－1，4) C.(0，4) D.(4，＋∞) 答案　C 解析　因为f(x)＝x2－3x－4ln x，定义域为(0，＋∞)， 所以f'(x)＝x－3－ ＝， 令f'(x)<0，解得0<x<4， 则函数f(x)的单调递减区间为(0，4). 5.已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝excos x的增区间为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为f(x)＝excos x，x∈(0，π)， 所以f'(x)＝(cos x－sin x)ex ＝excos， 令f'(x)＝0，解得x＝， 当x∈时，f'(x)>0， 当x∈，f'(x)<0， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)在(0，π)上的增区间为. 6.设f'(x)是函数f(x)的导函数，在同一个直角坐标系中，y＝f(x)和y＝f'(x)的图象不可能是(　　) 答案　D 解析　对于A，f(x)＝x2和f'(x)＝x可满足，故A可能成立; 对于B，f(x)＝ln x和f'(x)＝(x>0)可满足，故B可能成立; 对于C，f(x)＝2x和f'(x)＝2xln 2可满足，故C可能成立; 对于D，因为f'(x)≥0或f'(x)≤0，所以f(x)为单调函数，故D错误.故选D. 7.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 答案　C 解析　函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，B; 当x>0时，函数f(x)＝， 则f'(x)＝， 当0<x<e时f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x>e时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，排除D. 二、多选题 8.(2026·聊城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　　) A.函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞)上纯粹递增 B.函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增 C.函数f(x)＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减 D.函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减 答案　BC 解析　A项，f'(x)＝2x－2，由f'(1)＝0， 知A错误; B项，f'(x)＝3x2－2，当x∈[1，2]时， f'(x)>0恒成立，所以B正确; C项，f'(x)＝cos x－2<0在[0，1]上恒成立， 所以C正确; D项，f'(x)＝ex－3<0在[0，2]上不恒成立， 所以D错误. 9.已知函数f(x)＝(x2－4x＋1)ex，则函数f(x)在下列区间上单调递增的有(　　) A.(－1，0) B.(－2，－1) C.(－1，3) D.(3，4) 答案　BD 解析　f'(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex ＝(x2－2x－3)ex， 令f'(x)>0，可得x2－2x－3>0， 解得x<－1或x>3， 所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)， 所以f(x)在(－2，－1)和(3，4)上单调递增. 三、填空题 10.函数f(x)＝＋x的单调递减区间为　　　　.  答案　 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝＋1＝，当x∈时，f'(x)<0， 当x∈时，f'(x)>0， 所以f(x)的单调递减区间为. 11.(2025·上海模拟)已知定义在(－3，3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f'(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式>0的解集为　　　　.  答案　(－3，－1)∪(0，1) 解析　依题意f(x)是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f(x) 在区间(－3，－1)，(1，3)上单调递减，f'(x)<0; f(x)在区间(－1，1)上单调递增，f'(x)>0. 所以>0的解集为(－3，－1)∪(0，1). 12.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为　　　　.  答案　－2 解析　f'(x)＝x2＋2mx＋n， 由f(x)的单调递减区间是(－3，1)， 得f'(x)<0的解集为(－3，1)， 则－3，1是f'(x)＝0的解， ∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3， 可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2. 四、解答题 13.已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行. (1)求实数k的值; (2)求函数f(x)的单调区间. 解　(1)f'(x)＝(x>0). 又由题意知f'(1)＝＝0，所以k＝1. (2)由(1)知，f'(x)＝(x>0). 设h(x)＝－ln x－1(x>0)， 则h'(x)＝－<0， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减. 由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0， 所以f'(x)>0; 当x>1时，h(x)<0， 所以f'(x)<0. 综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞). 14.已知函数f(x)＝－2x＋2ln a(a>0)，判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性. 解　由题知，f(x)＝－2x＋2ln a， 所以f'(x)＝，x>1， 当0<a≤时，f'(x)>0， f(x)在(1，＋∞)上单调递增. 当a>时，令f'(x)＝0，x＝ln(2a)， 当1<x<ln(2a)时，f'(x)<0， f(x)在(1，ln(2a))上单调递减; 当x>ln(2a)时，f'(x)>0， f(x)在(ln(2a)，＋∞)上单调递增. 综上，当0<a≤时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增; 当a>时，f(x)在(1，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $