精品解析：云南昭通市盐津县第二中学2025-2026学年高二年级第二次月考数学试题

盐津县第二中学2025年秋季高二年级第二次月考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：必修第一、二册，选择性必修第一册第一章~第二章2.5.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 过三点的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 6. 某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45 C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 7. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. 2 B. C. －2 D. － 8. 棱长为6的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（ ） A. y=x B. x+y-2=0 C. x+2y-3=0 D. 3x-y-2=0 10. 定义运算，在中，角的对边分别为若满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 角的最大值为 D. 若，则 11. 已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（ ） A. 曲线E关于直线对称 B. 曲线E围成的图形面积为 C. 若点在曲线E上，则 D. 若圆能覆盖曲线E，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平行直线与之间的距离为__________. 13. 已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 14. 已知函数满足：，，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率. 16. 已知平面向量，，函数. （1）求的最小正周期和对称中心坐标； （2）当时，求的最大值和最小值. 17. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求 （1）分别求甲在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率； （2）分别求乙在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率； （3）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率． 18. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值. 19. 已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. （1）求实数的取值范围; （2）若，用含的式子表示四边形的面积; （3）当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐津县第二中学2025年秋季高二年级第二次月考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：必修第一、二册，选择性必修第一册第一章~第二章2.5.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出即得解. 【详解】解：由题得， 所以. 故选：D 2. 已知复数z满足，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式结合复数的四则运算求解. 【详解】由题意可知：， 由，可得. 故选：B. 3. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：因为， 所以三点共线， 选项B：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，因为不共线，对应系数相等得：，方程组无解， 不存在这样的，因此与不共线，选项B错误； 选项C：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项C错误； 选项D： 若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项D错误. 4. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数定义得到，求出或1，舍去不合要求的，代入求值. 【详解】令，解得或1， 若，则，与坐标轴没有公共点，满足要求， 若，则，与坐标轴有公共点，交点为原点，不合要求， 故. 故选：A 5. 过三点的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案. 【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 6. 某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45 C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用各组的频率之和为1，求出，再根据众数、中位数、利用频率估计概率的定义逐一分析即可. 【详解】由频率分布直方图得，解得，故正确； 频率最大的组为第二组，中间值为，所以众数为45，故正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，故错误； 由于质量指标在之间的频率之和为， 可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故正确； 故选：. 7. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. 2 B. C. －2 D. － 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得函数的周期，从而得到，由解析式可得答案. 【详解】依题意，，， 函数的周期为6， 故， 在R上的奇函数,， 又，则． 故选：A． 8. 棱长为6的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正棱锥的性质知就是球的直径，求得正四面体的高，即可得正三棱锥的高，从而得其体积． 【详解】如图，是的外心，是正四面体的高，是外接球球心，在上，设半径为，,, 由得，解得， 所以， ， 所以． 故选：A． 【点睛】思路点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是求得棱锥的高，利用正棱锥的性质得出题中是球的直径，从而易得求球的半径、棱锥的高，立体几何中正四面体、正方体是特殊的几何体，它的性质应该记住． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（ ） A. y=x B. x+y-2=0 C. x+2y-3=0 D. 3x-y-2=0 【答案】AB 【解析】 【分析】分直线在两坐标轴的截距为，不为的两种情况，即可得出答案. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，设直线方程为：， 则，所以； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为：， 把P（1，1）代入直线方程得：，解得：, 所以直线方程为：. 故满足条件的直线方程为：或. 故选：AB. 10. 定义运算，在中，角的对边分别为若满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 角的最大值为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由定义计算即可判断A；举反例即可判断B；由余弦定理，基本不等式及余弦函数的单调性即可判断C；由正弦定理及余弦定理即可判断D． 【详解】由可得，，整理得，故A正确； 由正弦定理得，， 若，满足，而，故B错误； 由余弦定理得， ，当且仅当时取等号， 又，所以的最大值为，故C正确； 由得，，即， 又，可得为最大边， 所以，故D正确； 故选：ACD． 11. 已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（ ） A. 曲线E关于直线对称 B. 曲线E围成的图形面积为 C. 若点在曲线E上，则 D. 若圆能覆盖曲线E，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，通过推理、计算判断即可． 【详解】1、曲线E上任意点满足：， 该点关于的对称点也满足：， 即由曲线E上任意点关于直线的对称点仍在曲线E上，故选项A正确； 2、因为点在曲线E上，点，点也都在曲线E上，则曲线E关于x轴，y轴对称， 当时，曲线E的方程为， 曲线E表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点）， 因此，曲线E是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图， 所以曲线E围成的图形的面积是，故选项B正确； 3、若点在曲线E上，则，所以， 所以，故选项C正确； 4、曲线E上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线E，则，故选项D不正确． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 13. 已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 14. 已知函数满足：，，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由题意可得、为函数和的交点的横坐标，从而表示出，即可求出. 【详解】由已知和分别是，即的两个解，其中， 所以， 设，则、为函数和的交点的横坐标， 则，所以，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中点和斜率，根据直线垂直的斜率关系，可得线段的垂直平分线的方程； （2）由倾斜角与斜率的关系及二倍角的正切公式即可求解. 【详解】（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，整理为. （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为. 由已知得，则直线的斜率为. 16. 已知平面向量，，函数. （1）求的最小正周期和对称中心坐标； （2）当时，求的最大值和最小值. 【答案】（1） 最小正周期，对称中心为， （2） 最大值为，最小值趋近于（或等价形式，近似值约为） 【解析】 【分析】（1）先通过向量数量积运算得到函数解析式，再用辅助角公式化简为正弦型函数，结合正弦函数性质即可求解； （2）根据时，得出，结合正弦函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因   则函数的最小正周期； 令，，解得，， 故的对称中心为，. 【小问2详解】 当时，， 因正弦函数在单调递增，在单调递减， 则 当即时，取最大值，对应； 由于， ，因此， 即当趋近时，，故的最小值趋近于. 17. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求 （1）分别求甲在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率； （2）分别求乙在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率； （3）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率． 【答案】（1）甲在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率为； （2）乙在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率为； （3）“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为． 【解析】 【分析】（1）由互斥事件的和事件的概率公式与独立事件概率的乘法公式可求解； （2）由互斥事件的和事件的概率公式与独立事件概率的乘法公式可求解； （3）两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率求法即可得解. 【小问1详解】 设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件， 根据独立事件的性质，可得， 所以甲在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率； 【小问2详解】 设分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件. 根据独立事件的性质，可得， 所以乙在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率； 【小问3详解】 设表示“两轮活动‘星队’猜对3个成语”， 由（1）（2）可得，且与互斥，与，与分别相互独立， 所以， 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是. 18. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直四棱柱的性质得到，结合，结合线面垂直的判定定理得到平面，再运用线面垂直的性质证明所求结论即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，求出每个平面的法向量，利用面面夹角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 在直四棱柱中，底面， 又底面，故， 又面， 得到平面，又平面，则. 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴， 如图，建立空间直角坐标系， ， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 由点到平面的距离公式得点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（2）知， 设平面的法向量为， 则令，得，所以， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则，而，则， 由同角三角函数的基本关系得， 故平面与平面夹角的正弦值为. 19. 已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. （1）求实数的取值范围; （2）若，用含的式子表示四边形的面积; （3）当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离，即可求出参数的取值范围； （2）设，，则，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，表示出，则； （3）表示出直线、的方程，由，得到，再联立、的方程，求出、，即可得到，从而得解. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆交于，两点，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 当时，设，，则，， 由，消元整理得， 所以，，， 所以， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ； 【小问3详解】 由，，则，，且直线、的斜率存在， 当时，由（2）知，，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 因为、相交，所以，即，， 所以，解得， 联立、的方程得， ， ， 所以， 所以点在定直线上运动. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $