精品解析：云南省昭通市盐津县第二中学2024-2025学年高二下学期第三次月考数学试题

盐津县第二中学2025年春季高二年级第三次月考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册、第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，为虚数单位，，若，则复数在复平面上所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】易知，再结合复数的除法运算法则可得，根据复数的几何意义可得复数的坐标，即可得所在象限. 【详解】解：由题意知，， 所以， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：． 2. 已知的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：A 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直坐标表示求得，进而由向量线性运算的坐标表示求的坐标，最后利用向量模的坐标运算求即可. 【详解】依题意，，解得，则， 所以，故． 故选：D． 4. 若，则的个位数字是（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分析出，从开始一直到的个位数字都是0，从而求出答案. 【详解】，从开始一直到的个位数字都是0. 所以要求的个位数字，则只需将前面四个数加起来， 即. 所以个位数字就是3. 故选：B. 5. 关于排列组合数，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的性质可知A，B选项正确；对于C选项，利用排列数的计算公式可知左右两边不一定相等；对于D选项，利用排列数的计算公式可以推导左右两边相等 【详解】根据组合数的性质，可知A，B选项正确； 对于C选项，，而，故C选项错误； 对于D选项， ，故D选项正确 故选：C 6. 在连续五次月考中，甲､乙两人的成绩依次为 甲：124，126，132，128，130 乙：121，128，135，133，123 则下列说法正确的是（ ） A. 乙的成绩的极差小于甲的成绩的极差 B. 乙的成绩的中位数小于甲的成绩的中位数 C. 甲的发挥比乙的发挥更为稳定 D. 随机取其中同一次成绩，甲得分低于乙的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，利用极差的定义求解判断；B选项，利用中位数的定义求解判断；C选项，利用平均数和方差判断；D选项，利用古典概型的概率求解判断. 【详解】A选项，甲的成绩的极差为，乙的成绩的极差为，故A选项错误； B选项，甲的成绩的中位数为128，乙的成绩的中位数为128，故B选项错误； C选项，，两个人的平均成绩相同， 甲的成绩的方差为， 乙的成绩的方差为，所以甲的发挥比乙稳定，C选项正确； D选项，五次月考中，同一场次，甲比乙低分的有3次，所以概率为，D选项错误. 故选：C. 7. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ） A. 350 B. 295 C. 285 D. 230 【答案】C 【解析】 【分析】利用分组求和法和组合数的性质进行求解即可 【详解】记此数列的前20项的和为，则， 故选：C. 8. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设是图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，， 所以在点处的切线方程为，即① 令，解得， 即直线与曲线的切点为， 所以，即，解得或， 当时，①为，不符合题意，舍去， 所以，此时①可化为，所以， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的直径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式计算判断A，根据余弦定理求解判断B，根据同角三角函数关系及三角形面积公式求解判断C，根据正弦定理求解判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A选项知， 由余弦定理得. 故，故B正确； 对于C，由于在中，，故， 所以， 所以，故C错误； 对于D，设外接圆半径为R， 则由正弦定理得，故D正确. 故选：ABD 10. 现有数字0，1，1，1，2，3，4，5，下列说法正确的是（ ） A. 可以组成720个没有重复数字六位数 B. 可以组成288个没有重复数字的六位偶数 C. 可以组成3240个六位数 D. 可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据分步乘法和分类加法计数原理分别判断各选项即可． 【详解】对于A，没有重复数字的六位数应由0，1，2，3，4，5组成，共有个，故A错误； 对于B，没有重复数字的六位偶数有两类情况，末位为0的有个，末位不为0的有个，共有个，故B错误； 对于C，没有重复数字的六位数有600个，有两个1的六位数有个，有三个1的六位数有个，共有个，故C正确； 对于D，先排0，2，3，4，5，首位为0的有个，首位不为0的有个，再插人，共有个，故D正确， 故选：CD． 11. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】 对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分、共15分. 12. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_______种.（用具体数字作答） 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意，可知每位同学都有2种报名方法，结合分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组， 则每位同学都有2种报名方法，则这5为同学共有种不同的报名方法， 故答案为：32 13. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再结合函数的奇偶性列式计算即得. 【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 由，得函数为偶函数， 则，解得，又，所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上， 设长方体的长宽高为，由题意可得： ，据此可得：， 则球表面积：， 结合解得：. 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的展开式中前3项的二项式系数之和等于29． （1）求的值； （2）若展开式中的系数为280，求实数的值． 【答案】（1）7 （2）2 【解析】 【分析】（1）由展开式中前3项的二项式系数之和等于29及组合数的计算公式列出方程即可求解； （2）写出二项式展开式通项，令即可求解． 【小问1详解】 由题意得， 整理得，解得（舍去）或． 【小问2详解】 由（1）知二项式展开式通项为， 令，解得，故，解得． 16. 已知数列满足，． （1）设，求证:数列是等比数列; （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将变形为，得到为等比数列， （2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得 【详解】（1）由，，可得， 因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列， （2）由（1），由，可得， ， ， 上面两式相减可得： ， 则． 【点睛】数列求和的方法技巧： (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． (4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别为的中点. （1）若平面与平面的交线为，证明：； （2）求平面与底面夹角的余弦值； （3）若平面与线段交于点，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质得 ，再根据线面平行判定证 平面 ABCD，进而由面面交线性质得 . （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而得向量 、，设平面 法向量，根据向量垂直关系求出法向量，再结合平面 法向量求两面夹角余弦值. （3）设平面与棱交点坐标，得向量 ，利用向量垂直关系求出 坐标中的参数，从而算出 PQ长度. 【小问1详解】 证明：如图，连接，因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以； 【小问2详解】 解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 则， 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与底面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 解：易知平面与棱交于一点，设交点， 则， 又，所以， 所以. 18. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点， ①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值； ②求的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析，定值为1；②4. 【解析】 【分析】（1）根据三角形边长关系以及椭圆上的点坐标求出，从而得到椭圆方程； （2）①根据题意设直线与的方程，分别与椭圆方程联立求得点的坐标，再根据斜率公式计算即可得到定值；②利用两点间距离公式，结合基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题意，则是等腰直角三角形，即得，从而. 又椭圆过点则有解得. 椭圆的方程：. 【小问2详解】 ①由（1）知椭圆的方程为，设直线的方程：，则的方程是. 令， 由可得 则有 ， 同理得， . 即直线的斜率为定值，且定值为1. ②由①知， 则 又，当且仅当即当时等号成立， 所以，即的最大值为4. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值点个数； （3）证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为. （2）函数有唯一的极值点 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）确定函数定义域求导，根据导函数的单调性确定正负，然后即可得出单调区间； （2）确定函数定义域求导，对函数求导，得到函数的单调性，再利用零点存在定理可确定存在唯一的零点，由此可得到函数存在唯一的极值点； （3），分类讨论，当和可直接判断，当，不等式等价于，令，求导分析单调性即可证明不等式. 【小问1详解】 由题知函数的定义域为， ，又在上单调递减，且， 所以的解为，的解为， 即的单调递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 函数的定义域为， ，令， ，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，； 又，所以在内有唯一的零点， 即在内唯一的零点， 当时，，当时，， 所以函数有唯一的极值点. 【小问3详解】 令， 由（1）， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 当时，要证， 即证， 令， ， 又时，，，即， 所以在单调递增，， 即得证， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐津县第二中学2025年春季高二年级第三次月考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册、第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，为虚数单位，，若，则复数在复平面上所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4. 若，则的个位数字是（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 5. 关于排列组合数，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 在连续五次月考中，甲､乙两人的成绩依次为 甲：124，126，132，128，130 乙：121，128，135，133，123 则下列说法正确的是（ ） A. 乙的成绩的极差小于甲的成绩的极差 B. 乙的成绩的中位数小于甲的成绩的中位数 C. 甲的发挥比乙的发挥更为稳定 D. 随机取其中同一次成绩，甲得分低于乙的概率为 7. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ） A 350 B. 295 C. 285 D. 230 8. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的直径是 10. 现有数字0，1，1，1，2，3，4，5，下列说法正确的是（ ） A. 可以组成720个没有重复数字的六位数 B. 可以组成288个没有重复数字的六位偶数 C 可以组成3240个六位数 D. 可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 11. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分、共15分. 12. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_______种.（用具体数字作答） 13. 将函数图象上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为______． 14. 已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知展开式中前3项的二项式系数之和等于29． （1）求的值； （2）若展开式中的系数为280，求实数的值． 16. 已知数列满足，． （1）设，求证:数列是等比数列; （2）求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别为中点. （1）若平面与平面的交线为，证明：； （2）求平面与底面夹角的余弦值； （3）若平面与线段交于点，求的长. 18. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点， ①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值； ②求的最大值. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值点个数； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $