课时训练(17) 第2章 第9节 函数模型及其应用（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．有一组实验数据如下表所示： x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 则最能体现这组数据关系的函数模型是(　　) A．y＝2x＋1－1 B．y＝x3 C．y＝2log2x D．y＝x2－1 D　解析：将各点(x，y)分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1. 2．某同学从家到学校需经过一处红绿灯，某天这位同学骑车上学，一路匀速行驶到红绿灯处正好遇上红灯，停留了90秒，然后加速行驶至学校．在这一过程中，该同学行驶的路程s与时间t的函数图象可能是(　　) B　解析：这位同学骑车上学，开始时匀速行驶，其图象是过原点的一条斜线；遇上红灯，停留了90秒，其图象是平行于横轴的一条线段；然后加速行驶至学校，其图象是倾斜程度越来越大的曲线．由选项可知，B符合题意． 3．“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y＝描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为(　　) A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 C　解析：由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，即当AQI小于等于200时，适宜开展户外活动，即y≤200，因为y＝所以当0≤t≤12时，只需－10t＋290≤200，解得9≤t≤12，当12<t≤24时，只需56－24≤200，解得12<t≤16.综上所述，适宜开展户外活动的时间段为9≤t≤16，共计7个小时． 4．有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q随时间t(单位：年)呈指数型函数变化，当氟化物的排放量维持在某种水平时，满足关系式Q＝Q0e－0.002 5t，其中Q0是臭氧的初始量，估计臭氧含量减少需要(取ln 2≈0.69)(　　) A.276年 B．552年 C．414年 D．483年 B　解析：由题意可得，Q0e－0.002 5t≤Q0，则e－0.002 5t≤，则e0.002 5t≥4，所以0.002 5t≥2ln 2≈1.38，可得t≥552.故估计臭氧含量减少需要552年． 二、多选题 5．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝ 则下列说法正确的是(　　) A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% ABC　解析：由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1<x≤30时，f(x)＝＋x－，则f(9)＝＋×9－＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；f(26)＝＋×26－>，故D错误． 6．某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．当打车距离为8 km时，乘客选择乙方案省钱 B．当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可 C.打车3 km以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案3 km内(含3 km)付费5元，行程大于3 km每增加1公里费用增加0.7元 BC　解析：当打车距离为3<x<10时，甲对应的函数图象在乙图象的下方，即甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案省钱，即A错误；当打车距离为10 km时，由题图可知，甲、乙均为12元，因此乘客选择甲、乙方案均可，即B正确；打车3 km以上时，甲方案每公里增加的费用为＝1(元)，乙方案每公里增加的费用为＝(元)，故每公里增加的费用甲方案比乙方案多，即C正确；由题图可知，甲方案3 km内(含3 km)付费5元，行程大于3 km每增加1公里费用增加1元，即D错误． 三、填空题 7．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N*)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N*)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N*).则日销售额的最大值为________元． 答案：6 400　解析：设日销售额为S元，当1≤t≤30时，S＝(－2t＋200)×(t＋30)＝－t2＋40t＋6 000＝－(t－20)2＋6 400.当t＝20时，Smax＝6 400；当31≤t≤50时，S＝45(－2t＋200)＝－90t＋9 000，当t＝31时，Smax＝6 210. ∵6 210<6 400，故当t＝20时，日销售额有最大值6 400. 8．用指数模型y＝e0.44t描述累计一个池塘甲种微生物的数量y随时间t(单位：天)的变化规律，则该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍需要的时间约为________天．(ln 3≈1.10，结果精确到0.1) 答案：2.5　解析：设从t1开始观察，在t2时，该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍，则e0.44t2＝3e0.44t1，所以e0.44(t2－t1)＝3，则有0.44(t2－t1)＝ln 3，所以t2－t1＝≈2.5(天).故需要的时间约为2.5天. 四、解答题 9．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年． (1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． 解：(1)由题意得当，0<x≤4时，v＝2； 当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)， 显然v＝ax＋b在(4，20]内单调递减， 由已知得解得 所以v＝－x＋. 故函数v＝ (2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝ 当0<x≤4时，f(x)单调递增，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5. 所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 10．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln (kx)＝ln k0＋ln (1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h后，人体内的药物含量为，则该药物的消除速度k的值约为(　　) (参考数据：ln 2≈0.693) A．0.105 5 B．0.106 5 C．0.116 5 D．0.115 5 D　解析：由题意，ln (k·)＝ln k0＋ln (1－e－12k)⇒e－12k＝⇒－12k＝－2ln 2，即6k＝ln 2≈0.69 3，解得k≈0.115 5. 11．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝()(其中a为常数，t∈[0，＋∞))，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于(　　) 参考数据：log20.75≈－0.4，参考时间轴： A．宋 B．唐 C．汉 D．战国 D　解析：依题意，当t＝5 730时，P＝，而P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝()，则有＝()，解得a＝5 730，于是得P＝()，t>0，当P＝0.75时，()＝0.75，所以＝log0.75＝－log20.75≈0.4，解得t≈5 730×0.4＝2 292，由2 025－2 292＝－267得，对应时期为战国，所以可推断该文物属于战国． 12．(多选)目前，城市垃圾中快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2022年到2025年产生的包装垃圾量如下表： 年份x 2022 2023 2024 2025 包装垃圾生产量y(万吨) 4 6 9 13.5 有下列函数模型：①y＝4×()x－2 022；②y＝sin ＋4. (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 则以下说法正确的是(　　) A．选择模型①，函数模型解析式为y＝4×()x－2 022，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系 B．选择模型②，函数模型解析式为y＝sin ＋4，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系 C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2027年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2028年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 AD　解析：若选y＝4×()x－2 022，计算可得对应数据近似值为4，6，9，13.5，若选y＝sin ＋4，计算可得对应数据近似值不会大于5，显然A正确，B错误；按照选择函数模型y＝4×()x－2 022，令y>40，即4×()x－2 022>40，∴()x－2 022>10，∴x－2 022>log10，∴x－2 022>＝≈5.678 6，∴x>2 027.678 6，即从2028年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确． 13．(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　) A．当x>1时，甲走在最前面 B．当x>1时，乙走在最前面 C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 CD　解析：甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型． 当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确； 当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确． 14．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)， 则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－(). (2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，即()＝()，即＝，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年． 15．我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，物理学中称为“声压”，用P表示(单位：Pa)，声压级SPL(单位：dB)表示声压的相对大小，已知SPL＝k lg (k是常数).当声压级SPL提高60 dB时，声压P会变为原来的1 000倍． (1)求声压级SPL关于声压P的函数解析式； (2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压P＝，一般当声压级SPL<45 dB时，人类是可以正常地学习和休息的．现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？请说明理由．(参考数据：lg 2≈0.3) 解：(1)由题意可得，k lg ＋60＝k lg ， 则k lg ＋60＝k(3＋lg )，所以3k＝60，解得k＝20，故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL＝20lg . (2)不会干扰我们的学习，理由如下， 当SPL＝40时，由20lg ＝40，即lg ＝2， 可得P1＝P2＝2×10－3， 所以P＝＝P1＝2×10－3， 将其代入SPL＝20lg 可得SPL＝20lg ＝20lg (×102)＝40＋10lg 2≈43<45， 故不会干扰我们的学习． 学科网（北京）股份有限公司 $$