3.4 导数与函数的单调性(二)专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本练习通过基础诊断-中档综合-高阶应用的三层设计，系统巩固导数与函数单调性的判定及应用，梯度清晰且注重数学思维与推理能力的培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|导数与单调性的基本关系（单调区间个数、充要条件、单调性比较）|直接对应定义应用，如单选1-3判断导数正负与单调区间关系| |中档层|参数范围、函数性质（奇偶性/定义域）与单调性综合|引入参数讨论和图像分析，如单选6结合奇函数性质解不等式，多选8通过导函数图像判断单调区间| |综合层|单调区间的恒成立与存在性问题|分层设问深化逻辑推理，如解答题13对比“在区间单调递减”与“存在单调递减区间”的参数范围差异|

第4节　导数与函数的单调性(二) 一、单选题 1.若函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，则实数a的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.(－∞，0] C.(0，＋∞) D.(－∞，1] 2.已知函数f(x)＝ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2026·南通质检)已知函数f(x)＝2x－sin x，则下列结论正确的是(　　) A.f(2.7)<f(π)<f(e) B.f(π)<f(e)<f(2.7) C.f(e)<f(2.7)<f(π) D.f(2.7)<f(e)<f(π) 4.已知函数f(x)＝x2－2x＋ln x.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，－1] B.(－1，2] C.[2，＋∞) D. 5.函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m，m＋1]上单调递减，则实数m的取值范围是(　　) A.[0，2) B.[0，2] C.(0，2] D.(0，2) 6.已知函数f(x)＝x3＋2x－sin x，若f(2a2)＋f(a－1)≤0，则实数a的取值范围为(　　) A.∪[1，＋∞) B. C.(－∞，－1]∪ D. 7.(2026·湖北名校联考)函数f(x)＝sin－2ax在R上不单调，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、多选题 8.如图为y＝f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是(　　) A.f(x)有三个单调区间 B.f(－2)<f(－1) C.f(－1)<f(1) D.f(x)在[－1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减 9.已知函数f(x)＝ln x，且a＝f ，b＝f，c＝f()，则(　　) A.a>b B.b>a C.c>b D.c>a 三、填空题 10.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f'(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是　　　　.  11.(2026·鄂州模拟)已知函数f(x)＝(x2＋1－ax在[0，＋∞)上单调递减，则a的取值范围为　　　　.  12.已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为　　　　.  四、解答题 13.已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0). (1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围; (2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围. 14.已知函数f(x)＝x－λex＋，其中λ为实数.若函数f(x)是定义域上的单调函数，求λ的取值范围. 第4节　导数与函数的单调性(二) 一、单选题 1.若函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，则实数a的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.(－∞，0] C.(0，＋∞) D.(－∞，1] 答案　C 解析　f'(x)＝－x2＋a， ∵函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间， ∴f'(x)＝－x2＋a＝0有两个不相等的实数根，∴a>0. 2.已知函数f(x)＝ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由题意知，f'(x)＝ax2＋2x＋1， 若f(x)在R上单调递增，则f'(x)≥0恒成立， 则解得a≥1， 故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件. 3.(2026·南通质检)已知函数f(x)＝2x－sin x，则下列结论正确的是(　　) A.f(2.7)<f(π)<f(e) B.f(π)<f(e)<f(2.7) C.f(e)<f(2.7)<f(π) D.f(2.7)<f(e)<f(π) 答案　D 解析　f'(x)＝2－cos x， 因为cos x∈[－1，1]，所以f'(x)>0恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为2.7<e<π，所以f(2.7)<f(e)<f(π). 4.已知函数f(x)＝x2－2x＋ln x.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，－1] B.(－1，2] C.[2，＋∞) D. 答案　D 解析　因为f(x)＝x2－2x＋ln x， x∈(0，＋∞)， 所以f'(x)＝x－2＋≥0， 所以f(x)是增函数， 所以若f(a＋1)≥f(2a－1)， 则a＋1≥2a－1>0，解得<a≤2. 5.函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m，m＋1]上单调递减，则实数m的取值范围是(　　) A.[0，2) B.[0，2] C.(0，2] D.(0，2) 答案　C 解析　函数f(x)＝x2－9ln x的导数f'(x)＝x－，x>0， 令f'(x)≤0，解得0<x≤3， 因为函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m，m＋1]上单调递减， 则[m，m＋1]⊆(0，3]，即 解得0<m≤2. 6.已知函数f(x)＝x3＋2x－sin x，若f(2a2)＋f(a－1)≤0，则实数a的取值范围为(　　) A.∪[1，＋∞) B. C.(－∞，－1]∪ D. 答案　D 解析　函数f(x)＝x3＋2x－sin x的定义域为R， f(－x)＝(－x)3＋2(－x)－sin(－x)＝－f(x)， 故函数f(x)是奇函数. 又f'(x)＝3x2＋2－cos x>0恒成立， 所以函数f(x)在R上单调递增， 不等式f(2a2)＋f(a－1)≤0，即f(2a2)≤－f(a－1)，从而f(2a2)≤f(－a＋1)等价于2a2≤－a＋1，解得－1≤a≤， 所以实数a的取值范围为. 7.(2026·湖北名校联考)函数f(x)＝sin－2ax在R上不单调，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　f'(x)＝cos－2a， 因为函数f(x)在R上不单调， 所以函数f'(x)有零点， 所以方程cos－2a＝0有实数根， 所以直线y＝2a与函数g(x)＝cos的图象有交点(且交点非函数g(x)图象的最高点或最低点)， 因为函数g(x)的值域为， 所以a∈.故选D. 二、多选题 8.如图为y＝f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是(　　) A.f(x)有三个单调区间 B.f(－2)<f(－1) C.f(－1)<f(1) D.f(x)在[－1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减 答案　CD 解析　对于A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误; 对于B，当x∈[－2，－1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减， 所以f(－2)>f(－1)，故B错误; 对于C，当x∈[－1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增， 所以f(－1)<f(1)，故C正确; 对于D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确. 9.已知函数f(x)＝ln x，且a＝f ，b＝f，c＝f()，则(　　) A.a>b B.b>a C.c>b D.c>a 答案　ACD 解析　由f(x)＝ln x， 得f'(x)＝ln x＋， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 因为c＝f，0<<<<1， 所以f>f >f ， 故c>a>b. 三、填空题 10.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f'(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是　　　　.  答案　(－∞，－1)∪(0，1) 解析　在(0，＋∞)上f'(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(x)为偶函数， 所以f(－1)＝f(1)＝0， 且f(x)在(－∞，0)上单调递减， f(x)的示意图如图所示， 所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1). 11.(2026·鄂州模拟)已知函数f(x)＝(x2＋1－ax在[0，＋∞)上单调递减，则a的取值范围为　　　　.  答案　[1，＋∞) 解析　对f(x)＝(x2＋1－ax求导得f'(x)＝(x2＋1·2x－a＝－a， 依题意，得∀x∈[0，＋∞)，f'(x)≤0恒成立， 即a≥恒成立， 而当x≥0时，<1， 则a≥1，所以a的取值范围为[1，＋∞). 12.已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　f(x)在(1，2)上存在单调递增区间， 则原问题等价于f'(x)>0在(1，2)上有解， 即a>在(1，2)上有解. 令g(x)＝xex，因为g(x)在(1，2)上单调递增，故在(1，2)上单调递减， 所以∈，所以a>. 四、解答题 13.已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0). (1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围; (2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围. 解　(1)因为f(x)在[1，4]上单调递减， 所以当x∈[1，4]时，f'(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥恒成立. 设G(x)＝，x∈[1，4]， 所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1， 因为x∈[1，4]，所以∈， 所以G(x)max＝－(此时x＝4)， 所以a≥－， 又因为a≠0，所以实数a的取值范围是∪(0，＋∞). (2)因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间， 则f'(x)<0在[1，4]上有解， 所以当x∈[1，4]时，a>有解， 又当x∈[1，4]时，＝－1(此时x＝1)， 所以a>－1，又因为a≠0， 所以实数a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞). 14.已知函数f(x)＝x－λex＋，其中λ为实数.若函数f(x)是定义域上的单调函数，求λ的取值范围. 解　由题意知，函数f(x)的定义域为R， f'(x)＝1－λex－＝1－λ. 若f(x)在R上单调递增， 则f'(x)＝1－λ≥0在x∈R时恒成立， 由于ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)， 所以≥λ在x∈R时恒成立， 又∈，所以λ≤0. 若f(x)在R上单调递减， 则f'(x)＝1－λ≤0在x∈R时恒成立， 由于ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)， 所以λ≥在x∈R时恒成立， 又∈，所以λ≥. 综上所述，λ的取值范围是(－∞，0]∪. 学科网（北京）股份有限公司 $