课时跟踪检测(23) 利用导数研究函数零点（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测(23) 利用导数研究函数零点 基础强化练 1. 已知函数fx)=e-x(kER) (1)当k=1时,求函数fx的单调区间; (2)讨论函数fx)的零点个数 解:(1)当k=1时,fx)=e-x,f” ()-e-1, 令f(x)>0,则x>0,f(x)单调递增; 令f(x)<0,则x<0,/fx)单调递减 故f()的单调递增区间为(0,十), 单调递减区间为(-oo,0) (2)设P(x,y)是函数y=e上一点 由y-ev得y'=e, 所以y=e在点P处的切线方程是y-exo=exo(xr-xo), 令x-y-0,则x。-1. 所以过原点作一e的切线方程是v一ex 故当k<0或k=e时,函数fx)有1个零点;当k>e时,函数fx)有2个零点;当0<k <e时,函数/)无零点. 2. 已知函数fx)-lnx-x+1,aER (1)当a一1时,求函数/的单调区间 (2)若/x)一1有且仅有两个不相等实根,求实数a的取值范围 解:(1)当a=1时,fx)-lnx-x+1,定义域为(0,+o). *(x)=1x-1=1-x,当xE(0,1)时,f(t)>0; 当x三(1,+co)时,f(x)<0,所以函数fx)的单调递增区间为(0.1),单调递减区间为(l ). (2)由题意,lnx-a+1-1. 即a一nx有且仅有两个不相等实根 令g)-nxx,h(x)-a. 即g(x)与hx)的图象有两个交点. g'()=I-nx2,xE(0,e)时,g'(tr)→0,xE(e,+)时,g'(tx)0. 所以gqx)在(,e)上单调递增,在(e,十co)上单调递减, 所以函数g(x)的最大值为g(e)-lnee-le 又因为x→0时,g(x)→-,x→+co时,g(×)→0. 所以当aE(0,1e)时,g(x)与hx)的图象有两个交点,如图所示. 独家授权侵权必究。 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 ##、--6-十 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 efr)-lnx 所以实数a的取值范围为(0,1e). 3. (2024湖北云梦一中期末)已知函数fx)=(x-a)lnx-x十a-3(aER) (1)若a一0,求fx)的极小值 (2)讨论函数/(x)的单调性: (3)当a一2时,证明:fx)有且只有2个零点 ($1)解:当a=0时,fx)=xlnx-x-3,fx)的定义域为(0,+o),f(t)=lnx+1-1=ln x. 在区问(0,1),f()<0,fx)单调递减;在区问(1,+),f()>0,fx)单调递增。 所以当x-1时,/fx)取得极小值/f1)一-4 (2)解:fx)=(tr-a)lnx-x+a-3的定义域为(0,+). f(x)=lnx+x-ax-1-lnx-ax 令h(x)=lnx-a(x>0),h'(x)=1x+ax2-x+ax2. 当a0时;h'(r)>0恒成立. 所以h(x)即f(x)在(0,+co)上单调递增. 当a0时,在区间(0,一a)上,h'(x)<0,h(x)即f(x)单调递减;在区间(一a,+oo)上, h'()→0,h)即f(x)单调递增. 综上,当a>0时,f(t)在(0,十c)上单调递增; 当a0时,f(tr)在(0,一a)上单调递减,在(一a,十)上单调递增. (3)证明:当a=2时,fx)=(x-2)lnx-x-1,f(t)=lnx-2x. 由(②)知,f(x)在(0,+o)上单调递增,f(②)=ln2-1<0,f(3)=ln3-230 所以存在xo(2,3),使得f(x)-0,即lnx。=2x0 在区间(0,xo)上,f(){<0,fx)单调递减;在区间(xo,+o)上,f(x)>0,fx)单调递增. 所以当x=x。时,fx)取得极小值也是最小值,为fx)=(x-2)lnx。-x-1=(x-2$ 2x0-x.-1-1-(4x0+x). 由于4x0+x24x0)x0-4,所以fx) f$le)=(le-2)ln le-le-1=-(le-2)-1e-1=-2e+1>0,fe2)-(e2-2)lne2-e-1 -2e2-4-e2-1=e2-5>0,根据零点存在性定理可知fx)在区问(0,xo)和(x,+o)上各有1 个零点, 独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以/f)有且只有2个零点, 能力提升练 4. (2023辽宁沈阳一模)已知函数fx)-ex-2lnx (1)当&-2时,求/(的图象在点x一1处的切线方程 (2)当&一1时,判断fx)的零点个数并说明理由; (3)若/x)x-x恒成立,求x的取值范围 解:(1)当 -2时,fx)-e2x-2lnx,f(1)=e$ f()=2e2-2x,.f(1)=2e-2. ..切线方程为y-e2=(2e2-2)(x-1) 即2(e2-1)x-y-e2+2-0 (2)当-1时,fx)=e-2lnx,f(t)=ex-2x, 易知f(x)在(0,+o)单调递增,且f(12)-e-4<0,ff(1)-e-2>0. .'f()存在唯一零点xo(12,1),满足e-2x0. 且当xE(0,xo)时,f()<0,fx)单调递减;当xE(x,+)时,f(x)>0,fx)单调递增 对^}-2xo两边取对数,得xo=ln2-lnxo., ..f)无零点. (3)由题意得,e^x-2lnxx2-Ax,即e*x+x三x2+lnx2 即+二en} +lnx②,易知函数y一e十x单调递增, '.Ax>lnx2: '.A2lnxx,令h(x)-2lnxx,则h(x)-2-2lnxx2 令xr)一0得x一e,列表得 (0,e) e 2 (e.十o) #() 0 单调递增 极大值 h() 单调递减 .'.h(x)-he)-2e,.'. A三2e 素养养成练 5. 已知函数fix)-lnx+bx一a(aER,bER)有最小值M,且M0 (1)求e-1-十1的最大值; (2)当ea-1-b+1取得最大值时,设F()=a-1b-m(mER),F(x)有两个零点为x,x (x.<x2),证明:xx2>e3 独家授权侵权必究。 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)解:由题意知f(x)-1x-bx2-x-bx2(x>0). 当<0时,f(t)>0,fx)在(0,+o)上单调递增,不符合题意; 当>0时,令f()=0,得x-b, 此时f(x)在(0,b)上单调递减,在(b,+co)上单调递增,M=f)-lnb+1-a>0,即lnb 2-1. 所以be-1,*-1-<0 所以ea-1-b+1的最大值为1 (2)证明:当ea-1-b+1取得最大值时,a-1=lnb,F(b)=a-lb-m=lnbb-m F()的两个零点为x,x,则lnxlxI-m=0,lnx2x2-m=0,即lnx=m.lnx=m. 两式相减得lnxIx2-m(x.-x),故m=xlx2xI-x2 不等式xx2>e3恒成立等价于lnx+2lnx=mx+2mx2=m(x+2x)>3 即(x+2x)x/x2x1-x2>3. 即lnxlx2<3(x1-x2)x1+2x2-xlx2xlx2 令r-xlx2(0<t<1),g(t=lnt-3(t-1)t+2(0<t1) 则g(=(t-1)(t-4)t(t+2)2>0. 所以函数g()在(0,1)上单调递增,g(<g(1)-0,得证. 独家授权侵权必究.