精品解析：广东惠州一中教育集团2025-2026学年第二学期期末质量监测 初二年级数学科试题

惠州一中教育集团2025-2026学年第二学期期末质量监测 初二年级数学科试题 说明： 1．本次考试范围为：八年级下册十九章一二十四章+九年级上册二十五章；教材：2024人教版． 2．全卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟． 3．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、考场号用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 4选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 5．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定域内相应位置上；如图改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，即可求解． 【详解】∵二次根式有意义， ∴被开方数需满足， 解得． 故选D． 2. 如图，在中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．由平行四边形的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3. 下列图象中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对函数图象的识别，熟知函数的定义是解题关键． 根据函数的定义即可判断． 【详解】解：根据函数定义，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数，可知选项C中的值不具备唯一性，所以y不是x的函数，符合题意． 故选：C． 4. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  5. 如图，1角硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形每个内角的度数是（ ） A. 40° B. 140° C. 360° D. 1260° 【答案】B 【解析】 【详解】解：正九边形每个外角的度数是， 正九边形每个内角的度数是 6. 如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（　　） A. 这个月空气质量指数的最大值为 B. 中位数为 C. 数据在箱体的右侧比较集中 D. 第一四分位数为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查箱线图的应用，熟记箱线图及相关统计量的意义是解决问题的关键． 由箱线图得到最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为，结合相关统计量逐项分析选项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为， A、这个月空气质量指数的最大值为，说法正确，不符合题意； B、中位数为，说法正确，不符合题意； C、在箱体中，中位数左侧宽、右侧窄，则数据在箱体的右侧比较集中，说法正确，不符合题意； D、第一四分位数为，选项中原说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 学习了《植物生长》后，实践小组观察记录了一段时间娃娃菜幼苗的成长，将娃娃菜幼苗的高度与观察时间(天)的函数关系用下图表示，那么娃娃菜幼苗的高度最高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，一次函数解析式．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 由题意知，，待定系数法求线段的解析式为，将代入，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 设线段的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴线段的解析式为， 将代入， ∴， ∴娃娃菜幼苗的高度最高为， 故选：C． 8. 动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证明四边形是正方形，四边形是正方形，设，则，根据正方形的性质得到，，进而得到，计算的值即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， 同理可证四边形是正方形， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴矩形的长与宽的比值为 ． 9. 如图，在四边形中，，，，为线段的中点，连接，、分别为、的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据线段中点的定义求出的长，利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接， 为线段的中点，， ， ，， ， ，分别为，的中点， ． 10. 如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，，，， ， ， ，， ， ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 【答案】5 【解析】 【详解】∵多边形的每个外角都等于72°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷72°=5， ∴这个多边形的边数为5. 故答案为5. 12. 如图，数轴上点A的坐标是4，于点A．，以原点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∵以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ∴． 13. 广东省多地中小学落实全面育人评价体系，学生综合评价由学业成绩、体能素质、美育素养三部分组成，三项成绩按的比例计入综合总分．某校学生小方学业成绩90分，体能素质80分，美育素养85分，则他的综合评价得分为________分． 【答案】 86 【解析】 【分析】根据题目给出的三项成绩的权重，代入加权平均数公式计算即可得到最终结果 ． 【详解】解：分， ∴他的综合评价得分为86分 ． 14. 已知一次函数，若该函数图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象经过第一、三、四象限得到一次项系数大于0，常数项小于0，据此列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， 的取值范围是． 15. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个边长为6的大正方形．连接并延长．分别交和于点和点，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设四个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，则小正方形的边长为，先证明，得出，，从而得出，，再证明，得出，，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，则小正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 完成以下问题 （1）计算：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 17. 图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） （1）求线段的长度； （2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】（1）线段的长度为 （2）该车符合安全标准，理由见详解 【解析】 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，． 【小问2详解】 解：该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即该车符合安全标准． 18. 我国人工智能机器人产业正处于高速发展的关键时期，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“机器人”知识竞赛，现分别从七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95． 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82． 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 ① 72 八年级 80 80 ② 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）①________；②________； （2）根据以上数据，你估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？为什么？ （3）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共800人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数． 【答案】（1）①，② （2）解：八年级的竞赛成绩更整齐，理由如下： ∵七年级的竞赛成绩的方差为，八年级的竞赛成绩的方差为，且， ∴八年级的竞赛成绩更整齐； （3）估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数为人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差越小，成绩越整齐即可得到结论； （3）分别计算两个年级的优秀人数后求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：把七年级10名同学测试成绩按照从低到高的顺序排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，第5个数据为78，第6个数据为79， ∴七年级10名同学测试成绩的中位数为； ∵八年级10名同学测试成绩中得分为80的人数最多， ∴八年级10名同学测试成绩的众数为80； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数为人． 19. 如图，已知在中，为的中点，为的中点．过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为40，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质可得，对顶角相等得到，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据点是的中点，可得，进而可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D是的中点， ∴ ， ∴． 20. 综合与实践： 2026年第十五届全国运动会落地广东，“智慧全运”成为办赛亮点．为提升赛事安保巡防、场地动态监测与航拍转播保障效率，组委会计划采购两款国产工业无人机，相关信息如下： 全运会运维无人机采购方案设计 素材1 购买6台轻型巡检无人机和5台重载安防无人机共需57万元； 购买5台重载安防无人机的费用比11台轻型巡检无人机的费用高23万元． 素材2 每台轻型巡检无人机每日可覆盖150处赛事保障点位； 每台重载安防无人机每日可覆盖280处赛事保障点位． 素材3 组委会计划采购两款无人机共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决： （1）求购买一台轻型巡检无人机、一台重载安防无人机的费用分别是多少万元？ （2）采购两款无人机各多少台时，每日覆盖的点位总数最多？最多可覆盖多少点位？ 【答案】（1）购买一台轻型巡检无人机的费用是2万元，一台重载安防无人机的费用是9万元 （2）采购轻型巡检无人机5台，重载安防无人机7台时，每日覆盖的点位总数最多，最多可覆盖2710处点位 【解析】 【分析】（1）设购买一台轻型巡检无人机的费用是x万元，一台重载安防无人机的费用是y万元，根据素材1建立方程组求解即可； （2）设购买轻型巡检无人机m台，每日覆盖的点位总数为W处，根据素材3建立不等式求出m的取值范围，根据素材2列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一台轻型巡检无人机的费用是x万元，一台重载安防无人机的费用是y万元， 由题意得，， 解得， 答：购买一台轻型巡检无人机的费用是2万元，一台重载安防无人机的费用是9万元； 【小问2详解】 解：设购买轻型巡检无人机m台，每日覆盖的点位总数为W处， ∵组委会计划采购两款无人机共12台，采购总预算不超过73万元， ∴， 解得， ∴，且m为整数； 由题意得，， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为，此时， 答：采购轻型巡检无人机5台，重载安防无人机7台时，每日覆盖的点位总数最多，最多可覆盖2710处点位． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由（1）可得， ∴． 22. 【问题情境】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在等边中，，点，分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图2，过点，分别作，的平行线，并交于点，作射线．在【问题情境】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）求的度数和线段长度的最小值． 【方法应用】 （3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图3，小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图4，是等腰三角形，四边形是矩形，，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．请直接写出钢丝绳长度的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键． （1）先证四边形是平行四边形得到； （2）利用等腰三角形可得，再将转化成，时有最小值，即可求解； （3）参考上述思路构造平行四边形，将转化成，再求得，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴； （2）∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当最小时，线段也有最小值， 此时， ∴线段的最小值是； （3）解：如图，连接，过M、D作、的平行线，则四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，此时最小， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 即长度的最小值为． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点M是直线上一动点，过点M作轴交直线于点N，当时，求出点M的坐标； （3）如图3，直线与直线垂直于点H，将直线向左平移4个单位后与x轴，y轴分别交于D，E两点，与直线交于点F，在直线l上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或． （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出，，则把代入，得直线的函数表达式为，即可作答． （2）理解题意，设，则，根据，得，再解得或，即可作答． （3）先得出直线平移后的解析式为，，；则，，因为以及角的等量代换，得，因为，，得直线与直线的交点为点，求出直线的解析式为，联立方程，得，同理解得直线的解析式为，联立方程，得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴令时，则， 即； 令时，则， 解得 即； ∵直线与y轴交于点 ∴设直线的函数表达式为， 把代入，得 解得； ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点M是直线上一动点，且直线的函数表达式为 ∴设， ∵过点M作轴交直线于点N，直线的函数表达式为； ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 则或 解得或； 把代入，得； 或把代入，得； ∴点M的坐标为或． 【小问3详解】 解：存在点P，使得，理由如下： ∵将直线向左平移4个单位后与x轴，y轴分别交于D，E两点，且直线的函数表达式为 ∴直线平移后的解析式为， 依题意，令时，则， 即； 令时，则， 解得， 即； ∵ 则， 连接交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线与直线的交点为点， ∵ ∴设直线的解析式为 把代入，得 ∴ ∴直线的解析式为 则， 解得 ∴ ∵直线，且 ∴过点E与直线平行的直线解析式为， 点E关于直线的对称点在上， 则 设 ∵ ∴， ∴解得， 把代入，得， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， 把代入，得， ∴ 综上所述：点P的坐标为或 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握次函数的图象及性质，平行线的性质，勾股定理，两直线的交点与方程组的关系，三角形内角和定理，轴对称的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州一中教育集团2025-2026学年第二学期期末质量监测 初二年级数学科试题 说明： 1．本次考试范围为：八年级下册十九章一二十四章+九年级上册二十五章；教材：2024人教版． 2．全卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟． 3．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、考场号用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 4选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 5．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定域内相应位置上；如图改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 2. 如图，在中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，1角硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形每个内角的度数是（ ） A. 40° B. 140° C. 360° D. 1260° 6. 如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（　　） A. 这个月空气质量指数的最大值为 B. 中位数为 C. 数据在箱体的右侧比较集中 D. 第一四分位数为 7. 学习了《植物生长》后，实践小组观察记录了一段时间娃娃菜幼苗的成长，将娃娃菜幼苗的高度与观察时间(天)的函数关系用下图表示，那么娃娃菜幼苗的高度最高是（ ） A. B. C. D. 8. 动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为（ ） A. B. 2 C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，为线段的中点，连接，、分别为、的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 24 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 12. 如图，数轴上点A的坐标是4，于点A．，以原点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示的数是________． 13. 广东省多地中小学落实全面育人评价体系，学生综合评价由学业成绩、体能素质、美育素养三部分组成，三项成绩按的比例计入综合总分．某校学生小方学业成绩90分，体能素质80分，美育素养85分，则他的综合评价得分为________分． 14. 已知一次函数，若该函数图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是________． 15. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个边长为6的大正方形．连接并延长．分别交和于点和点，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 完成以下问题 （1）计算：； （2）已知，，求的值． 17. 图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） （1）求线段的长度； （2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 18. 我国人工智能机器人产业正处于高速发展的关键时期，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“机器人”知识竞赛，现分别从七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95． 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82． 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 ① 72 八年级 80 80 ② 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）①________；②________； （2）根据以上数据，你估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？为什么？ （3）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共800人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数． 19. 如图，已知在中，为的中点，为的中点．过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为40，求的长． 20. 综合与实践： 2026年第十五届全国运动会落地广东，“智慧全运”成为办赛亮点．为提升赛事安保巡防、场地动态监测与航拍转播保障效率，组委会计划采购两款国产工业无人机，相关信息如下： 全运会运维无人机采购方案设计 素材1 购买6台轻型巡检无人机和5台重载安防无人机共需57万元； 购买5台重载安防无人机的费用比11台轻型巡检无人机的费用高23万元． 素材2 每台轻型巡检无人机每日可覆盖150处赛事保障点位； 每台重载安防无人机每日可覆盖280处赛事保障点位． 素材3 组委会计划采购两款无人机共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决： （1）求购买一台轻型巡检无人机、一台重载安防无人机的费用分别是多少万元？ （2）采购两款无人机各多少台时，每日覆盖的点位总数最多？最多可覆盖多少点位？ 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 22. 【问题情境】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在等边中，，点，分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图2，过点，分别作，的平行线，并交于点，作射线．在【问题情境】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）求的度数和线段长度的最小值． 【方法应用】 （3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图3，小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图4，是等腰三角形，四边形是矩形，，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．请直接写出钢丝绳长度的最小值． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点M是直线上一动点，过点M作轴交直线于点N，当时，求出点M的坐标； （3）如图3，直线与直线垂直于点H，将直线向左平移4个单位后与x轴，y轴分别交于D，E两点，与直线交于点F，在直线l上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $