4.1等式与方程预习讲义 2026年暑假苏科版六升七数学新生预习手册14

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册14 《第4章一元一次方程第1节等式与方程》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解等式、方程、一元一次方程、方程的解四个核心概念，能区分等式与方程、识别一元一次方程。 2.掌握等式两条基本性质，能利用性质对等式进行正确变形，辨析变形易错点。 3.会根据实际问题中的等量关系设未知数、列方程，建立方程模型。 4.掌握检验数值是否为方程解的方法，能逆向求解方程参数。 5.依托江苏本地真题训练，夯实基础，规避概念混淆、等式变形漏限制条件等易错陷阱。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.等式、方程的定义辨析。 2.等式基本性质的理解与规范运用。 3.检验方程的解，根据题意列简单一元一次方程。 （二） 难点 1.等式性质2中除数不能为0的隐藏限制条件应用。 2.一元一次方程参数取值（次数为1、系数不为0）综合判断。 3.从文字实际情境中精准提取等量关系列方程。 ) 三．自主探究 （一）等式（天平模型类比） 在日常生活中，有各种各样的数量关系，其中许多是相等关系。 天平左边托盘中有2袋食盐，每袋xg，右边托盘中有3袋白糖，每袋yg，天平平衡表示2x=3y； 长方形的长和宽分别为x，y,面积为S，则S=xy； 购买12支铅笔和3本笔记本共花费58元，铅笔每支a元，笔记本每本b元，则12a+3b=58。 你还能举出一些生活中这样的例子吗? 像2x=3y，S=xy，12a+3b=58这样，表示相等关系的式子叫作等式(equation)。 根据下列情境中的等量关系列出一个等式: （1）某高铁列车以v km/h的平均速度行驶0.5h，行驶的路程为150km; （2）如图一个正方形纸片被分割成四部分; （3）按盐和水的质量之比为1:10的配比，把xg盐配成550g的盐水。 【探究】(1)如图（1），天平平衡。对天平两边进行如图（2）所示的操作，可以在保持天平平平衡状态称称出一个小球的质量。请写出每一步操操作对的等式，并解释对应等式的实际意义，你能否说出等式是如何变形的?你能说明变形的合理性吗? （2）如图，仿照上述过程设计天平操作过程，求出小球的质量y，写出每一步操作对应的等式，并解释等式的变形过程。 根据上面的活动，我们发现: 【归纳】 1.等式的概念 （1）定义：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。 例如：3+2=5、2x+1=5、a+b=b+a 都是等式。 （2）等式可以分为三类： ①恒等式：无论字母取何值，等式都成立（如a+b=b+a） ②条件等式：只有字母取特定值时，等式才成立（如2x+1=5） ③矛盾等式：无论字母取何值，等式都不成立（如x+1=x-1） 2.等式的性质 （1）等式的性质1 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则a±c=b±c。 （2）等式的性质2 等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则ac = bc；若a=b且c≠0，则=。 （3）等式的对称性 若a=b，则b=a（例如：由x=3可得3=x）。 （4）等式的传递性 若a=b且b=c，则a=c（例如：由x=y，y=5可得x=5）。 （二）方程 1.方程的概念 【探究】 （1）如图，天平两边托盘中小球的质量是多少? （2）篮球联赛规则规定:胜一场得2分，负一场得1分，第一中学球队赛了12场，图4-412场，共得20分，该球队胜，负各多少场? （3）一幅长方形油画的长与宽的比为1:0.618，面积为1.6m2，它的长为多少? 在上面的等式中，都是用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫作未知数(unknown number)。解决上述问题的关键是求出未知数的值。像3x=x+5，a+b=12，2a+b=20，0.618x2=1.6这样，含有未知数的等式叫作方程(equation)。 2.从实际问题列方程步骤 根据所设未知数列方程: （1）用16m长的篱笆围一个长方形的小免乐园，当长方形的一边为多少时，乐园面积为15m2。(设长方形的一边长为xm) （2）花赞90元购买了硬面抄和软面抄共30本，硬面抄每本5元，软面抄每本2元。硬面抄和软面抄各买了多少本?(设购买了x本硬面抄和y本软面抄) 3.方程的解 方程是解决实际问题的常用工具。我们根据实际问题中的等量关系列出方程后，还需要进一步求出未知数的值。 【探究】填表 当x=____时，方程2x+1=5+x两边的值相等. 分别把0，1，2，3，4代入下列方程，哪个数能使方程两边的值相等? (1)2x-1=5; (2)3x-2=4x-3, 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解(solution ofequation)，如x=4是方程2x+1=5+x的解。求方程的解的过程叫作解方程(solving equation)。在后续的学习中，我们将从简单到复杂，学习解各类方程的方法 【归纳】 1.方程的概念 （1）定义：含有未知数的等式叫做方程。 （2）两个关键要素： ①是等式（有“=”连接）； ②含有未知数（字母，如x,y等）。 示例：2x+1=5、3y=2y+5都是方程；而3+2=5是等式但不是方程（无未知数），2x+3不是等式也不是方程。 2.从实际问题列方程步骤 （1）审题，找出等量关系； （2）设未知数（通常设所求量为x）； （3）用含x的式子表示相关量； （4）根据等量关系写等式（方程）。 3.方程的解 （1）定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 （2）检验步骤： ①把数值代入方程左边； ②代入右边； ③比较左右是否相等，相等即为解。 四．经典例题 例1.（2024秋·盐城阜宁期末）下列各式属于方程的是（ ） A.3x+5 B.7-2=5 C.2x-1=9 D.x+3<8 例2.（2025秋·南通海门期中）x=4是下列哪个方程的解（ ） A.2x+1=7 B.3x-2=10 C.x+5=8 D.5x=18 例3.（2026·泰州姜堰一模）根据等式性质，变形正确的是（ ） A.若a=b，则a+3=b-3 B.若a=b，则= C.若2a=3b，则a=b D.若a=b，则-4a=-4b 例4.（2024秋·扬州广陵期末）“一个数的5倍减去3等于12”，设这个数为x，列方程正确的是（ ） A.5x-3=12 B.5(x-3)=12 C.3x-5=12 D.5x+3=12 例5.（2025秋·宿迁宿豫期中）式子3x-7=2，未知数是____，该方程的解为x=____。 例6.（2026·连云港连云二模）若x=2是方程ax+4=10的解，则a=____。 例7.（2024秋·南京玄武期末）等式x-6=y，根据等式性质1，两边同时加6，可得____。 例8.（2025秋·淮安清江浦期中）长方形周长28cm，长比宽多2cm，设宽为xcm，列方程：________。 例9.（2025秋·镇江丹徒期末）检验与概念辨析 (1) 判断x=1和x=3哪个是方程4x-2=10的解； (2) 区分：2x+4、3+6=9、5x-1=7分别是代数式、等式还是方程。 例10.（2026·盐城盐都三模）根据题意列方程 (1) 某数的3倍与5的和等于该数的7倍； (2) 甲乙两数和为45，甲数比乙数大7，设乙数为x，列方程。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024秋·泰州兴化期末）下列不是方程的是（ ） A.x=0 B.2x+3y=1 C.4a-6 D.5-x=2 2.（2025秋·徐州铜山期中）解为x=5的方程是（ ） A.x+2=7 B.3x=10 C.x-5=1 D.2x-1=8 3.（2026·苏州吴中一模）若m=n，下列变形错误的是（ ） A.m+1=n+1 B.3m=3n C.= D.m-2=n+2 4.（2024秋·无锡锡山期末）“x的4倍比x的一半大6”列方程为（ ） A.4x-x=6 B.4x+x=6 C.4(x-)=6 D.4x=x-6 5.（2025秋·常州武进期中）下列属于等式的是（ ） A.5x>1 B.3a-2 C.6+9=15 D.2y≥4 6.（2026·宿迁泗阳二模）已知x=2是3x+m=11的解，则m=（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 7.（2024秋·连云港东海期末）等式5x=10两边同时除以5，得（ ） A.x=2 B.x=5 C.5x=2 D.x=10 8.（2025秋·盐城东台期中）某班共48人，男生比女生多4人，设女生x人，方程正确的是（ ） A.x+(x+4)=48 B.x+(x-4)=48 C.2x=48+4 D.x-4=48 （二）填空题 9.（2024秋·南通通州期末）在2x-1，7=3+4，5y=0，a>6中，方程有____个。 10.（2025秋·扬州江都期中）检验x=5____方程2x-3=7的解（填“是”或“不是”）。 11.（2026·南京浦口一模）若a=b，则a-8=____。 12.（2024秋·镇江扬中期末）“y的6倍减去9等于15”列方程：________。 13.（2025秋·泰州姜堰期中）已知x=3是方程kx+2=11的解，则k=____。 14.（2026·淮安淮阴二模）等式3x=12，两边同时____得x=4。 15.（2024秋·苏州相城期末）苹果每千克8元，买x千克共花40元，列方程：________。 16.（2025秋·徐州沛县期中）等式x+9=y-2，两边同时减9得________。 （三）解答题 17.（2024秋·盐城射阳期末）概念综合 (1) 把下列式子分类：①4x-1 ②6+8=14 ③3y=9 ④2a>5 ⑤5m-2=0； (2) 检验x=2和x=4哪个是方程3x+2=14的解。 18.（2025秋·宿迁沭阳期中）等式性质应用（3小问） 根据等式性质完成变形，写出依据： (1) 若x-5=6，则x=____，依据：________； (2) 若4x=12，则x=____，依据：________； (3) 若2m-3=n，则2m=____，依据：________。 19.（2026·连云港赣榆一模）实际问题列方程（2小问） (1) 一个数的2倍加上8等于该数的5倍，设这个数为x，列方程； (2) 甲乙两地相距120km，汽车速度xkm/h，行驶2小时走完全程，列方程。 20.在一次植树活动中,甲班植树的棵数比乙班多20%,乙班植树的棵数比甲班的一半多10.设乙班植树x 棵. (1)列两个不同的含x 的代数式表示甲班植树的棵数; (2)根据题意列出含未知数x 的方程; (3)检验乙班和甲班植树的棵数是不是25 和35. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2024秋·南京秦淮期末）下列说法正确的是（ ） A.含有未知数的式子叫方程 B.等式一定是方程 C.方程一定是等式 D.不含未知数的等式是方程 2.（2025秋·苏州姑苏期中）x=6是哪个式子的解（ ） A.x+4=9 B.3x=18 C.x-6=8 D.2x=11 3.（2026·无锡滨湖一模）若x=y，下列变形一定成立的是（ ） A.= B.x+5=y-5 C.-2x=-2y D.3x=y 4.（2024秋·常州天宁期末）“比x的3倍少7的数是11”列方程（ ） A.3x-7=11 B.3(x-7)=11 C.3x+7=11 D.7-3x=11 5.（2025秋·南通崇川期中）下列属于代数式的是（ ） A.4x=8 B.2+7=9 C.5a-3 D.x<10 6.（2026·扬州邗江二模）x=4是方程mx-5=7的解，则m=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 7.（2024秋·泰州海陵期末）等式4+x=9，两边同时减4得（ ） A.x=13 B.x=5 C.4=x-9 D.x=9 8.（2025秋·镇江京口期中）班级图书角共62本书，故事书比科技书多12本，设科技书x本，方程为（ ） A.x+(x+12)=62 B.x+(x-12)=62 C.2x=62+12 D.x-12=62 9.（2026·盐城大丰三模）下列等式变形正确的是（ ） A.若a=b，则a-3=b+3 B.若6x=5，则x=6÷5 C.若a=b，则7a=7b D.若=，则a=b 10.（2024秋·宿迁泗洪期末）式子：①5x ②2+9=11 ③x-3=7 ④4y>2，方程有（）个 A.1 B.2 C.3 D.4 （二）填空题 11.（2024秋·徐州云龙期末）方程必须同时满足两个条件：____、____。 12.（2025秋·淮安清江浦期中）检验x=4____方程5x-6=14的解（填是/不是）。 13.（2026·苏州昆山一模）若m=n，则m+12=____。 14.（2024秋·无锡惠山期末）“t的9倍加上4等于22”列方程：________。 15.（2025秋·常州溧阳期中）已知x=5是ax-3=12的解，则a=____。 16.（2026·南京六合二模）等式6x=24，两边同时____得到x=4。 17.（2024秋·扬州仪征期末）笔记本每本5元，买x本花35元，方程：________。 18.（2025秋·泰州靖江期中）等式y-7=z+1，两边同时加7得________。 19.（2026·连云港海州三模）在3a+2，8=5+3，4x-1=0，b<9中，等式有____个。 20.（2024秋·盐城滨海期末）能使方程左右两边相等的未知数的值叫做________。 （三）解答题 21.（2024秋·苏州张家港期末）概念分类与检验 (1) 分类：①6m+2 ②9-3=6 ③4n=12 ④3t>1 ⑤7p-4=0，区分代数式、等式、方程； (2) 检验x=3、x=5，判断哪个是方程4x-6=14的解。 22.（2025秋·无锡新吴期中）等式性质综合应用 写出变形结果与依据： (1) x+8=15，两边减8，x=____；依据：________； (2) 5y=30，两边除以5，y=____；依据：________； (3) 3a+4=b，两边减4，3a=____；依据：________。 23.（2026·常州武进一模）实际情境列方程 (1) 某数的4倍减6等于该数的2倍，设数为x，列方程； (2) 长方形宽xm，长是宽的2倍，周长48m，列方程。 24.（2024秋·镇江丹阳期末）含参数方程与辨析 (1) 已知x=2是方程5x+k=16的解，求k的值； (2) 小明说“所有等式都是方程”，判断对错并说明理由； (3) 根据题意写等式：比a的7倍多5的数等于33。 25.若不论k取什么实数，关于x的方程＝2＋（m，n是常数）的解总是x＝1，求m＋n的值． 26．甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运动A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别是140元/吨、150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨、80元/吨，本次运送水泥总运费需要25900元，问甲仓库运到A工地水泥的吨数．（运费：元/吨，表示运送每吨水泥所需的人民币） （1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，请在下面表格中用x表示出其他未知量． 甲仓库 乙仓库 A工地 x 　 　 B工地 　 　 x+10 （2）用含x的代数式表示运送甲仓库100吨水泥的运费为　 　元．（写出化简后的结果） （3）请根据题目中的等量关系和以上的分析列出方程．（只列出方程即可，写成ax+b=0的形式，不用解） 27.已知关于x的方程x＋＝3＋的两个解是x1＝3，x2＝； 又已知关于x的方程x＋＝4＋的两个解是x1＝4，x2＝＝； 又已知关于x的方程x＋＝5＋的两个解是x1＝5，x2＝； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x的方程x＋＝c＋的两个解是x1＝c，x2＝；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）.小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1) 关于x的方程x＋＝11＋的两个解是x1＝　　　　和x2＝　　　　； (2) 已知关于x的方程x＋＝12＋，则x的两个解是多少？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册14 《第4章一元一次方程第1节等式与方程》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解等式、方程、一元一次方程、方程的解四个核心概念，能区分等式与方程、识别一元一次方程。 2.掌握等式两条基本性质，能利用性质对等式进行正确变形，辨析变形易错点。 3.会根据实际问题中的等量关系设未知数、列方程，建立方程模型。 4.掌握检验数值是否为方程解的方法，能逆向求解方程参数。 5.依托江苏本地真题训练，夯实基础，规避概念混淆、等式变形漏限制条件等易错陷阱。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.等式、方程的定义辨析。 2.等式基本性质的理解与规范运用。 3.检验方程的解，根据题意列简单一元一次方程。 （二） 难点 1.等式性质2中除数不能为0的隐藏限制条件应用。 2.一元一次方程参数取值（次数为1、系数不为0）综合判断。 3.从文字实际情境中精准提取等量关系列方程。 ) 三．自主探究 （一）等式（天平模型类比） 在日常生活中，有各种各样的数量关系，其中许多是相等关系。 天平左边托盘中有2袋食盐，每袋xg，右边托盘中有3袋白糖，每袋yg，天平平衡表示2x=3y； 长方形的长和宽分别为x，y,面积为S，则S=xy； 购买12支铅笔和3本笔记本共花费58元，铅笔每支a元，笔记本每本b元，则12a+3b=58。 你还能举出一些生活中这样的例子吗? 像2x=3y，S=xy，12a+3b=58这样，表示相等关系的式子叫作等式(equation)。 根据下列情境中的等量关系列出一个等式: （1）某高铁列车以v km/h的平均速度行驶0.5h，行驶的路程为150km; （2）如图一个正方形纸片被分割成四部分; （3）按盐和水的质量之比为1:10的配比，把xg盐配成550g的盐水。 【解析】(1)等量关系:速度x时间=路程，用等式表示为0.5v=150, (2)等量关系:正方形纸片的面积等于四部分面积之和，用等式表示为(a+b)2=a2+2ab+b2; (3)等量关系:盐的质量十水的质量=盐水的质量，用等式表示为x+10x=550. 【探究】(1)如图（1），天平平衡。对天平两边进行如图（2）所示的操作，可以在保持天平平平衡状态称称出一个小球的质量。请写出每一步操操作对的等式，并解释对应等式的实际意义，你能否说出等式是如何变形的?你能说明变形的合理性吗? 【解析】初始等式：天平（1）平衡，对应等式：2x+1=5，它的实际意义是：2个小球（每个质量为x克）加1克砝码，与5个1克砝码质量相等。 第一步操作（两边同时减1）：天平两边同时取下1克砝码，仍然平衡，对应等式：2x+1-1=5-1 化简得：2x=4（等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立）。 第二步操作（两边同时除以2）：天平两边同时取下一半物品（各去掉1个小球、2个砝码），仍然平衡，对应等式：2x÷2=4÷2，化简得：x=2（等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立）。 （2）如图，仿照上述过程设计天平操作过程，求出小球的质量y，写出每一步操作对应的等式，并解释等式的变形过程。 【解析】我们先根据天平的平衡关系写出初始等式，再利用等式的基本性质一步步变形： 步骤1：写出初始等式，从图中天平平衡可知：左边是3个质量为y的小球，右边是1个质量为y的小球和5个1g的砝码，所以等式为：3y=y+5，实际意义：3个小球的总质量等于1个小球与5g砝码的总质量。 步骤2：等式两边同时减y，根据等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立：3y-y=y+5-y，化简得：2y=5，实际意义：天平两边同时去掉1个小球，天平仍平衡，此时左边剩下2个小球，右边剩下5g砝码。步骤3：等式两边同时除以2，根据等式的性质2（等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立）： 2y÷2=5÷2，化简得：y=2.5，实际意义：天平两边物品质量同时减半，天平仍平衡，此时左边是1个小球，右边是2.5g砝码，所以小球质量为2.5g。 根据上面的活动，我们发现: 【归纳】 1.等式的概念 （1）定义：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。 例如：3+2=5、2x+1=5、a+b=b+a 都是等式。 （2）等式可以分为三类： ①恒等式：无论字母取何值，等式都成立（如a+b=b+a） ②条件等式：只有字母取特定值时，等式才成立（如2x+1=5） ③矛盾等式：无论字母取何值，等式都不成立（如x+1=x-1） 2.等式的性质 （1）等式的性质1 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则a±c=b±c。 （2）等式的性质2 等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则ac = bc；若a=b且c≠0，则=。 （3）等式的对称性 若a=b，则b=a（例如：由x=3可得3=x）。 （4）等式的传递性 若a=b且b=c，则a=c（例如：由x=y，y=5可得x=5）。 （二）方程 1.方程的概念 【探究】 （1）如图，天平两边托盘中小球的质量是多少? （2）篮球联赛规则规定:胜一场得2分，负一场得1分，第一中学球队赛了12场，图4-412场，共得20分，该球队胜，负各多少场? （3）一幅长方形油画的长与宽的比为1:0.618，面积为1.6m2，它的长为多少? 【解析】（1）中，有下面的等量关系:左边托盘中物品的质量=右边托盘中物品的质量。用x表示小球的质量，上述等量关系可以表示为3x=x+5. （2）中，有下面的等量关系: 胜的场数+负的场数=12场， 胜场得分+负场得分=20分。 用a,b分别表示胜的场数和负的场数，上述等量关系可以表示为 a+b=12, 2a+b=20. （3）中，有下面的等量关系:长×宽=1.6m2。 用x表示长方形的长，上述等量关系可以表示为 0.618x2=1.6. 在上面的等式中，都是用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫作未知数(unknown number)。解决上述问题的关键是求出未知数的值。像3x=x+5，a+b=12，2a+b=20，0.618x2=1.6这样，含有未知数的等式叫作方程(equation)。 2.从实际问题列方程步骤 根据所设未知数列方程: （1）用16m长的篱笆围一个长方形的小免乐园，当长方形的一边为多少时，乐园面积为15m2。(设长方形的一边长为xm) （2）花赞90元购买了硬面抄和软面抄共30本，硬面抄每本5元，软面抄每本2元。硬面抄和软面抄各买了多少本?(设购买了x本硬面抄和y本软面抄) 【解析】(1)根据题意，得x·(16一2x)=15; (2)根据题意，得x+y=30，5x+2y=90. 3.方程的解 方程是解决实际问题的常用工具。我们根据实际问题中的等量关系列出方程后，还需要进一步求出未知数的值。 【探究】填表 当x=____时，方程2x+1=5+x两边的值相等. 【解析】 x 1 2 3 4 5 2x+1 3 5 7 9 11 5+x 6 7 8 9 10 观察表格可知：当x=4时，方程2x+1=5+x两边的值相等. 分别把0，1，2，3，4代入下列方程，哪个数能使方程两边的值相等? (1)2x-1=5; (2)3x-2=4x-3, 【解析】(1)2x-1= 5 当 x=0：左边=2×0-1=-1，右边=5，不相等 当 x=1：左边=2×1-1=1，右边=5，不相等 当 x=2：左边=2×2-1=3，右边=5，不相等 当 x=3：左边=2×3-1=5，右边=5，相等 当 x=4：左边=2×4-1=7，右边=5，不相等 所以方程 2x-1=5 的解是x=3。 (2)3x-2=4x-3 当 x=0：左边=3×0-2=-2，右边=4×0-3=-3，不相等 当 x=1：左边=3×1-2=1，右边=4×1-3=1，相等 当 x=2：左边=3×2-2=4，右边=4×2-3=5，不相等 当 x=3：左边=3×3-2=7，右边=4×3-3=9，不相等 当 x=4：左边=3×4-2=10，右边=4×4-3=13，不相等 所以方程 3x-2=4x-3 的解是 x=1 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解(solution ofequation)，如x=4是方程2x+1=5+x的解。求方程的解的过程叫作解方程(solving equation)。在后续的学习中，我们将从简单到复杂，学习解各类方程的方法 【归纳】 1.方程的概念 （1）定义：含有未知数的等式叫做方程。 （2）两个关键要素： ①是等式（有“=”连接）； ②含有未知数（字母，如x,y等）。 示例：2x+1=5、3y=2y+5都是方程；而3+2=5是等式但不是方程（无未知数），2x+3不是等式也不是方程。 2.从实际问题列方程步骤 （1）审题，找出等量关系； （2）设未知数（通常设所求量为x）； （3）用含x的式子表示相关量； （4）根据等量关系写等式（方程）。 3.方程的解 （1）定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 （2）检验步骤： ①把数值代入方程左边； ②代入右边； ③比较左右是否相等，相等即为解。 四．经典例题 例1.（2024秋·盐城阜宁期末）下列各式属于方程的是（ ） A.3x+5 B.7-2=5 C.2x-1=9 D.x+3<8 【答案】：C 【解析：方程需要同时满足“等式+含未知数”；A无等号是代数式，B无未知数，D是不等式，只有C符合定义。 例2.（2025秋·南通海门期中）x=4是下列哪个方程的解（ ） A.2x+1=7 B.3x-2=10 C.x+5=8 D.5x=18 【答案】：B 【解析】：逐一代入检验：A左边=2×4+1=9≠7；B左边=12-2=10=右边；C左边=9≠8；D左边=20≠18。 例3.（2026·泰州姜堰一模）根据等式性质，变形正确的是（ ） A.若a=b，则a+3=b-3 B.若a=b，则= C.若2a=3b，则a=b D.若a=b，则-4a=-4b 【答案】：D 【解析】：A两边加减不一致；B缺少c≠0条件；C两边乘的数字不同；D等式两边同乘-4，符合性质2。 例4.（2024秋·扬州广陵期末）“一个数的5倍减去3等于12”，设这个数为x，列方程正确的是（ ） A.5x-3=12 B.5(x-3)=12 C.3x-5=12 D.5x+3=12 【答案】：A 【解析】：文字翻译：5倍即5x，减3为5x-3，等于12，对应5x-3=12。 例5.（2025秋·宿迁宿豫期中）式子3x-7=2，未知数是____，该方程的解为x=____。 【答案】：x；3 【解析】：未知数为字母x；代入x=3，左边=9-7=2=右边。 例6.（2026·连云港连云二模）若x=2是方程ax+4=10的解，则a=____。 【答案】：3 【解析】：把x=2代入得2a+4=10，2a=6，a=3。 例7.（2024秋·南京玄武期末）等式x-6=y，根据等式性质1，两边同时加6，可得____。 【答案】：x=y+6 【解析】：等式两边同时加6，左边x-6+6=x，右边y+6。 例8.（2025秋·淮安清江浦期中）长方形周长28cm，长比宽多2cm，设宽为xcm，列方程：________。 【答案】：2[x+(x+2)]=28 【解析】：宽x，长x+2；周长公式2×(长+宽)，代入得2[x+(x+2)]=28。 例9.（2025秋·镇江丹徒期末）检验与概念辨析 (1) 判断x=1和x=3哪个是方程4x-2=10的解； (2) 区分：2x+4、3+6=9、5x-1=7分别是代数式、等式还是方程。 【答案】(1) x=3是方程的解； (2) 2x+4是代数式；3+6=9是等式；5x-1=7是方程。 【解析】(1) x=1：左边=4-2=2≠10；x=3：左边=12-2=10=右边； (2) 无等号为代数式；有等号无未知数为等式；有等号有未知数为方程。 例10.（2026·盐城盐都三模）根据题意列方程 (1) 某数的3倍与5的和等于该数的7倍； (2) 甲乙两数和为45，甲数比乙数大7，设乙数为x，列方程。 【答案】(1) 3x+5=7x；(2) (x+7)+x=45。 【解析】(1) 设该数为x，3倍加5：3x+5，等于7倍7x； (2) 乙数x，甲数x+7，两数相加和为45。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024秋·泰州兴化期末）下列不是方程的是（ ） A.x=0 B.2x+3y=1 C.4a-6 D.5-x=2 【答案】：C 【解析】：C无等号，属于代数式，不满足等式条件，不是方程。 2.（2025秋·徐州铜山期中）解为x=5的方程是（ ） A.x+2=7 B.3x=10 C.x-5=1 D.2x-1=8 【答案】：A 【解析】：代入x=5，A左边=5+2=7=右边，其余选项左右不等。 3.（2026·苏州吴中一模）若m=n，下列变形错误的是（ ） A.m+1=n+1 B.3m=3n C.= D.m-2=n+2 【答案】：D 【解析】：等式两边必须同时加减相同数字，D左边减2、右边加2，变形错误。 4.（2024秋·无锡锡山期末）“x的4倍比x的一半大6”列方程为（ ） A.4x-x=6 B.4x+x=6 C.4(x-)=6 D.4x=x-6 【答案】：A 【解析】：4倍4x，一半x，大6即差值为6，4x-x=6。 5.（2025秋·常州武进期中）下列属于等式的是（ ） A.5x>1 B.3a-2 C.6+9=15 D.2y≥4 【答案】：C 【解析】：等式带等号；A、D是不等式，B是代数式。 6.（2026·宿迁泗阳二模）已知x=2是3x+m=11的解，则m=（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】：B 【解析】：代入x=2，6+m=11，m=5。 7.（2024秋·连云港东海期末）等式5x=10两边同时除以5，得（ ） A.x=2 B.x=5 C.5x=2 D.x=10 【答案】：A 【解析】：等式性质2，两边同除以5，x=2。 8.（2025秋·盐城东台期中）某班共48人，男生比女生多4人，设女生x人，方程正确的是（ ） A.x+(x+4)=48 B.x+(x-4)=48 C.2x=48+4 D.x-4=48 【答案】：A 【解析】：女生x，男生x+4，男女生总和48，相加列等式。 （二）填空题 9.（2024秋·南通通州期末）在2x-1，7=3+4，5y=0，a>6中，方程有____个。 【答案】：1 【解析】：只有5y=0同时含等号和未知数。 10.（2025秋·扬州江都期中）检验x=5____方程2x-3=7的解（填“是”或“不是”）。 【答案】：是 【解析】：左边=10-3=7=右边。 11.（2026·南京浦口一模）若a=b，则a-8=____。 【答案】：b-8 【解析】：等式性质1，两边同减8。 12.（2024秋·镇江扬中期末）“y的6倍减去9等于15”列方程：________。 【答案】：6y-9=15 【解析】：6倍6y，减9，等于15。 13.（2025秋·泰州姜堰期中）已知x=3是方程kx+2=11的解，则k=____。 【答案】：3 【解析】：3k+2=11，3k=9，k=3。 14.（2026·淮安淮阴二模）等式3x=12，两边同时____得x=4。 【答案】：除以3 【解析】：根据等式性质2，同除以3。 15.（2024秋·苏州相城期末）苹果每千克8元，买x千克共花40元，列方程：________。 【答案】：8x=40 【解析】：单价×数量=总价。 16.（2025秋·徐州沛县期中）等式x+9=y-2，两边同时减9得________。 【答案】：x=y-11 【解析】：左边x+9-9=x，右边y-2-9=y-11。 （三）解答题 17.（2024秋·盐城射阳期末）概念综合 (1) 把下列式子分类：①4x-1 ②6+8=14 ③3y=9 ④2a>5 ⑤5m-2=0； (2) 检验x=2和x=4哪个是方程3x+2=14的解。 【答案】(1) 代数式：①；等式：②③⑤；方程：③⑤；(2) x=4是方程的解。 【解析】(1) 无等号为代数式；有等号无未知数为等式；有等号有未知数为方程；(2) x=2：6+2=8≠14；x=4：12+2=14=右边。 18.（2025秋·宿迁沭阳期中）等式性质应用（3小问） 根据等式性质完成变形，写出依据： (1) 若x-5=6，则x=____，依据：________； (2) 若4x=12，则x=____，依据：________； (3) 若2m-3=n，则2m=____，依据：________。 【答案】(1) 11；等式性质1，两边同时加5；(2) 3；等式性质2，两边同时除以4； (3) n+3；等式性质1，两边同时加3。 【解析】：严格对照等式两条性质完成变形。 19.（2026·连云港赣榆一模）实际问题列方程（2小问） (1) 一个数的2倍加上8等于该数的5倍，设这个数为x，列方程； (2) 甲乙两地相距120km，汽车速度xkm/h，行驶2小时走完全程，列方程。 【答案】(1) 2x+8=5x；(2) 2x=120。 【解析】(1) 2倍加8等于5倍；(2) 路程=速度×时间，2小时路程2x等于总距离120。 20.在一次植树活动中,甲班植树的棵数比乙班多20%,乙班植树的棵数比甲班的一半多10.设乙班植树x 棵. (1)列两个不同的含x 的代数式表示甲班植树的棵数; (2)根据题意列出含未知数x 的方程; (3)检验乙班和甲班植树的棵数是不是25 和35. 解：(1)根据甲班植树的棵数比乙班多20%,得甲班植树的棵数为(1+20%)x;根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10,得甲班植树的棵数为2(x-10). (2)(1+20%)x=2(x-10). (3)把x=25分别代入(2)中方程的左边和右边, 得左边=(1+20%)×25=30,右边=2×(25-10)=30.所以左边=右边,所以x=25是方程(1+20%)x=2(x-10)的解.此时2(x-10)=30. 所以乙班植树的棵数是25,甲班植树的棵数是30,而不是35. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2024秋·南京秦淮期末）下列说法正确的是（ ） A.含有未知数的式子叫方程 B.等式一定是方程 C.方程一定是等式 D.不含未知数的等式是方程 【答案】：C 【解析】：方程定义是“含未知数的等式”，所以方程必然是等式；A缺少“等式”条件，B等式若无未知数不是方程，D明显错误。 2.（2025秋·苏州姑苏期中）x=6是哪个式子的解（ ） A.x+4=9 B.3x=18 C.x-6=8 D.2x=11 【答案】：B 【解析】：代入x=6，B左边=18=右边，其余不相等。 3.（2026·无锡滨湖一模）若x=y，下列变形一定成立的是（ ） A.= B.x+5=y-5 C.-2x=-2y D.3x=y 【答案】：C 【解析】：A缺少k≠0；B两边加减不同；D系数不同；C等式两边同乘-2，恒成立。 4.（2024秋·常州天宁期末）“比x的3倍少7的数是11”列方程（ ） A.3x-7=11 B.3(x-7)=11 C.3x+7=11 D.7-3x=11 【答案】：A 【解析】：3倍3x，少7即减7，等于11。 5.（2025秋·南通崇川期中）下列属于代数式的是（ ） A.4x=8 B.2+7=9 C.5a-3 D.x<10 【答案】：C 【解析】：代数式无等号、不等号；A方程，B等式，D不等式。 6.（2026·扬州邗江二模）x=4是方程mx-5=7的解，则m=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】：B 【解析】：代入4m-5=7，4m=12，m=3。 7.（2024秋·泰州海陵期末）等式4+x=9，两边同时减4得（ ） A.x=13 B.x=5 C.4=x-9 D.x=9 【答案】：B 【解析】：4+x-4=9-4，化简x=5。 8.（2025秋·镇江京口期中）班级图书角共62本书，故事书比科技书多12本，设科技书x本，方程为（ ） A.x+(x+12)=62 B.x+(x-12)=62 C.2x=62+12 D.x-12=62 【答案】：A 【解析】：科技书x，故事书x+12，两类相加总数62。 9.（2026·盐城大丰三模）下列等式变形正确的是（ ） A.若a=b，则a-3=b+3 B.若6x=5，则x=6÷5 C.若a=b，则7a=7b D.若=，则a=b 【答案】：C 【解析】：等式两边同乘7，符合性质2；A加减不同；B应为x=5÷6；D两边分母不同，不能直接得a=b。 10.（2024秋·宿迁泗洪期末）式子：①5x ②2+9=11 ③x-3=7 ④4y>2，方程有（）个 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】：A 【解析】：只有③同时含等号与未知数。 （二）填空题 11.（2024秋·徐州云龙期末）方程必须同时满足两个条件：____、____。 【答案】：是等式；含有未知数 【解析】：方程定义核心两点。 12.（2025秋·淮安清江浦期中）检验x=4____方程5x-6=14的解（填是/不是）。 【答案】：是 【解析】：左边=20-6=14=右边。 13.（2026·苏州昆山一模）若m=n，则m+12=____。 【答案】：n+12 【解析】：等式性质1，两边同时加12。 14.（2024秋·无锡惠山期末）“t的9倍加上4等于22”列方程：________。 【答案】：9t+4=22 【解析】：9倍9t，加4，等于22。 15.（2025秋·常州溧阳期中）已知x=5是ax-3=12的解，则a=____。 【答案】：3 【解析】：5a-3=12，5a=15，a=3。 16.（2026·南京六合二模）等式6x=24，两边同时____得到x=4。 【答案】：除以6 【解析】：等式性质2，同除以6。 17.（2024秋·扬州仪征期末）笔记本每本5元，买x本花35元，方程：________。 【答案】：5x=35 【解析】：单价×数量=总价。 18.（2025秋·泰州靖江期中）等式y-7=z+1，两边同时加7得________。 【答案】：y=z+8 【解析】：左边y-7+7=y，右边z+1+7=z+8。 19.（2026·连云港海州三模）在3a+2，8=5+3，4x-1=0，b<9中，等式有____个。 【答案】：2 【解析】：等式为8=5+3、4x-1=0，共2个。 20.（2024秋·盐城滨海期末）能使方程左右两边相等的未知数的值叫做________。 【答案】：方程的解 【解析】：课本定义原文。 （三）解答题 21.（2024秋·苏州张家港期末）概念分类与检验 (1) 分类：①6m+2 ②9-3=6 ③4n=12 ④3t>1 ⑤7p-4=0，区分代数式、等式、方程； (2) 检验x=3、x=5，判断哪个是方程4x-6=14的解。 【答案】(1) 代数式：①；等式：②③⑤；方程：③⑤；(2) x=5是方程的解。 【解析】(1) 无等号为代数式；带等号无未知数是普通等式；带等号有未知数是方程； (2) x=3：12-6=6 eq14；x=5：20-6=14=右边。 22.（2025秋·无锡新吴期中）等式性质综合应用 写出变形结果与依据： (1) x+8=15，两边减8，x=____；依据：________； (2) 5y=30，两边除以5，y=____；依据：________； (3) 3a+4=b，两边减4，3a=____；依据：________。 【答案】(1) 7；等式性质1；(2) 6；等式性质2；(3) b-4；等式性质1。 【解析】：等式性质1：同加减；性质2：同乘除（除数不为0）。 23.（2026·常州武进一模）实际情境列方程 (1) 某数的4倍减6等于该数的2倍，设数为x，列方程； (2) 长方形宽xm，长是宽的2倍，周长48m，列方程。 【答案】(1) 4x-6=2x；(2) 2(x+2x)=48。 【解析】(1) 4倍减6：4x-6，等于2倍2x； (2) 宽x，长2x，周长2(长+宽)=48。 24.（2024秋·镇江丹阳期末）含参数方程与辨析 (1) 已知x=2是方程5x+k=16的解，求k的值； (2) 小明说“所有等式都是方程”，判断对错并说明理由； (3) 根据题意写等式：比a的7倍多5的数等于33。 【答案】(1) k=6；(2) 错误；不含未知数的等式（如2+3=5）不是方程；(3) 7a+5=33。 【解析】(1) 代入x=2：10+k=16，k=6；(2) 方程必须含未知数，等式不一定有未知数； （3）7倍7a，多5即加5，等于33。 25.若不论k取什么实数，关于x的方程＝2＋（m，n是常数）的解总是x＝1，求m＋n的值． 解：将x＝1代入方程，得＝2＋，去分母，得2(2k＋m)＝12＋1－nk， 整理，得(4＋n)k＝13－2m.因为不论k取什么实数，关于x的方程＝2＋(m，n是常数)的解总是x＝1，所以4＋n＝0，13－2m＝0，解得n＝－4，m＝6.5，则m＋n＝2.5. 26．甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运动A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别是140元/吨、150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨、80元/吨，本次运送水泥总运费需要25900元，问甲仓库运到A工地水泥的吨数．（运费：元/吨，表示运送每吨水泥所需的人民币） （1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，请在下面表格中用x表示出其他未知量． 甲仓库 乙仓库 A工地 x 　 　 B工地 　 　 x+10 （2）用含x的代数式表示运送甲仓库100吨水泥的运费为　 　元．（写出化简后的结果） （3）请根据题目中的等量关系和以上的分析列出方程．（只列出方程即可，写成ax+b=0的形式，不用解） 解：（1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，则运到B地水泥的吨数为（100﹣x）吨， 乙仓库运到A工地水泥的吨数为（70﹣x）吨，则运到B地水泥的吨数为（x+10）吨， 补全表格如下： 甲仓库 乙仓库 A工地 x 70﹣x B工地 100﹣x x+10 （2）运送甲仓库100吨水泥的运费为140x+150（100﹣x）=﹣10x+15000，故答案为：﹣10x+15000； （3）140x+150（100﹣x）+200（70﹣x）+80（x+10）=25900，整理得：﹣130x+3900=0． 27.已知关于x的方程x＋＝3＋的两个解是x1＝3，x2＝； 又已知关于x的方程x＋＝4＋的两个解是x1＝4，x2＝＝； 又已知关于x的方程x＋＝5＋的两个解是x1＝5，x2＝； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x的方程x＋＝c＋的两个解是x1＝c，x2＝；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）.小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1) 关于x的方程x＋＝11＋的两个解是x1＝　　　　和x2＝　　　　； (2) 已知关于x的方程x＋＝12＋，则x的两个解是多少？ 解：(1) 11　 (2) 因为x＋＝12＋，所以x－1＋＝12＋－1，所以x－1＋＝11＋， 所以x1－1＝11，x2－1＝，所以x1＝12，x2＝. 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