5.3.1古算问题-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的古算问题，以视频导入结合《孙子算经》“雉兔同笼”问题，通过回顾算术法、一元一次方程过渡到二元一次方程组，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合中国古代数学文化，以古算题为载体培养抽象能力、推理意识与模型观念，如“盈不足”“分物问题”等，引导学生从古文题意中提取等量关系。学生能提升数学应用能力与文化认同，教师可借助系统解题步骤和经典例题高效教学。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 5.3.1古算问题 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.3.1 古算问题 练习题 本节核心考点：以中国古代数学题为背景，读懂古文题意，提取等量关系，列二元一次方程组求解。核心能力为古文翻译、找等量、列方程组，是本章经典必考应用题题型，题型固定、套路统一。 核心解题步骤（必背） 1. 翻译题意：将古文语言转化为现代数学语言，梳理已知条件； 2. 设未知数：一般设两个未知量为x、y（如人数、物价、数量等）； 3. 找双等量：古算题必有两组不变等量关系，据此列二元一次方程组； 4. 解方程：用代入或加减消元法求解； 5. 写答：结合题意作答，贴合实际情境。 常见古算模型：盈不足问题、鸡兔同笼问题、分物问题、收支问题。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 解决古算问题的核心是读懂题意，找到两组________，列出二元一次方程组求解。 2. 鸡兔同笼问题中，常用的两个等量关系是总头数和________。 3. 盈不足问题中，两次分配的________不变、________不变，是列方程关键。 4. 古算题“两数和为20，差为4”，设两数为x、y，可列方程组________。 5. 解决古算应用题，最后必须根据________检验解的合理性。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 鸡兔同笼问题需要的未知量是（） A. 仅鸡的数量 B. 仅兔的数量 C. 鸡和兔的数量 D. 总脚数 2. 古算盈不足问题，下列说法正确的是（） A. 只有一组等量关系 B. 物品总数、人数均不变 C. 只能列一元一次方程 D. 解可以为负数 3. “今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足”，设鸡x只，兔y只，下列方程组正确的是（） A. $$\begin{cases}x+y=35\\2x+4y=94\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y=35\\4x+2y=94\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x+y=94\\2x+4y=35\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x-y=35\\2x+4y=94\end{cases}$$ 4. 古算问题的解需要满足的条件是（） A. 只需满足方程 B. 必须为非负整数 C. 任意实数 D. 任意正数 5. 古算题列方程组的核心是（） A. 随意设数 B. 找两组等量关系 C. 直接计算 D. 猜测答案 三、解答应用题（共60分） 1.（20分）经典鸡兔同笼：今有鸡兔同笼，上有20头，下有56足，问鸡兔各几何？ 2.（20分）盈不足问题：今有人分物，每人分5个，余3个；每人分6个，缺4个。求人数和物品总数。 3.（20分）古算和差问题：甲乙两数，和为28，甲数比乙数大6，求甲乙两数。 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. 等量关系 2. 总脚数 3. 物品总数、人数 4. $$\begin{cases}x+y=20\\x-y=4\end{cases}$$ 5. 实际意义 选择题答案 1.C 2.B 3.A 4.B 5.B 解答题详细解析 1. 解： 设鸡有x只，兔有y只，根据题意得： $$\begin{cases}x+y=20&①\\2x+4y=56&②\end{cases}$$ 由②化简得：$$x+2y=28&③$$ ③-①得：$$y=8$$， 把$$y=8$$代入①得：$$x=12$$。 答：鸡有12只，兔有8只。 2. 解： 设共有x人，物品有y个，根据题意得： $$\begin{cases}y=5x+3\\y=6x-4\end{cases}$$ 联立得：$$5x+3=6x-4$$，解得$$x=7$$， 代入得：$$y=5\times7+3=38$$。 答：共有7人，物品总数为38个。 3. 解： 设甲数为x，乙数为y，根据题意得： $$\begin{cases}x+y=28\\x-y=6\end{cases}$$ 两式相加得：$$2x=34$$，解得$$x=17$$， 代入得：$$y=11$$。 答：甲数为17，乙数为11。 五、易错点总结 1. 题意翻译错误：误解“盈、不足、余、缺”等古文词汇，导致等量关系列反； 2. 等量关系找不全：只找到一组关系，无法求解两个未知数； 3. 鸡兔脚数混淆：鸡2足、兔4足，写反脚数系数是高频扣分点； 4. 忽略实际意义：古算问题人数、数量必须为正整数，负数、小数解要舍去； 5. 答题不规范：无设元、无方程组、无作答，步骤缺失扣分严重。 视频导入 一级标题：黑体， 2 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国. 导入新知 3 新课探究 《孙子算法》中记载的算法： 术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。 又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。 金鸡独立，兔子站起 脚数： 94÷2=47（只） 头数： 兔：47-35=12（只） 鸡：35-12=23（只） 你能用一元一次方程或小学的算术方法求解这个问题吗？ 35×2 = 70 94 - 70 = 24 兔：24÷2=12 鸡：35-12=23 ① 算术法 ② 一元一次方程 解：设有鸡x只， 则兔有（35 - x）只. 则 2x + 4（35 - x） = 94 解得 x = 23 即 35 - x = 12 答：鸡有23只，兔有12只. ③ 二元一次方程组 等量关系： 鸡头 + 兔头 = 35， 鸡足 + 兔足 = 94. 鸡 兔 总数 头 足 x y 35 2x 4y 94 设笼中有鸡有x只，兔y只 解方程组，得 上有三十五头， 下有九十四足． 1. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度 之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？” 意思是： “用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材 的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”若设木材的 长为尺，绳子长为 尺，则根据题意列出的方程组是 ( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 7 2. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众 客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”. 诗中后两句的 意思是如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9 人，那么就空出一间客房.据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、 丙三人的解题方案，其中正确的个数是 ( ) 甲：设客房有间，则 ； 乙：设客人有人，则 ； 丙：设客房有间，客人有人，则 C A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 返回 中考考法 8 尝试·思考 列方程组求解下面的问题： 若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？[选自意大利数学家斐波纳奇的《计算之书》] 解：设甲原来拥有x第纳尔，乙原来拥有y第纳尔. 由题意，得 解得 答：甲、乙两人原来各拥有 第纳尔. 例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数. 甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等. 问：甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱. 如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱? 分析：题目中有哪些等量关系？你能用含未知量的式子表示这些等量关系吗? 解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y. x+10=6（y-10） x-10=y+10 例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数. 甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等. 问：甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱. 如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱? 解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y. x+10=6（y-10） x-10=y+10 解这个方程组，得 x=38 y=18 所以，甲带了 38 钱，乙带了18 钱. 列方程组求解古算题： 今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.问：牛、羊各直金几何？（选自《九章算术》） 题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”. 2头牛、5只羊共价值8两“金”.问：每头牛、每只羊各价值多少“金”？ 解：设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”. 由题意，得 解得 答：牛值 两“金”，羊值 两“金”. 【选自教材P121 随堂练习】 思考·交流 列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？与同伴进行交流. 3.［2025成都青羊区一模］《九章算术》中记载这样一个问 题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉， 损实二斗五升，当下禾五秉.”翻译后的大致意思：5捆上等稻 子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等 稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷.则上等 稻子1捆能结___升稻谷（1斗 升）. 5 返回 中考考法 14 4.《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”.下面是其卷中 记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百， 盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？这段 话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3 400 钱；每人出300钱，会剩余100钱.求合伙人数、金价各是多少？ 请解决上述问题. 中考考法 15 【解】设共有人合伙买金，金价为 钱. 依题意得 解得 所以，合伙人数是33，金价为9 800钱. 返回 中考考法 16 5.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问 题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一， 金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有 黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚 （每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚 后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、 白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重 两， 根据题意可列方程组为_ _________________________. 返回 中考考法 17 6.在《九章算术》中，二元一 次方程组是通过“算筹”摆放的， 如图①、图②中各行从左到右 列出的算筹数分别表示未知数， 的系数与相应的常数项. 如图①表示的方程组是 在图②所示的 算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程 组中 的值为3，则被墨水所覆盖的图形为__. 返回 中考考法 18 7.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.它由供水 壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭 壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭 尺刻度计算时间.已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小 时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为 .若开 始记录时是上午，则当箭尺读数为 时的时间为 ______. 21:00 返回 中考考法 19 8.［2025徐州月考］我国传统数学名著《九章算术》记载： “今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两. 问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19 两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别 值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： 中考考法 20 （1）每头牛、每只羊各值多少两银子？ 【解】设每头牛值两银子，每只羊值 两银子. 根据题意，得解得 所以每头牛值3两银子，每只羊值2两银子. 中考考法 21 （2）若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有 羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出 所有的可能. 中考考法 22 设该商人购买了头牛， 只羊，根据题意，得 ，即 . 因为，均为正整数，所以 为2的倍数. 当时， ； 当时， ； 中考考法 23 当时， ； 当为大于8的正整数时， 为负数，不合题意. 所以该方程的解为或或 中考考法 即共有三种购买方法： 方案一：购买2头牛，9只羊； 方案二：购买4头牛，6只羊； 方案三：购买6头牛，3只羊. 返回 中考考法 25 课堂小结 实际问题 数学问题 二元一次方程组 设未知数、列方程组 转化 数学问题的解 二元一次方程组的解 检验 实际问题 的答案 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $