第一章 勾股定理 习题课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕勾股定理展开，涵盖认识定理、利用定理求图形面积及直角三角形边长等核心知识点。课堂从探索勾股定理导入，通过基础题巩固概念，再到能力提升和思维拓展，形成由浅入深的学习支架，帮助学生逐步掌握定理应用。 其亮点在于结合生活情境（如门框通过问题、隧道长度计算）和图形综合题，培养数学眼光与应用意识。通过推理过程（如求AD长、面积计算）和符号表达（幻灯片公式推导），发展数学思维与语言。分层练习设计让学生循序渐进，教师可直接用于教学提升效率，学生能增强解决实际问题的能力。

第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第2课时　勾股定理的验证及简单应用 知识点1　验证勾股定理 1.历史上勾股定理的“总统证法”采用的图形如图所示，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在同一条直线上。证明中用到的面积相等关系是(　　) A.S△EDA＝S△CEB B.S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C.S四边形CDAE＝S四边形CDEB D.S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (第1题) D 返回首页 2.汉末三国初数学家赵爽用四个两直角边分别为a，b(a≤b)、斜边为c的直角三角形拼成的正方形如图所示，并用此图证明了勾股定理。请你利用此图写出证明勾股定理的过程。 解：∵S正方形＝4×ab＋(b－a)2 ＝a2＋b2， S正方形＝c2， ∴a2＋b2＝c2。 ＝2ab＋b2＋a2－2ab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 知识点2　勾股定理的简单应用 3.如图，电工师傅在为长方形房间布埋电线管，若电线管要从天花板的A墙角走到C墙角，电线管的长度至少要(　　) A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m (第3题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 4.(2025福州马尾区期中)《九章算术》记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何。意思是：如图，现有一根竹子，原高一丈(10尺)，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度。设竹子折断处离地面的高度为x尺。根据题意，可列方程为(　　) A.x2＋32＝102 B.＋32＝x2 C.x2＋32＝ D.x2＋＝32 (第4题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 5.如图，有两棵树AB和CD，AB＝8 m，CD＝2 m，两树之间的距离BD＝8 m，一只小鸟从A处飞到C处，小鸟至少飞行多少米？ 解：如图，连接AC，作CE⊥AB于点E，则 AE＝8－2＝6，CE＝BD＝8。 在Rt△AEC中，根据勾股定理，得 AC2＝AE2＋CE2＝62＋82＝100。 ∴AC＝10。 ∴小鸟至少飞行10 m。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 6.学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1 m(如图1)，将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AB＝5 m(如图2)，则旗杆的高度BC为(　　) A.10 m B.11 m C.12 m D.13 m (第6题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 7.已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以20 km/h的速度向东航行，船B以15 km/h的速度向北航行。它们离开港口2 h后，两船相距____km。 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 8.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”。又到了放风筝的最佳时节，某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①如图，测得水平距离BD的长为15 m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m；③牵线放风筝的小明的身高为1.6 m。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 ∴CD＝20。 ∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(m)。 答：风筝的垂直高度CE为21.6 m。 (1)求风筝的垂直高度CE； 解：在Rt△CDB中，由勾股定理，可得 CD2＝BC2－BD2＝252－152＝400。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)如果小明想让风筝沿CD方向下降12 m，那么他应该往回收线多少米？ 解：假设风筝下降至点M处，连接BM，如图所示。 由题意得，CM＝12， ∴DM＝20－12＝8。 ∴BM2＝DM2＋BD2＝82＋152＝289。 ∴BM＝17。 ∴BC－BM＝25－17＝8(m)。 ∴他应该往回收线8 m。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 9.利用“面积法”验证勾股定理给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形按如图所示摆放时，可以用“面积法”通过计算五边形ACBED的面积来验证a2＋b2＝c2。请你完成下面问题： 如图所示，△ACB与△AED是边长分别为a，b，c的两个全等的直角三角形，若∠DAB＝90°，请验证：a2＋b2＝c2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 解：如图，连接BD，过点B作边DE上的高BF，则BF＝b－a。 ∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab， S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)， ∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)。 ∴a2＋b2＝c2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 $第一章　勾股定理 2　一定是直角三角形吗 知识点1　直角三角形的判定 1.(2025福州立志中学期末)下列长度的三条线段，不能构成直角三角形的是(　　) A.3，4，5 B.6，8，10 C.5，12，13 D.8，13，15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 返回首页 2.如图，以△ABC的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1＋S2＝S3，那么△ABC是_____三角形。 (第2题) 直角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 3.判断下列两组数能否作为直角三角形的三边长，并写出你的 理由。 (1)7，24，25； 解：7，24，25能作为直角三角形的三边长。理由如下： ∵72＋242＝625，252＝625， ∴72＋242＝252。 ∴7，24，25能作为直角三角形的三边长。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)20，48，50。 解：20，48，50不能作为直角三角形的三边长。理由如下： ∵202＋482＝2 704，502＝2 500， ∴202＋482≠502。 ∴20，48，50不能作为直角三角形的三边长。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 4.一位农民建房时挖出地基的平面图如图所示，按标准为长方形。挖完后测得AB＝CD＝8 m，AD＝BC＝6 m，对角线AC＝9.2 m，请你判断挖的地基是否符合标准，并说明理由。 解：挖的地基不符合标准。理由如下： ∵AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m， ∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 ∵AC2＝9.22＝84.64， ∴AB2＋BC2≠AC2。 ∴∠ABC≠90°。 ∴挖的地基不符合标准。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 知识点2　勾股数 5.(2026宁德霞浦六中月考)下列各组数中，是勾股数的一组是(　　) A.5，6，7 B.0.3，0.4，0.5 C.52，122，132 D.5，12，13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 6.有下列5组数据，且每组数据都有3个数：①1，2，5；②15，8，17；③9，12，13；④7.5，4，8.5；⑤9，40，41。若每组中的数都表示线段的长度，则能组成直角三角形的是_______，是勾股数的是_____。(填序号) ②④⑤ ②⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 知识点3　直角三角形判定的综合应用 7.(2025莆田文献中学期中)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，D是Rt△ABC外一点，连接CD，AD，且CD＝12，AD＝13。求四边形ABCD的面积。 ∴AC＝5。 解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25。 ∵CD＝12，AD＝13， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 ∴AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169， AD2＝132＝169。 ∴AC2＋CD2＝AD2。 ∴∠ACD＝90°。 ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×5×12＝6＋30＝36。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 8.(2026漳州诏安期中)已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B.∠A＋∠B＝∠C C.a＝3，b＝4，c＝5 D.a2－b2＝c2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 9.如图，在边长为1的正方形组成的方格网中，A，B，C都在格点上，则∠ABC的度数为____。 (第9题) 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 10.某超市购物车的侧面简化示意图如图所示，测得支架AC＝80 cm，CB＝60 cm，两轮中心的距离AB＝100 cm，则点C到AB的距离是___cm。 (第10题) 48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 11.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数。你认为对吗？如果对，请说明理由，并利用这个结论得出三组勾股数。 解：对。理由如下： ∵a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2， 而c2＝(m2＋1)2， ∴a2＋b2＝c2，即a，b，c是勾股数。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 勾股数答案不唯一。例如， m＝2时，勾股数为4，3，5； m＝3时，勾股数为6，8，10； m＝4时，勾股数为8，15，17。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 12.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝BD＝5 cm，动点P从点A出发，沿A→B→D的路线运动到点D，速度为2 cm/s；动点Q从点D出发，沿D→C→B→A的路线运动到点A，速度为2.8 cm/s。若P，Q同时出发，出发后第5 s时点P，Q相距3 cm，试确定此时△APQ的形状。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 解：根据题意，得5 s时点P的运动路程为2×5＝10(cm)。 ∵AB＝BD＝5 cm， ∴此时点P与点D重合。 点Q的运动路程为 2.8×5＝14(cm)。 ∵AB＝BC＝CD＝5 cm， DC＋CB＋BA＝15 cm， ∴点Q在边AB上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 且BQ＝4 cm。 连接PQ，如答图所示。 在△BPQ中，BQ＝4 cm，PQ＝3 cm， ∴BQ2＋PQ2＝BP2。 ∴△BPQ为直角三角形，∠BQP＝90°。 ∴∠AQP＝180°－∠BQP＝90°。 ∴△APQ为直角三角形。 BP＝5 cm， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 $第一章　勾股定理 综合与实践　监控器最优布设方式 (2026泉州鲤城区月考)【项目主题】监控器最优布设方式。 【项目背景】台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全。 返回首页 已知监控器有效监测距离为500 m，最大旋转角度为90°。如图1，村落位于河流南侧，河流需要监测的长度为5 000 m。监控布设线l距离河流300 m，任意两个监控器布设点之间的距离相等。 返回首页 【项目方案1】(1)如图2，从河流南岸A处起，若AM1＝500 m，BM1⊥AB，则AB为监控器M1的监测范围；从B处起，若BM2＝500 m，CM2⊥BC，则BC为监控器M2的监测范围。若按该方案进行布设，该水利部门至少需要布设多少个监控器？ 解：在Rt△ABM1中，BM1＝300 m， AM1＝500 m， ∴由勾股定理，得AB＝＝400 m。 返回首页 ∵河流需要监测的长度为5 000 m， ＝12.5， ∴该水利部门至少需要布设13个监控器。 返回首页 【项目方案2】(2)为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图3所示的方案，AB为监控器M1的监测范围，BC为监控器M2的监测范围，AM1⊥BM1，BM2⊥CM2，此时BM1＝CM2＝375 m。若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设多少个监控器？ 返回首页 解：如图，过点M1作M1N⊥AB于点N。 根据题意，得M1N＝300。 在Rt△M1NB中，BM1＝375， ∴由勾股定理，得BN＝＝＝225。 设AN＝x m，则AB＝BN＋AN＝(225＋x)m。 ∴在Rt△AM1N中，由勾股定理，得＝AN2＋M1N2＝x2＋3002； 返回首页 在Rt△ABM1中，由勾股定理，得＝AB2－＝(225＋x)2－3752。 ∴x2＋3002＝(225＋x)2－3752。 解得x＝400。 ∴AN＝400 m。 ∴AM1＝＝500(m)。 返回首页 ∵监控器有效监测距离为500 m， ∴符合题意。 ∴AB＝BN＋AN＝225＋400＝625(m)。 ∵河流需要监测的长度为5 000 m， ＝8， ∴该水利部门至少需要布设8个监控器。 返回首页 【项目方案3】(3)如图4，若AM1⊥BM1，BM2⊥CM2，且AM1＝BM1，BM2＝CM2，则监控器M1的监测范围AB的距离为 ______m。 【反思提升】(4)写出你认为的上面的最优方案，并写出原因。 解：我认为项目方案2是最优方案。原因：∵625＞600＞400，∴项目方案2中监控器M1的监测范围AB最大，水利部门布设监控器的个数最少，∴认为项目方案2是最优方案。 600 返回首页 $第一章　勾股定理 ☆问题解决策略：反思 类型1　圆柱表面两点之间最短距离问题 1.为筹备文化艺术节，同学们设计了一种圆筒形灯罩，然后在圆筒外壁缠绕红丝线，如示意图所示。已知圆筒的高为120 cm，其横截面圆的周长为50 cm，点O在点A的正上方，若过点A和点O缠绕一圈红丝线，则红丝线的长至少为(　　) A.120 cm B.130 cm C.140 cm D.110 cm 1 2 3 4 5 6 7 (第1题) B 返回首页 2.阅读下列材料。 如图1，圆柱的底面半径为4 cm，圆柱高AB为2 cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线： 路线1：高线AB＋底面直径BC，如图1所示； 路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示。 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 设路线1的长度为l1，则l1＝AB＋BC＝2＋8＝10，∴＝100。 设路线2的长度为l2，则＝AB2＋BC2＝22＋(4π)2＝4＋16π2。 ∵－＝100－(4＋16π2)＝96－16π2＝16(6－π2)＜0， ∴＜，即l1＜l2。 ∴选择路线1较短。 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 (1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为2 cm，高AB为4 cm”，继续按前面的路线进行计算。(结果保留π) ①此时，路线1：＝_____；路线2：＝_________。 64 16＋4π2　 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 ②此时，选择哪条路线较短？试说明理由。 解：选择路线2较短。理由如下：∵－＝64－(16＋4π2)＝48－4π2＝4(12－π2)＞0， ∴＞，即l1＞l2。 ∴选择路线2较短。 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 解：当圆柱的底面半径为2 cm，高为h cm时， 路线1：＝(4＋h)2，路线2：＝h2＋4π2。 ∵－＝(4＋h)2－(h2＋4π2)＝16＋8h－4π2＝4(2h＋4－π2)， (2)小明继续思考：当圆柱的底面半径为2 cm，高为h cm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短。 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 当h满足2h＋4－π2＞0时，l1＞l2，选择路线2较短； 当h满足2h＋4－π2＜0时，l1＜l2，选择路线1较短。 ∴当h满足2h＋4－π2＝0时，l1＝l2，两条路线一样长，选择哪条路线都可以； 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 类型2　棱柱表面两点之间最短距离问题 3.如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，则它爬行的最短路程是(　　) A.7 B. C.4＋ D.3＋2 (第3题) B 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 4.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离。 解：台阶展开图如答图所示。 由两点之间线段最短可知AB2＝152＋202＝625＝252。 ∴AB＝25。 ∴蚂蚁沿对角线走最近，最近距离为25。 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 5.一个底面为等边三角形的三棱镜如图所示，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5 cm，底面边长为4 cm，这圈金属丝的长度至少为多少厘米？ 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 解：将三棱柱沿AA'展开，其展开图如答图所示。 在Rt△ABA'中，AB＝5，BA'＝4×3＝12， 由勾股定理，可得AA'2＝AB2＋A'B2＝52＋122＝169。 ∴AA'＝13。 ∴这圈金属丝的长度至少为13 cm。 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 类型3　改变条件下，两点之间最短距离问题 6.一个长方体的透明玻璃鱼缸如图所示，其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面线EF上紧贴内壁的G处有一鱼饵，且EG＝60 cm。一小虫想从鱼缸外的点A沿缸壁爬进鱼缸内的G处吃鱼饵，求小虫爬行的最短距离。(鱼缸厚度忽略不计) 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 在Rt△A'EG中， A'E＝80 cm，EG＝60 cm， 根据勾股定理，得 A'G2＝A'E2＋EG2＝10 000。 ∴A'G＝100。 ∴AQ＋QG＝A'Q＋QG＝A'G＝100(cm)。 ∴小虫爬行的最短距离为100 cm。 解：如答图，作点A关于BC的对称点A'，连接A'G交BC于点Q，则小虫沿着A→Q→G的路线爬行时，路程最短。 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 7.如图，一个圆柱形水杯深20 cm，杯口周长为36 cm，在杯子外侧底面A处有一只蚂蚁，它想吃到杯子相对的内壁上点B处的蜂蜜，已知点B距离杯子口4 cm，不考虑杯子的厚度，求蚂蚁爬行的最短 距离。 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 连接B'A交EF于点Q，则小虫沿着A→Q→B的路线爬行时，路程 最短。 在Rt△ACB'中，AC＝18 cm，B'C＝24 cm，由勾股定理，可得B'A2＝AC2＋B'C2＝182＋242＝900。 ∴B'A＝30。 ∴AQ＋QB＝AQ＋QB'＝B'A＝30。 ∴蚂蚁爬行的最短距离为30 cm。 解：如答图，将杯子侧面展开为长方形ADGE，作点B关于EF的对称点B'， 1 2 3 4 5 6 7 返回首页 $第一章　勾股定理 3　勾股定理的应用 知识点1　勾股定理的实践探究 1.已知一个长方形抽屉长3 cm、宽4 cm，如果贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长(不计木棒粗细)可以是(　　) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 返回首页 2.如图，将一根长12 cm的筷子置于底面半径为3 cm，高为8 cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_____。 (第2题) 2 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 3.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 解：在Rt△ABD中，由勾股定理，可得 BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45。 在△BCD中，BC2＋CD2＝32＋62＝45。 ∴BC2＋CD2＝BD2。 ∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°。 ∴BC⊥CD。 ∴该车符合安全标准。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 知识点2　勾股定理的应用(列方程求解) 4.如图，池塘中有一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面的部分CA＝0.4 m，如果把这株荷花向旁边拉，使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC＝1.2 m，求这株荷花的茎长OA。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 解：设OA＝x m，则CO＝(x－0.4) m。 ∵∠BCO＝90°， ∴CO2＋BC2＝OB2。 则(x－0.4)2＋1.22＝x2。 解得x＝2。 答：这株荷花的茎长为2 m。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上的点A'处，求CD的长。 解：设CD＝x，则AD＝A'D＝4－x。 在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5。 则A'C＝BC－A'B＝BC－AB＝5－3＝2。 在Rt△A'DC中，A'D2＋A'C2＝CD2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 即(4－x)2＋22＝x2。 解得x＝。 ∴CD的长为。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 6.《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短。横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出。问户高、广、斜各几何。译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短。横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等。问门高、宽、对角线长分别是多少。若设门对角线长为x尺，则可列方程为(　　) A.x2＝(x－4)2＋(x－2)2 B.2x2＝(x－4)2＋(x－2)2 C.x2＝42＋(x－2)2 D.x2＝(x－4)2＋22 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 7.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5 m，将它往前推1.2 m至C处时(即水平距离CD＝1.2 m)，踏板离地的垂直高度CF＝1.1 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是(　　) A.1.5 m B.1.6 m C.1.8 m D.2 m (第7题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 8.如图，车高4 m(AC＝4 m)，货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2 m，求弯折点B与地面的距离。 解：根据题意，得AB＝A1B，∠BCA1＝90°。 设BC＝x m，则AB＝A1B＝(4－x)m， 在Rt△A1BC中，由勾股定理，可得A1C2＋BC2＝A1B2， 即22＋x2＝(4－x)2。 解得x＝。 答：弯折点B与地面的距离为 m。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 9.如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边上的高进行了探究： 两人在直角边AB上距直角顶点B 10 m远的点D处同时开始测量，点C为终点。小娟沿D→B→C的路径测得所经过的路程是15 m，小燕沿D→A→C的路径测得所经过的路程也是15 m，这时小娟说我能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花台斜边上的高了。亲爱的同学们，你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由。 解：能。∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， 设BC＝a m，AC＝b m，AD＝x m， 则10＋a＝x＋b＝15(m)。 ∴a＝5 m，b＝(15－x)m。 又∵在Rt△ABC中，由勾股定理，可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (10＋x)2＋a2＝b2。 ∴(10＋x)2＋52＝(15－x)2。 解得x＝2，即AD＝2 m。 ∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(m)，BC＝5 m，AC＝13 m。 设AC边上的高为h。 则×5×12＝×13h。 解得h＝。 答：这个直角三角形的花台斜边上的高为 m。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 $第一章　勾股定理 基础专题1　勾股定理的应用 类型1　直接应用勾股定理解决实际问题 1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝65 m，AC＝25 m。求A，B两点间的距离。 1 2 3 4 5 6 解：∵点C是与BA方向成直角的AC方向上一点， ∴∠BAC＝90°。 在Rt△BAC中，BC＝65 m，AC＝25 m， 返回首页 根据勾股定理，可得AB2＋AC2＝BC2。 ∴AB2＝BC2－AC2 ＝652－252 ＝3 600。 ∴AB＝60。 答：A，B两点间的距离为60 m。 1 2 3 4 5 6 返回首页 2.笔记本电脑的示意图如图所示，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm； 调整张角的大小，当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm。 解：根据题意，得 ∠ACB＝∠AED＝90°， 1 2 3 4 5 6 返回首页 AC＝24 cm，BC＝7 cm。 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝242＋72＝625。 ∴AB＝25 cm。 1 2 3 4 5 6 返回首页 (2)求CE的长。 解：根据题意，得 AB＝AD＝25 cm，DE＝20 cm。 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得 AE2＋DE2＝AD2。 ∴AE2＝AD2－DE2＝225。 ∴AE＝15 cm。 ∴CE＝AC－AE＝24－15＝9(cm)。 1 2 3 4 5 6 返回首页 3.小明为了用试放风筝验证某些数学问题，他设计了如下的方案：如图，先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15 m；然后根据手中余线长度，计算出AC的长度为17 m；最后测得牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5 m。已知点A，B，C，D在同一平面内。 (1)求风筝离地面的垂直高度CD。 解：如图，过点A作AE⊥CD于点E， 则AE＝BD＝15 m，AB＝ED＝1.5 m，∠AEC＝90°。 1 2 3 4 5 6 返回首页 在Rt△AEC中，由勾股定理，得AE2＋CE2＝AC2，即152＋CE2＝172。 解得CE＝8。 ∴CD＝CE＋ED＝8＋1.5＝9.5(m)。 1 2 3 4 5 6 返回首页 (2)在余线仅剩7.5 m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12 m，请问能否成功？请说明理由。 解：不能成功。理由如下： 假设能上升12 m，如图，延长DC至点F，使CF＝12 m，连接AF。 ∴EF＝CE＋CF＝8＋12＝20(m)。 1 2 3 4 5 6 返回首页 在Rt△AEF中，AE2＋EF2＝AF2，即152＋202＝AF2。解得AF＝25。 ∵AC＝17 m，余线仅剩7.5 m， ∴17＋7.5＝24.5＜25。 ∴不能上升12 m，即不能成功。 1 2 3 4 5 6 返回首页 类型2　应用勾股定理建立方程解决问题 4.如图，某小区旁有一块三角形空地，其中AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4 m，BD＝3 m。 (1)求AD的长； 解：∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°。 设AD＝x m，则AB＝AC＝(x＋3)m。 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 1 2 3 4 5 6 返回首页 AC2＝AD2＋DC2。 ∴(x＋3)2＝x2＋42。 解得x＝。 答：AD的长为 m。 1 2 3 4 5 6 返回首页 (2)求空地△ABC的面积。 解：由(1)可知， AB＝AC＝＋3＝。 ∵CD⊥AB， ∴S△ABC＝AB·CD＝××4＝。 答：空地△ABC的面积为 m2。 1 2 3 4 5 6 返回首页 5.如图，铁路上的A，B两站相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，已知DA＝15 km。CB＝10 km。现要在铁路AB段上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 解：设AE＝x km，则BE＝(25－x)km。 ∵C，D两村到E站的距离相等， ∴DE＝CE，即DE2＝CE2。 1 2 3 4 5 6 返回首页 在Rt△DAE与Rt△EBC中， 根据勾股定理，得DE2＝AD2＋AE2，CE2＝BE2＋BC2。 ∴152＋x2＝(25－x)2＋102。 解得x＝10。 答：E站应建在距A站10 km处。 1 2 3 4 5 6 返回首页 6.(2026泉州南安期末)如图，一架无人机悬停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝8 m，点A与地面上点C的距离AC＝10 m，且BC＝6 m。 (1)求∠ABC的度数； 解：∵AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100，AC2＝102＝100， ∴AB2＋BC2＝AC2。 ∴∠ABC＝90°。 1 2 3 4 5 6 返回首页 (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若AD＝DC，求这架无人机向下飞行的距离(AD的长)。 解：设AD＝CD＝x m，则BD＝(8－x) m。 在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＝BD2＋BC2， 即x2＝(8－x)2＋62。 ∴AD＝ m。 解得x＝。 答：这架无人机向下飞行的距离为 m。 1 2 3 4 5 6 返回首页 $第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时　探索勾股定理 知识点1　认识勾股定理 1.(2025宁德期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列数量关系正确的是(　　) A.c2－a2＝b2 B.a＋b＝c C.a2－b2＝c2 D.c2＋b2＝a2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (第1题) A 返回首页 2.(2026三明期末)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为(　　) A.25 B.49 C.81 D.100 (第2题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边，分别向外作正方形，若AB＝21，AC＝13，则BC2＝____。 (第3题) 272 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 知识点2　利用勾股定理求图形面积 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝17，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为(　　) A.225 B.289 C.324 D.170 (第4题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 5.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积是___。 (第5题) 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 知识点3　利用勾股定理求直角三角形边长 6.在△ABC中，∠C＝90°，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c。 (1)若a＝9，b＝12，求c的长； 解：在Rt△ABC中， ∠C＝90°，a＝9，b＝12。 根据勾股定理，得a2＋b2＝c2。 ∴c2＝92＋122＝225。 解得c＝15。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)若a＝5，c＝13，求b的长。 解得b＝12。 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13。 ∴b2＝c2－a2＝132－52＝144。 根据勾股定理，得a2＋b2＝c2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 7.(2026泉州一中月考)两个直角三角形和三个正方形组成的图形如图所示，其中一个直角三角形的两条边长分别为13，12，则阴影部分的面积是(　　) A.50 B.16 C.25 D.41 (第7题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 8.如图，为修建高铁线路凿通隧道AC，测得∠A＝53°，∠B＝37°，AB＝1.5 km，BC＝1.2 km，则隧道AC的长度是_______。 (第8题) 0.9 km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 9.(2026厦门十一中月考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，则AB边上的高CD的长是___。 (第9题) 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 10.一个门框尺寸如图所示，一块长2.5 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 解：长方形薄木板能从门框内通过。理由如下： 如图，连接AC。 在Rt△ABC中，AB＝1 m，BC＝2 m，由勾股定理，可得 AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5。 又∵2.22＝4.84＜5， ∴AC的长度大于木板的宽。 ∴木板能从门框内通过。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 11.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝20，AC＝15，DC＝9。 求：(1)AD的长； 解：∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°。 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 DC2＋AD2＝AC2。 ∴AD2＝AC2－DC2＝152－92＝144。 ∴AD＝12。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)△ABC的面积。 解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 BD2＋AD2＝AB2。 ∴BD2＝AB2－AD2＝202－122＝256。 ∴BD＝16。 ∴BC＝BD＋DC ＝25。 ＝16＋9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 ＝×25×12 ＝150。 ∴S△ABC＝BC·AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 12.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，分别以△ABC的三边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABF，△ACE，△BCD。若图中阴影部分的面积S1＝6.2，S2＝4.3，S3＝5.5，求S4。 解：∵△ABF，△ACE，△BCD均是等腰直角三角形， ∴AB＝AF，AC＝AE，BC＝BD。 设AB＝c，AC＝b，BC＝a，S△BCG＝m，S△ACH＝n。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 ∴S△ABF＝c2，S△ACE＝b2，S△BCD＝a2。 ∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°， 根据勾股定理，得a2＋b2＝c2。 ∴S△BCD＋S△ACE＝S△ABF。 ∴S1＋m＋n＋S4＝S2＋S3＋m＋n。 ∴S4＝4.3＋5.5－6.2＝3.6。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 $第一章　勾股定理 章末复习　勾股定理 考点1　勾股定理 1.下列各组长度的线段中，首尾顺次相接不能构成直角三角形的 是(　　) A.2，5，6 B.3，4，5 C.6，8，10 D.5，12，13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 返回首页 2.(2025厦门六中期中)一棵“勾股树”如图所示，它是由正方形和直角三角形组成的，若正方形A，B，C，D的面积分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是(　　) A.9 B.10 C.13 D.16 (第2题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 3.(2026宁德期中)一个三角形花坛的三边长分别为9 m，12 m，15 m，则这个三角形花坛的面积是____m2。 4.(2026漳州平和月考)一个直角三角形的两边长分别为6和8，则这个三角形的最长边是_______。 54 8或10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 5.把火柴盒放倒这个过程也能验证勾股定理，其示意图如图所示。你能利用下图验证勾股定理吗？ 解：如图，连接AD。 根据题意，得图中的四边形ACED为直角梯形， △BDA为等腰直角三角形， Rt△ABC≌Rt△BDE， 且三边长分别为a，b，c，c为斜边。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 设梯形ACED的面积为S，则 S＝(a＋b)(a＋b)＝(a2＋b2)＋ab。 又∵S＝SRt△BDA＋2SRt△ABC＝c2＋2×ab＝c2＋ab， ∴(a2＋b2)＋ab＝c2＋ab。 化简，得a2＋b2＝c2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 解：由折叠的性质可知，EF＝AE＝5。 ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B＝90°。 ∵BF＝3，∴由勾股定理，可得BE＝4。 ∴AB＝AE＋BE＝9。 6.如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，已知AE＝5，BF＝3。 (1)求AB的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)求△CDF的面积。 解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD＝BC，CD＝AB＝9，∠C＝90°。 由折叠的性质，可得AD＝DF。 ∴BC＝AD＝DF。 设CF＝x，则BC＝DF＝x＋3。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 在Rt△DCF中，由勾股定理，可得DF2＝CF2＋CD2， 即(x＋3)2＝x2＋92。 解得x＝12。 ∴CF＝12。 ∴S△CDF＝CF·CD＝54。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 考点2　勾股定理的应用 7.如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B(∠C＝90°)绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可以直接从A村到B村。已知AC＝9 km，BC＝12 km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为(　　) A.7 km B.6 km C.5 km D.2 km (第7题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 8.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着树干底部沿最短路线盘旋而上。如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是3尺，当一段葛藤从点A绕树干盘旋1圈升高4尺至点B处时，这段葛藤的长为___尺。 (第8题) 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 解：∵BC2＋CD2＝82＋62＝100，BD2＝102＝100， ∴BC2＋CD2＝BD2。 9.为进一步落实立德树人的根本任务，培养德、智、体、美、劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果。如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地。经测量，AB＝AD＝13 m，BC＝8 m，CD＝6 m，且BD＝10 m。 (1)试说明：∠BCD＝90°； ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)该校计划在此空地(阴影部分)上种植花卉，若每种植1 m2花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 解：如图，过点A作AE⊥BD于点E。 ∵AB＝AD＝13 m，BD＝10 m， ∴BE＝DE＝BD＝5 m。 在Rt△ABE中，由勾股定理，可得AE＝12 m。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∴S阴影＝S△ABD－S△BCD＝BD·AE－BC·CD＝×10×12－×8×6＝60－24＝36(m2)。 ∴100×36＝3 600(元)。 答：此块空地全部种植花卉共需花费3 600元。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 10.如图，有A，B两个村庄，A村距河边100 m，B村距河边300 m。已知两村的水平距离为300 m，现要在河边建一抽水站，需铺设管道抽水到A村和B村。(河的宽度小于100 m) (1)请画图求解铺设管道的最短距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 解：如图，过点A作AC⊥河边于点C，延长AC至点D，使CD＝AC，连接BD，交河边于点E，连接AE，则抽水站应建在点E处，才能使铺设的管道最短，最短距离为AE＋BE，即BD的长。 根据题意，得 AC＝100 m，CF＝300 m，BF＝300 m。 ∴CD＝AC＝100 m。 ∴DF＝100＋300＝400(m)。 过点B作BF⊥CA，交CA的延长线于点F。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 在Rt△BDF中， ＝3002＋4002 ＝5002， ∴BD＝500 m， 即铺设管道的最短距离是500 m。 BD2＝BF2＋DF2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)若铺设的管道每米需要500元，则最低费用为多少元？ 解：最低费用为500×500＝250 000(元)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 $第一章　勾股定理 综合与实践　等高线 根据下列材料，解决后面的问题。 材料1：在地图上，我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线。如图1，把海拔高度是50 m，100 m，150 m的点分别连接起来，就分别形成50 m，100 m，150 m三条等高线。 返回首页 材料2：利用等高线地形图求坡度的步骤如下：(如图2) 步骤一：根据A，B两点所在的等高线地形图，分别读出点A，B的高度；A，B两点的铅直距离＝点A，B的高度差； 步骤二：量出AB在等高线地形图上的距离为d个单位长度，若等高线地形图的比例尺为1∶n，则A，B两点的水平距离＝dn； 返回首页 步骤三：AB的坡度＝，若坡度越大，则路段越陡。 某中学学生小明和小丁生活在山城，如图3(示意图)，小明每天从家A经过B沿着公路AB，BP到学校P，小丁每天从家C沿着公路CP到学校P。该山城等高线地形图的比例尺为1∶50 000，在等高线地形图上量得AB＝1.8 cm，BP＝3.6 cm，CP＝4.2 cm。 返回首页 (1)分别求出AB，BP，CP的坡度(同一段路中间坡度的微小变化忽略不计)，并解释哪一段路最陡。 解： AB的水平距离＝1.8×50 000＝90 000(cm)＝900(m)，铅直距离是200－100＝100(m)， ∴AB的坡度＝＝。 BP的水平距离＝3.6×50 000＝180 000(cm)＝1 800(m)，铅直距离是400－200＝200(m)， 返回首页 ∴BP的坡度＝＝。 CP的水平距离＝4.2×50 000＝210 000(cm)＝2 100(m)，铅直距离是400－100＝300(m)。 ∴CP的坡度＝＝。 ∵＞， ∴路段CP最陡。 返回首页 (2)小颖认为，小明和小丁每天早上从家沿着公路走到学校，两人所走的路程之和不超过4.8 km。你认为小颖的观点正确吗？请说明 理由。 解：小颖的观点不正确。理由如下： 根据勾股定理，可得 AB2＝9002＋1002＝820 000＞9002， ∴AB＞900。 BP2＝1 8002＋2002＝3 280 000＞1 8002， 返回首页 ∴BP＞1 800。 CP2＝2 1002＋3002＝4 500 000＞2 1002， ∴CP＞2 100。 ∴AB＋BP＋CP＞900＋1 800＋2 100＝4 800(m)＝4.8 km。 ∴两人所走的路程之和超过4.8 km。 返回首页 $