1.3　勾股定理的应用 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，通过装修工人检测瓷砖边垂直的实际问题导入，引导学生从现实情境抽象直角三角形模型，进而延伸到长方体、圆柱、台阶中的最短路程问题，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实问题培养数学眼光（如从检测垂直发现数量关系），通过几何体展开转化平面问题发展空间观念（数学思维），用方程解决非直角三角形面积体现模型意识（数学语言）。实例丰富如长方体分情况计算最短路程，助力学生提升应用能力，教师可借助分层训练优化教学。

第一章　勾股定理 3　勾股定理的应用 数学·八年级上册　 1 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于边AB. （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔测得边AD长30 cm，边AB长40 cm，点B，D之间的距离是 50 cm.边AD垂直于边AB吗？ （3）如果李叔叔随身只带了一把长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边 AD是否垂直于边AB吗？ 数学·八年级上册　 　利用勾股定理解决实际问题 1. 从实际问题中抽象出① 三角形模型；2.设未知数，并用未知数表 示三角形的其他边；3.利用② 定理列出方程并解出. 直角　 勾股　 数学·八年级上册　 【例1】如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所 学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150 m和200 m，又AB＝ 250 m，环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域.学校C会受噪声影响吗？ 为什么？ 解：学校C会受噪声影响. 理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m， ∴AC2＋BC2＝1502＋2002＝62 500， AB2＝2502＝62 500， 数学·八年级上册　 ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形. ∵S△ABC＝ AC•BC＝ AB•CD， ∴ ×150×200＝ ×250×CD， ∴CD＝ ＝120（m）. ∵环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响. 数学·八年级上册　 （根据教材北师大版八上P15习题1.3第2题改编）某人欲从点A横 渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离预到达点B 240 m，结果他 在水中实际游了510 m.求该河的宽度. 解：根据题意，运用勾股定理得AB2＝AC2－BC2＝5102－2402＝4502， ∴AB＝450 m， 故河宽为450 m. 数学·八年级上册　 　长方体中的最短路程问题 求长方体中的最短路程问题，一般是将长方体的侧面展开成平面图形，分情 况计算后比较大小，最终确定最短路程. 　 数学·八年级上册　 【例2】（根据教材北师大版八上P18第1题（2）改编）如图，一只蜘蛛在一 块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若 AB＝3 cm，BC＝5 cm，BF＝6 cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能 最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？ 解：如图1，当蚂蚁从点A出发先到BF上再到点G时， ∵AB＝3 cm，BC＝5 cm， ∴AC＝AB＋BC＝3＋5＝8（cm）. 数学·八年级上册　 ∵BF＝6 cm， ∴CG＝BF＝6 cm. 在Rt△ACG中，AG2＝AC2＋CG2＝82＋62＝100. 如图2，当蚂蚁从点A出发先到EF上再到点G时， ∵BC＝5 cm， ∴FG＝BC＝5 cm， ∴BG＝5＋6＝11（cm）. 数学·八年级上册　 在Rt△ABG中，AG2＝AB2＋BG2＝32＋112＝130. 如图3，当蚂蚁从点A出发先到EH上再到点G时， ∵DH＝BF＝6 cm，HG＝AB＝3 cm， ∴DG＝DH＋HG＝6＋3＝9（cm）， 在Rt△ADG中，AG2＝AD2＋DG2＝52＋92＝106. ∵130＞106＞100， ∴第一种方式最近，这时蜘蛛走过的路程是10 cm. 数学·八年级上册　 （2024•盐田区）如图，无盖长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，若BC＝5 cm，一只蚂蚁沿着盒子的表面从A点爬到B点， 需要爬行的最短路程为 cm. 25　 解析：如图， ∵长方体盒子的宽为10 cm，高为20 cm，BC＝5 cm， ∴AB2＝152＋202＝252， ∴AB＝25 cm.故答案为25. 数学·八年级上册　 　圆柱中的最短路程 注意B点的位置. 　 数学·八年级上册　 【例3】（根据教材八上P16引例改编）如图所示，有一圆柱形油罐，现要从 油罐底部的一点A环绕油罐建梯子，并且要正好建到A点正上方的油罐顶部 的B点，已知油罐高AB＝5米，底面的周长是12米，则梯子最短长度 为 米. 13　 数学·八年级上册　 如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯 底4 cm的B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿2 cm与蜂 蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为（　B　）. B A. 19 cm B. 20 cm C. 21 cm D. 22 cm 数学·八年级上册　 解析：如图，将圆柱形容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接 A′B，则A′B的长即为最短路程.在Rt△A′DB中，由勾股定理得A′B2＝ A′D2＋DB2＝122＋162＝400， ∴A′B＝20 cm.故选B. 数学·八年级上册　 　台阶中的最短距离 求台阶中的最短距离，一般是先把台阶展开成平面图形，然后在平面图形中 利用勾股定理求解. 　 数学·八年级上册　 【例4】如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短路程 为 ⁠. 13 m　 数学·八年级上册　 如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20 cm，宽都是50 cm，长都是40 cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路 的长度是（　C　）. A. 100 cm B. 120 cm C. 130 cm D. 150 cm C 数学·八年级上册　 解析：如图，把这个台阶示意图展开为平面图形， 在Rt△ACB中， ∵AC＝50 cm，BC＝120 cm， ∴AB2＝502＋1202＝1302， ∴AB＝130 cm. ∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B， 其爬行的最短线路AB的长度是130 cm.故选C. 数学·八年级上册　 1. （2024•龙岗区）如图，在一个高为5 m，长为13 m的楼梯表面铺地毯，则 地毯的长度至少是 ⁠. 17 m　 数学·八年级上册　 解析：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现，地毯长度为直角三角形 ABC的两直角边长之和，即AC＋BC， 在Rt△ABC中，AB＝13 m，BC＝5 m，且AB为斜边， 根据勾股定理可得AC2＝132－52＝122，∴AC＝12 m， 故地毯长度为AC＋BC＝12＋5＝17（m）.故答案为17 m. 数学·八年级上册　 2. （2025•南山实验教育集团南海中学期中）一根长度为25 cm的吸管放入底 面直径为12 cm，高为9 cm的圆柱形水杯中，露在外面的最短长度为 （　D　）. A. 7 cm B. 8 cm C. 9 cm D. 10 cm D 数学·八年级上册　 3. （2025•龙岗中学月考）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞 行1.6 km后，再向北飞行1.2 km抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障 碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行.若升级后的导航系统支持直线 飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　B　）. A. 1.8 km B. 2.0 km C. 2.1 km D. 3.0 km B 数学·八年级上册　 4. （2025•深圳实验学校初中部期中）如图，有一圆柱，其高为15，它的底面 周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁 经过的最短路程为 ⁠. 13　 数学·八年级上册　 解析：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形ADFE， 连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，H分别是 AE，DF的中点. ∵底面周长是10， ∴AC＝ ×10＝5. ∵CH＝15，BH＝3， ∴BC＝CH－BH＝12. 又∵AB2＝AC2＋BC2＝52＋122＝132， ∴AB＝13， ∴蚂蚁经过的最短路程为13. 数学·八年级上册　 5. （2025•龙岗区宏扬学校期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳 动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培 养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各 分一块三角形形状的劳动实践基地. （1）当班主任测量出八（1）班实践基地的三边长分别为5 m，12 m，13 m 时，小明同学很快给出了这块实践基地的面积，他求出的面积为 m2. 30　 解：30 解析：∵52＋122＝132， ∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边， ∴这块实践基地的面积为 ×5×12＝30（m2）.故答案为30. 数学·八年级上册　 （2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为AB＝15 m，BC＝14 m， AC＝13 m，如图，你能帮助他们求出面积吗？ 解：如图，过A作AD⊥BC于点D. 设BD＝x m，则CD＝（14－x）m. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， 由勾股定理得AB2－BD2＝AC2－CD2＝AD2， 即152－x2＝132－（14－x）2，解得x＝9. 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－92＝122， ∴AD＝12 m， ∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×14×12＝84（m2）. 数学·八年级上册　 6. （2025•福田区深大附中创新学校期中）森林火灾是一种常见的自然灾害， 危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源 成为一种高效的灭火方式.如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点A飞向 点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知AB＝ 1 000 m，AC＝600 m，BC＝800 m，飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响. 数学·八年级上册　 （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； 解：如图1所示，过点C作CD⊥AB于点D. ∵AB＝1 000 m，AC＝600 m，BC＝800 m， ∴AC2＋BC2＝6002＋8002＝360 000＋640 000＝1 000 000， AB2＝1 0002＝1 000 000， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°. ∵CD⊥AB，∴S△ACB＝ AC•BC＝ AB•CD， ∴ ×600×800＝ ×1 000CD， ∴CD＝480 m. 答：飞机距离着火点C的最短距离为480 m. 数学·八年级上册　 （2）若该飞机的速度为20 m/s，要想扑灭着火点C估计需要15 s，请你通过 计算说明着火点C能否被飞机扑灭. 解：如图2，在线段AD和线段BD上分别取一点E和点F，连接CE，CF， 使得CE＝CF＝500 m.在Rt△CDE中，由勾股定理得DE2＝CE2－CD2＝ 5002－4802＝1402， ∴DE＝140 m.同理可得DF＝140 m， ∴EF＝DE＋DF＝280 m. 280÷20＝14（s），且14＜15， ∴着火点C不能被飞机扑灭. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1　①直角　②勾股 例1　解：学校C会受噪声影响. 理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m， ∴AC2＋BC2＝1502＋2002＝62 500， AB2＝2502＝62 500， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形. ∵S△ABC＝ AC•BC＝ AB•CD， 数学·八年级上册　 ∴ ×150×200＝ ×250×CD， ∴CD＝ ＝120（m）. ∵环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响. 数学·八年级上册　 变式训练1　解：根据题意，运用勾股定理得AB2＝AC2－BC2＝5102－2402 ＝4502，∴AB＝450 m，故河宽为450 m. 知识点2 例2　解：如图1，当蚂蚁从点A出发先到BF上再到点G时，∵AB＝3 cm， BC＝5 cm， ∴AC＝AB＋BC＝3＋5＝8（cm）. ∵BF＝6 cm，∴CG＝BF＝6 cm. 在Rt△ACG中，AG2＝AC2＋CG2＝82＋62＝100. 如图2，当蚂蚁从点A出发先到EF上再到点G时， ∵BC＝5 cm，∴FG＝BC＝5 cm，∴BG＝5＋6＝11（cm）. 在Rt△ABG中，AG2＝AB2＋BG2＝32＋112＝130. 数学·八年级上册　 如图3，当蚂蚁从点A出发先到EH上再到点G时， ∵DH＝BF＝6 cm，HG＝AB＝3 cm，∴DG＝DH＋HG＝6＋3＝9 （cm），在Rt△ADG中，AG2＝AD2＋DG2＝52＋92＝106.∵130＞106＞ 100，∴第一种方式最近，这时蜘蛛走过的路程是10 cm. 数学·八年级上册　 变式训练2　25　解析：如图， ∵长方体盒子的宽为10 cm，高为20 cm，BC＝5 cm， ∴AB2＝152＋202＝252，∴AB＝25 cm.故答案为25. 数学·八年级上册　 知识点3 例3　13 变式训练3　B　解析：如图，将圆柱形容器侧面展开，作A关于EF的对称 点A′，连接A′B，则A′B的长即为最短路程.在Rt△A′DB中，由勾股定理 得A′B2＝A′D2＋DB2＝122＋162＝400，∴A′B＝20 cm.故选B. 数学·八年级上册　 知识点4 例4　13 m 变式训练4　 C　解析：如图，把这个台阶示意图展开为平面图形， 在Rt△ACB中， ∵AC＝50 cm，BC＝120 cm， ∴AB2＝502＋1202＝1302， ∴AB＝130 cm. ∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路AB的长度是130 cm.故选C. 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1.17 m　解析：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现，地毯长度为直角 三角形ABC的两直角边长之和，即AC＋BC， 在Rt△ABC中，AB＝13 m，BC＝5 m，且AB为斜边， 根据勾股定理可得AC2＝132－52＝122，∴AC＝12 m， 故地毯长度为AC＋BC＝12＋5＝17（m）.故答案为17 m. 数学·八年级上册　 2. D　3.B 4.13　 解析：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形ADFE， 连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，H分别是 AE，DF的中点.∵底面周长是10，∴AC＝ ×10＝5.∵CH＝15，BH＝ 3，∴BC＝CH－BH＝12.又∵AB2＝AC2＋BC2＝52＋122＝132，∴AB＝ 13，∴蚂蚁经过的最短路程为13. 数学·八年级上册　 5. 解：（1）30　解析：∵52＋122＝132， ∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边， ∴这块实践基地的面积为 ×5×12＝30（m2）. 故答案为30. 数学·八年级上册　 （2）如图，过A作AD⊥BC于点D. 设BD＝x m，则CD＝（14－x）m. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， 由勾股定理得AB2－BD2＝AC2－CD2＝AD2， 即152－x2＝132－（14－x）2，解得x＝9. 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－92＝122， ∴AD＝12 m， ∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×14×12＝84（m2）. 数学·八年级上册　 6. 解：（1）如图1所示，过点C作CD⊥AB于点D. ∵AB＝1 000 m，AC＝600 m，BC＝800 m， ∴AC2＋BC2＝6002＋8002＝360 000＋640 000＝1 000 000，AB2＝1 0002 ＝1 000 000， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°. ∵CD⊥AB， ∴S△ACB＝ AC•BC＝ AB•CD， ∴ ×600×800＝ ×1 000CD， ∴CD＝480 m. 答：飞机距离着火点C的最短距离为480 m. 数学·八年级上册　 （2）如图2，在线段AD和线段BD上分别取一点E和点F，连接CE，CF， 使得CE＝CF＝500 m. 在Rt△CDE中，由勾股定理得DE2＝CE2－CD2＝5002－4802＝1402， ∴DE＝140 m. 同理可得DF＝140 m， ∴EF＝DE＋DF＝280 m. 280÷20＝14（s），且14＜15， ∴着火点C不能被飞机扑灭. 数学·八年级上册　 $