1.2　一定是直角三角形吗 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件核心围绕勾股定理的逆定理及勾股数展开，通过“直角三角形性质反过来是否成立”的问题导入，衔接勾股定理正向知识，搭建从性质到判定的认知支架，引导学生思考验证方法。 其亮点在于以问题驱动和实例分析培养数学思维与应用意识，如“海底沉管安装精度验证”等实际问题体现数学眼光，勾股数规律探究强化推理能力，分层训练覆盖基础到拔高。例题与变式助知识应用，规律证明培养逻辑，能提升学生推理意识和应用能力，为教师提供系统教学资源与分层支持。

第一章　勾股定理 2　一定是直角三角形吗 数学·八年级上册　 1 在直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方.反过 来，如果一个三角形中有两边长度的平方和等于第三条边长度的平方，那么 这个三角形一定是直角三角形吗？你有哪些方法验证？ 数学·八年级上册　 　勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是① ⁠ 三角形. 当a＜c，b＜c且a2＋b2＞c2时，此三角形为② 三角形； 当a2＋b2＜c2时，此三角形为③ 三角形； 当a2＋b2＝c2时，此三角形为④ 三角形. 直 角　 锐角　 钝角　 直角　 数学·八年级上册　 【例1】以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（　C　）. A. 1 cm，2 cm，3 cm B. 2 cm，3 cm，4 cm C. 6 cm，8 cm，10 cm D. 5 cm，12 cm，18 cm C 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　C　）. A. 1.5，2，3 B. 2，3，4 C. 1， ， D. 5，13，14 C 数学·八年级上册　 　勾股数 1. 勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个⑤ 称为勾股数. “缺一不可” 　 正整数　 数学·八年级上册　 2. 常见的勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；④7，24，25；⑤ 9，40，41；⑥8，15，17. 特别说明：（1）32，42，52和 ， ， 均不是勾股数. （2）求斜边上的高（等面积法）：如图，在直角三角形中，有ab＝ch，h ＝ . 数学·八年级上册　 【例2】下列各组数中是勾股数的是（　A　）. A. 5，12，13 B. 1，1，2 C. 2，2，3 D. ， ， A 数学·八年级上册　 （2025•南山外国语集团期中）下列各组数中，是勾股数的为 （　C　）. A. 1，1，2 B. 1.5，2，2.5 C. 7，24，25 D. 6，12，13 C 数学·八年级上册　 1. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　D　）. A. BC＝8，AC＝15，AB＝17 B. BC∶AC∶AB＝3∶4∶5 C. ∠A＋∠B＝∠C D. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D 数学·八年级上册　 2. 已知△ABC的三边为a，b，c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则 （　D　）. A. △ABC是锐角三角形 B. c边的对角是直角 C. △ABC是钝角三角形 D. a边的对角是直角 D 数学·八年级上册　 3. （2025•龙岗区龙岭初级中学期中）2025年10月，深中通道超宽海底隧道沉 管建成出坞，展示了我国在基建领域的世界领先水平.在建造过程中，工程 师需验证海底沉管安装的垂直精度.现有四组测量数据（单位：米），其中 可构成直角三角形以确保安装精度的是（　A　）. A. 6，8，10 B. 5，6，7 C. 7，8，9 D. 10，12，15 A 数学·八年级上册　 4. （2025•龙华区新华中学教育集团期中）下列各组数：①3，4，5，②4， 5，6，③5，12，13，④6，8，10.满足勾股数的有（　B　）. A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组 B 数学·八年级上册　 5. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝ 24，BC＝15，求AB的长. 解：如图，连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24， ∴AC2＝AD2＋DC2＝72＋242＝625， ∴AC＝25. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2－BC2＝252－152＝400， ∴AB＝20. 数学·八年级上册　 6. （2025•龙岗区百合外国语学校期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝ 20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°. （1）判断∠D是不是直角，并说明理由； 解：（1）∠D是直角.理由如下： 如图所示，连接AC. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625. ∵CD＝7，AD＝24， ∴CD2＋AD2＝72＋242＝49＋576＝625，∴CD2＋AD2＝AC2， ∴∠D＝90°， ∴∠D是直角. 数学·八年级上册　 （2）求四边形ABCD的面积. 解：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝ AB•BC＋ AD•CD ＝ ×20×15＋ ×24×7＝150＋84＝234. 数学·八年级上册　 7. （2025•上海外国语大学附属中学月考）阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有 “勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的 直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”. 数学·八年级上册　 【探究1】 （1）①如果a，b，c是一组勾股数，即满足a2＋b2＝c2，则ka，kb，kc （k为正整数）也是一组勾股数.如：3，4，5是一组勾股数，则 ⁠ 也是一组勾股数. 6，8，10 （答案不唯一）　 解： 6，8，10（答案不唯一） 解析：∵3，4，5是一组勾股数，又k为正整数， ∴当k＝2时，ka＝6，kb＝8，kc＝10，且62＋82＝36＋64＝100＝102， ∴6，8，10也是一组勾股数.（答案不唯一） 数学·八年级上册　 ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派 就曾提出：a＝2n＋1，b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1（n为正整数）是一 组勾股数，证明满足以上公式的a，b，c是一组勾股数. 证明：∵a＝2n＋1，b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1， ∴a2＋b2＝（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝4n2＋4n＋1＋4n4＋8n3＋4n2 ＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，c2＝（2n2＋2n＋1）2 ＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1， ∴a2＋b2＝c2， ∴a，b，c是一组勾股数. 数学·八年级上册　 【探究2】 （2）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25……可以发现这些勾股数的勾都 是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股4＝ ×（9－1），弦5＝ ×（9＋1）；勾为5时，股12＝ ×（25－1），弦13＝ ×（25＋1）. 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股24＝ 　 ×（49－1）　；弦25＝ 　 ×（49＋1）　. ×（49－1）　 ×（49＋1）　 数学·八年级上册　 解： ×（49－1）　 ×（49＋1） 解析：如果勾为7，则股24＝ ×（49－1），弦25＝ ×（49＋1）. 故答案为 ×（49－1）； ×（49＋1）. 数学·八年级上册　 ②现在将勾用a表示，股用b表示，弦用c表示，当a＝n（n≥3，且n为奇 数）时，则b＝ 　 （n2－1）　，c＝ 　 （n2＋1）　（用含有n的式子表 示）；并证明这个规律的合理性. （n2－1）　 （n2＋1）　 解： （n2－1）　 （n2＋1） 证明：∵a2＋b2＝n2＋［ （n2－1）］2＝n2＋ （n4－2n2＋1） ＝n2＋ n4－ n2＋ ＝ n4＋ n2＋ ，c2＝［ （n2＋1）］2 ＝ （n4＋2n2＋1）＝ n4＋ n2＋ ， ∴a2＋b2＝c2， ∴该规律合理. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1　①直角　②锐角　③钝角　④直角 例1　C　变式训练1　C　 知识点2　⑤正整数 例2　A　变式训练2　C 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. D　2.D　3.A　4.B 5. 解：如图，连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24， ∴AC2＝AD2＋DC2＝72＋242＝625， ∴AC＝25. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2－BC2＝252－152＝400， ∴AB＝20. 数学·八年级上册　 6. 解：（1）∠D是直角.理由如下： 如图所示，连接AC. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625. ∵CD＝7，AD＝24， ∴CD2＋AD2＝72＋242＝49＋576＝625， ∴CD2＋AD2＝AC2， ∴∠D＝90°， ∴∠D是直角. （2）S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝ AB•BC＋ AD•CD＝ ×20×15＋ ×24×7＝150＋84＝234. 数学·八年级上册　 7. 解： 【探究1】（1）①6，8，10（答案不唯一）　解析：∵3，4，5是一 组勾股数，又k为正整数， ∴当k＝2时，ka＝6，kb＝8，kc＝10，且62＋82＝36＋64＝100＝102， ∴6，8，10也是一组勾股数.（答案不唯一） ②证明：∵a＝2n＋1，b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1， ∴a2＋b2＝（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝4n2＋4n＋1＋4n4＋8n3＋4n2＝ 4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，c2＝（2n2＋2n＋1）2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1， ∴a2＋b2＝c2， ∴a，b，c是一组勾股数. 数学·八年级上册　 （2）① ×（49－1）　 ×（49＋1）　解析：如果勾为7，则股24＝ × （49－1），弦25＝ ×（49＋1）. 故答案为 ×（49－1）； ×（49＋1）. 数学·八年级上册　 ② （n2－1）　 （n2＋1） 证明：∵a2＋b2＝n2＋［ （n2－1）］2＝n2＋ （n4－2n2＋1）＝n2＋ n4 － n2＋ ＝ n4＋ n2＋ ，c2＝［ （n2＋1）］2＝ （n4＋2n2＋1）＝ n4 ＋ n2＋ ， ∴a2＋b2＝c2， ∴该规律合理. 数学·八年级上册　 $