广东揭阳市普宁市第一中学2025-2026学年第二学期高二第二次月考数学试卷

**基本信息** 以《春江花月夜》文化情境与手机聊天软件使用调查为载体，通过梯度化问题设计考查数学眼光、思维与语言，适配高二阶段性能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数象限判断、概率分布列、导数极值|第6题结合古诗考查独立事件概率，体现文化传承| |填空题|3/15|正态分布、二项式系数、椭圆离心率|第14题以黄金分割比引入“优美椭圆”，培养数学审美| |解答题|5/77|统计案例、立体几何、抛物线、概率递推、函数极值|第15题通过分层抽样与分布列考查数据处理，第19题导数综合应用体现逻辑推理|

普宁市第一中学2025-2026学年度第二学期 高二第二次月考数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 注意事项： 1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 ． 2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数z满足（其中i为虚数单位），则z在复平面上对应的点位于（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2.已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数): X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果不正确的是 (　　) A.a=0.1 B.P(X≥2)=0.7 C.P(X≤1)=0.3 D.P(X≥3)=0.4 3. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．已知，，则（  ） A． B． C． D． 5．已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（   ） A．或1 B．2或 C． D．1 6.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为(　　) A. B. C. D. 7．已知，则（   ） A．364 B．365 C．728 D．730 8.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 (　　) A.P(X=1)=E(X)　 B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4　 D.D(X)= 10.掷一个不均匀的硬币6次,每次掷出正面的概率均为,恰好出现k次正面的概率记为Pk ,则下列说法正确的是(　　) A.P1=P5 B.P1<P5 C.Pk=1 D.P0,P1,P2,…,P6中最大值为P4 11．在数列中，，，，是数列的前项和，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ≤4)=0.9,则P(-2≤ξ≤1)= . 13．的展开式中的系数为 .（用数字作答） 14．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”．在平面直角坐标系中的“优美椭圆”的左右顶点分别为，点是椭圆上异于左右顶点的动点，设直线的斜率分别为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（13分）.手机聊天软件是现代生活信息交流的重要工具,随机抽取使用手机聊天软件的100人进行调查,得到数据统计表如下:每天使用手机聊天软件时间在2h以上的人被定义为“手机聊天软件依赖”,不超过2h的人被定义为“非手机聊天软件依赖”.已知“非手机聊天软件依赖”与“手机聊天软件依赖”的人数比恰为3∶2. 使用手机聊天软件时间/h 频数 频率 (0,0.5] 5 0.05 (0.5,1] 15 0.15 (1,1.5] 15 0.15 (1.5,2] x p (2,2.5] 30 0.30 (2.5,3] y q 合计 100 1.00 (1)求出x,y,p,q的值. (2)为进一步了解使用手机聊天软件对日常工作和生活是否有影响,从100人中用分层随机抽样的方法确定10人.若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查,设选取的3人中“手机聊天软件依赖”的人数为X,求X的分布列及其数学期望. 16（15分）.如图，在正三棱柱中，为的中点，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 17（15分）．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点 （1）求抛物线C方程; (2)若直线为的准线，判断以MN为直径的圆与直线是什么位置关系?请说明理由. 18（17分）.某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. (1)计算王同学第2天去餐厅用餐的概率; (2)记王同学第天去餐厅用餐概率为，求. 19（17分）．已知函数. (1)当时，求函数零点的个数； (2)求函数的极值； (3)若恒成立，求的取值范围. 试卷第 页，共 4页1 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市第一中学2025-2026学年度第二学期 高二第二次月考数学试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D B C C A B A AB BD ABD 12．0.4 13．-30 14． 15.解:(1)由题意可知,“非手机聊天软件依赖”的人数为5+15+15+x=35+x, “手机聊天软件依赖”的人数为30+y,所以=. 又因为35+x+30+y=100,所以x=25,y=10, …………2分 所以p===0.25,q===0.10. 故x=25,y=10,p=0.25,q=0.10. …………4分 (2) 用分层随机抽样的方法确定的10人中,“非手机聊天软件依赖”的有 10×=6(人),“手机聊天软件依赖”的有10-6=4(人). …………6分 随机变量X的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==. …………10分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P …………11分 所以的数学期望是 …………13分 16（15分）．【详解】（1）因为且 所以平面 …………3分 因为平面所以 因为为中点 所以，且 所以平面. …………6分 （2）如图，以为轴建立 因为 所以, …………9分 设平面的法向量为 则 令，则，即 …………12分 设点到平面的距离为 即 所以点到平面的距离为 …………15分 17.（15分）【详解】(1)抛物线的焦点的坐标为， 由已知直线过点，所以， …………2分 所以，故，，抛物线方程为 …………4分 （2）以MN为直径的圆与直线是相切的位置关系。 …………5分 理由如下： 由（1）可求得准线为， 由， 消去并化简得，， …………7分 不妨设，，， 解得或， 所以 因为，所以中点坐标为， …………12分 该点到准线的距离是， …………14分 所以以为直径的圆与相切。 …………15分 18（17分）．【详解】（1）设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅， 根据题意得，，，， …………3分 所以. …………6分 （2）设表示第天去餐厅用餐，则，， 根据题意得，， …………8分 由全概率公式得，， 即， …………12分 整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， …………15分 所以，即. …………17分 19（17分）．【详解】【解】（1）的定义域为， ……………1分 当时，在上单调递减， ……………2分 又因为， ……………3分 由零点存在定理，在区间内存在零点， 所以在上有唯一的零点； ……………4分 （2）， 则， ……………5分 ①当时，令，得， 当变化时，的变化情况如下表 1 + 0 单调递增 单调递减 所以有极大值，没有极小值； ……………7分 ②当时，令，得， 当即时， 当变化时，的变化情况如下表 1 0 + 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极小值为，极大值为； ……………9分 当即时，没有极值； ……………10分 当即时， 当变化时，的变化情况如下表 1 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极小值为，极大值为；……………12分 综上所述， 当时，有极大值，没有极小值； 当时，的极小值为，极大值为； 当时，没有极值； 当时，的极小值为，极大值为……13分 （3）恒成立，即恒成立， 令，即恒成立，则， 当时，，所以函数在上单调递减， 又因为， 所以，当时，，不符合题意； ……………14分 当时，令，则，令，则， 所以函数得在上单调递增，在上单调递减， 所以，只需，即， ……………15分 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， ……………16分 要使，只能，即， 综上，要使不等式恒成立，. ……………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $