精品解析：广东广州大学附属中学2025-2026学年高二下学期6月学情调研数学试题

高二学情调研数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果. 【详解】因为， 所以其虚部为. 故选：C. 2. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】或，则方程组解为或， 即，有2个元素， 从而的真子集个数为个. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. 60 C. 40 D. 20 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 令，所以， 所以的展开式中的系数为40 4. 从点，，，中随机抽取2个点，恰有1个点在直线上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概率的公式求解即可. 【详解】从点，，，中在直线上. 则恰有1个点在直线上的概率为. 5. 在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为，成本为 ，当要素供给函数为线性函数（且，均为常数）时，可得，这里记为供给公差．当时，供给公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用分组求和法和等差数列求和公式求得，由此可求. 【详解】因为， 所以， 化简可得， 又， 所以， 即， 所以当时，供给公差为. 6. 已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系得出，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 因为，所以， 因为，等号成立时，所以， 得， 则该圆面积的最小值为. 7. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，则关于x的方程的实数解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，将问题转化为解的个数即可求解. 【详解】因为定义在上且单调递增的函数满足，所以是一个固定常数， 设为 ，且，则， 所以，解得，所以， 所以关于x的方程的实数解的个数等价于解的个数， 即，所以， 所以方程的正数解只有一个，即关于x的方程的实数解的个数为1 8. 某博物馆有A，B，C，D四个不同的展厅，安保机器人每天需巡逻6次（某展厅可能未巡逻），每次只访问一个展厅，若要求机器人不能连续两次访问同一个展厅，且每天A展厅恰好被访问2次，则满足条件的巡逻路线共有（ ） A. 270条 B. 360条 C. 402条 D. 480条 【答案】C 【解析】 【分析】分步计算，满足条件的巡逻路线数，先确定A展厅的访问位置，再计算剩余位置，填充B，C，D的排列数需相邻不同即可求解. 【详解】选A的位置，6次巡逻中选2个不相邻位置放A，共10种位置组合，分位置组合计算剩余展厅排列， 根据A的位置将剩余4个位置分段，每段内B，C，D排列需相邻不同， A在位置1与位置3：；A在位置1与位置4：； A在位置1与位置5：；A在位置1与位置6：； A在位置2与位置4：；A在位置2与位置5：； A在位置2与位置6：； A在位置3与位置5：；A在位置3与位置6：； A在位置4与位置6：； 总共有. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：的左焦点为 ，右顶点为 ，其右支上有一点位于第一象限，，，，则（ ） A. 点的坐标可表示为 B. C. 的渐近线方程为 D. 点到的右焦点的距离与之差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求出的关系，根据题意求出直线的方程，利用，求出的坐标.将的坐标代入双曲线方程求解选项B.根据的关系以及双曲线方程求出，进而得到双曲线的渐近线方程.根据双曲线的定义求解选项D. 【详解】双曲线中，右顶点，左焦点. 因为，所以 . 结合双曲线关系，得. 选项A.由，顶点在，在第一象限， 可得直线斜率，直线方程为. 设，结合， 所以. 因在右支，则，得，即，，故，正确. 选项B.将代入双曲线方程 ， 化简得，错误. 选项C.将代入，得 ， 解得（，舍去负根），则，. 渐近线方程为，正确. 选项D.设右焦点为​，由双曲线定义，，则，正确. 10. 已知集合，从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集 ， ，记事件 为“ 是 的真子集”，事件为“子集 中恰有2个元素”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先计算集合的所有子集总数，再计算选取两个不同子集的总样本数，根据选项要求，利用条件概率公式和分类加法计数原理计算即得. 【详解】集合共个元素，子集总数为个.题目要求依次选取两个不同子集，因此基本事件总数为. 选项A：事件：恰有 个元素，有种选法， 从剩余个子集选，共种. 则，A正确； 选项B：因事件表示：有 个元素，且 是的真子集，则，，故，B错误； 选项C：按的元素个数分类计算满足 是真子集的所有情况： 含个元素（空集）：真子集个数为，共种； 含个元素：共个，每个真子集个，共种； 含 个元素：共个，每个真子集个，共种； 含个元素：共个，真子集个，共种； 即满足的所有事件数为，因此，C正确； 选项D：，D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数无极值点 B. 若 ，则函数恰有1个极值点 C. 若 ，则曲线存在1条斜率最小的切线 D. 若，则曲线恰有2条斜率为0的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求的导函数，分别构造、，求对应导函数，根据的条件分析导函数零点个数，判断极值点情况求解A，B，得到切线斜率为，将问题转化为求的最小值，根据的条件分析取最小值时自变量的个数，判断切线条数求解C，将方程转化为二次方程，根据的条件分析二次方程实根个数，判断切线条数求解D即可. 【详解】首先对原函数求导得 ， 对于A，令 ， 求导得  ， 因为 ，所以 ，， 且  与  同号，即 ， 因此  恒成立， 单调递增，无极值点，故A正确， 对于B，令 ，求导得  ， 令  ，， 而 则是奇函数，且时 ，，当时， ， 仅 时， ，即  仅有一个零点， 且在  处左负右正，恰有1个极值点，故B正确， 对于C，由切线斜率的性质得 ， 则  ，判别式为， 当 时 ，，故  恒成立，单调递增， 且 时， ，取不到最小值，不存在斜率最小的切线， 但当  时， ， 此时单调递增，无最小值，得到 下斜率最小的切线并非总是存在，故C错误， 对于D，若斜率为0，即 ，而 ，等价于， 判别式为，当  时， ，方程有两个不相等实根， 即恰有2条斜率为0的切线，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量服从正态分布，且，则______________． 【答案】0.15## 【解析】 【详解】由随机变量服从正态分布，得, 所以. 13. 在公比为整数的等比数列中，，，成等差数列，且，则_____________． 【答案】18 【解析】 【分析】设数列的公比为 ，由条件可得，，即，从而解得公比 的值，根据得出答案. 【详解】设数列的公比为 ，则，， ∵，，成等差数列，∴， ∴， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以，即， 所以或（舍去）或（舍去） 所以. 14. 在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的4个顶点均在一个球面上，则该球的表面积为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量以及外接球的性质可得，列出方程，再由球的面积公式即可求解. 【详解】设，，方向上的单位向量分别为，，，由题意可得， 且，，，设该三棱锥外接球的球心为 ，半径为 ，设， 由外接球的性质可得，，， 又， ， ， 所以，，， 即，，，三式相加可得，， 则，回代解得，，， 所以， 所以该三棱锥外接球的表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为测定常用刀具的磨损速度，每隔一个小时对刀具的厚度进行测量，记时间为，刀具的厚度为 ，得到如下数据： 时间 厚度 关于的经验回归方程为． （1）现有五把刀具，其中三把质量较好，两把质量较差，从这五把中随机抽取两把，求这两把质量均较好的概率； （2）求 关于的经验回归方程，并预测时间为时刀具的厚度． 参考数据：． 参考公式：对于经验回归方程，，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）直接由古典概型的概率公式计算可得； （2）直接根据最小二乘法求回归直线方程，并用回归方程求预测值可得. 【小问1详解】 从五把刀具中随机抽取两把共有种结果，其中两把为质量较好的有种结果， 因此抽到的两把刀具质量均较好的概率为. 【小问2详解】 由题得，，， 得到， 所以， 则. 所以 关于的经验回归方程为， 当时，， 故可预测时间为时刀具的厚度为 16. 已知函数． （1）当时，求在区间上的最小值； （2）若在处取得极小值，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先代入参数，对函数求导，找出定义域内的极值点，通过分析导数的符号变化确定函数的单调性，从而求得在给定区间上的最小值； （2）对含参数的函数求导，利用极值点处导数为零建立方程，解出参数的可能取值，再通过计算验证每个取值是否对应极小值点，最终确定符合条件的参数值. 【小问1详解】 当时，，， 则， 令，得或， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在区间上的最小值为． 【小问2详解】 由题得，， 因为在处取得极小值， 所以，解得或． 当时，， 令，得或， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时在处取得极小值，符合题意； 当时，， 令，得或， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意． 综上，． 17. 某校对200名学生的心理情况与学习成绩进行问卷调查，通过对照表得到学生的心理测评分数，经过统计得到下表． 学习成绩较好 学习成绩较差 心理情况较好 80 45 心理情况较差 15 60 （1）依据小概率值的独立性检验，分析学生的学习成绩是否与心理情况有关； （2）从上述学习成绩较差的学生中采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中心理情况较差的人数为 ，求 的分布列与数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为学生的学习成绩与心理情况有关 （2） ． 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的判断方法判断； （2）根据超几何分布求出分布列，再根据期望公式求解. 【小问1详解】 零假设：学生的学习成绩与心理情况无关， ， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的学习成绩与心理情况有关，此推断犯错误的概率不大于． 【小问2详解】 抽取心理情况较好的人数为，心理情况较差的人数为， 则的可能取值为, 则，， ，， 所以 的分布列为： 则． 18. 记为数列的前项和，已知，. （1）求； （2）证明：. 【答案】（1） （2） 因为，所以， 两式相减得，则. 当时，； 当时，， 设，，则， 所以在上单调递增，所以由， 得， 故，， 则，， 设，，则， 所以在上单调递减， 所以由，得，， 则当时，，所以； 当时，， 则，故. 综上，. 【解析】 【分析】（1）令可得，再令可得的值. （2）利用与的关系，结合累加法，首先得到，设，，利用导数分析其单调性，进而利用结论可证，，再设，，利用导数分析单调性，进而利用结论可证. 【小问1详解】 因为，， 所以当时，，得； 当时，， 得. 【小问2详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线 ． （1）求 的方程； （2）点，过点 的直线与 交于 ，两点． （ⅰ）当时，求的方程； （ⅱ）若直线斜率不为0，且直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）． （ⅱ）假设点在定直线上， 由椭圆的对称性可知该定直线必然与 轴垂直． 由题可知的斜率不为，且直线：， 直线：，联立， 得 ， 所以点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）设，由题可得，化简可得曲线方程； （2）（i）由题得，当的斜率为时，由可得直线方程；当的斜率不为时，设：，，，将直线方程与曲线方程联立，然后由结合韦达定理可得，据此可得答案； （ii）假设N在定直线上，由椭圆对称性可得该直线与x轴垂直，然后将直线AM与BN方程联立，结合韦达定理可得定直线方程. 【小问1详解】 设，由题得， 即， 整理得， 所以 的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由题得， 当的斜率为 时，可取，或，. 则，符合题意，此时的方程为 ； 当的斜率不为 时，设：，，， 联立，得， 则，，． ，， 所以，即，不成立． 综上，的方程为 ． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二学情调研数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. 60 C. 40 D. 20 4. 从点，，，中随机抽取2个点，恰有1个点在直线上的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为，成本为 ，当要素供给函数为线性函数（且，均为常数）时，可得，这里记为供给公差．当时，供给公差为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，则关于x的方程的实数解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 某博物馆有A，B，C，D四个不同的展厅，安保机器人每天需巡逻6次（某展厅可能未巡逻），每次只访问一个展厅，若要求机器人不能连续两次访问同一个展厅，且每天A展厅恰好被访问2次，则满足条件的巡逻路线共有（ ） A. 270条 B. 360条 C. 402条 D. 480条 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线 ：的左焦点为 ，右顶点为 ，其右支上有一点位于第一象限，，，，则（ ） A. 点的坐标可表示为 B. C. 的渐近线方程为 D. 点到 的右焦点的距离与之差为 10. 已知集合，从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集 ， ，记事件 为“ 是 的真子集”，事件为“子集 中恰有2个元素”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数无极值点 B. 若 ，则函数恰有1个极值点 C. 若 ，则曲线存在1条斜率最小的切线 D. 若，则曲线恰有2条斜率为0的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量服从正态分布，且，则______________． 13. 在公比为整数的等比数列中，，，成等差数列，且，则_____________． 14. 在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的4个顶点均在一个球面上，则该球的表面积为_________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为测定常用刀具的磨损速度，每隔一个小时对刀具的厚度进行测量，记时间为，刀具的厚度为 ，得到如下数据： 时间 厚度 关于的经验回归方程为． （1）现有五把刀具，其中三把质量较好，两把质量较差，从这五把中随机抽取两把，求这两把质量均较好的概率； （2）求 关于的经验回归方程，并预测时间为时刀具的厚度． 参考数据：． 参考公式：对于经验回归方程，，． 16. 已知函数． （1）当时，求在区间上的最小值； （2）若在处取得极小值，求的值． 17. 某校对200名学生的心理情况与学习成绩进行问卷调查，通过对照表得到学生的心理测评分数，经过统计得到下表． 学习成绩较好 学习成绩较差 心理情况较好 80 45 心理情况较差 15 60 （1）依据小概率值的独立性检验，分析学生的学习成绩是否与心理情况有关； （2）从上述学习成绩较差的学生中采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中心理情况较差的人数为 ，求 的分布列与数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 记为数列的前项和，已知，. （1）求； （2）证明：. 19. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线 ． （1）求 的方程； （2）点，过点 的直线与 交于 ， 两点． （ⅰ）当时，求的方程； （ⅱ）若直线斜率不为0，且直线与过点 且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $