2.2　平方根与立方根 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦八年级上册“算术平方根”核心知识点，通过图形观察填空问题导入，引导学生从平方运算自然过渡到算术平方根概念，搭建起新旧知识的学习支架。 其亮点在于结合概念双重非负性辨析、互逆运算训练及分层例题设计，如数值转换器问题，培养学生抽象能力、运算能力与应用意识。学生能深化概念理解，教师可通过分层教学提升课堂效率。

第二章　实数 2　平方根与立方根 第3课时　立方根 数学·八年级上册　 1 如图，一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成，假如要制作一个 体积为216 cm3的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少？ 数学·八年级上册　 　立方根的概念与性质 1. 定义：如果一个数x的立方等于a，即① ，那么这个数x叫作a 的立方根或三次方根.求一个数的立方根的运算，叫作② ⁠. 2. 立方根的性质：正数的立方根是③ ，负数的立方根是④ ⁠ ，0的立方根是0. x3＝a　 开立方　 正数　 负 数　 数学·八年级上册　 注意：（1）一个数a的立方根，用 表示，其中a是被开方数，3是根 指数； （2）立方与开立方是⑤ 运算； （3）任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，一个非零数的立 方根的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为 ⑥ ⁠. （4）立方根等于它本身的数是⑦ ⁠. （5）熟记1～10的立方数 13＝1 　 23＝8 　 33＝27 　 43＝64 　 53＝125 　 63＝216 　 73＝343 　 83＝512 　 93＝729 　 103＝1 000 互逆　 相反数　 0，1，－1　 数学·八年级上册　 【例1】求下列各数的立方根. （1） ； 解： ＝ . （2）－ ； 解： ＝－ . 数学·八年级上册　 （3）－0.008； 解： ＝－0.2. （4）0.216； 解： ＝0.6. （5）（－5）3； 解： ＝－5. （6）－10－9. 解： ＝－ ＝－ . 数学·八年级上册　 （1）（2025•宝安中学集团期中） 的立方根是（　A　）. A. B. ± C. － D. ±2 （2）（2025•深圳中学期中）化简： ＝ ⁠. A 2　 数学·八年级上册　 　与立方根有关的几个公式 （1） ＝－ ； （2） ＝a； （3）3＝a. 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根 的问题. 　 数学·八年级上册　 【例2】（1）计算 ＝ ⁠. （2）计算（ ）3＝ ⁠. （3）若 ＝k－5，则k的值为 ⁠. －3　 －27　 5　 数学·八年级上册　 （2025•深圳实验学校中学部期中）下列计算正确的是 （　D　）. A. ＝2 B. ＝0.3 C. ＝－2 D. ＝－ D 数学·八年级上册　 1. （2024•深圳实验学校坂田部期中）－8的立方根是（　A　）. A. －2 B. 2 C. ±2 D. 4 2. 的立方根是（　A　）. A. 2 B. ±2 C. 8 D. －8 A A 数学·八年级上册　 3. （2024•福田区外国语学校期中）下列说法正确的是（　B　）. A. ±3是27的立方根 B. 负数没有平方根，但有立方根 C. 25的平方根为5 D. 的立方根为3 4. （2025•南山区同泽学校期中） 若一个正方体的体积为64，则它的棱长 为 ⁠. B 4　 数学·八年级上册　 5. 求下列各数的立方根. （1）－343； （2）1.331； 解：∵（－7）3＝－343， ∴－343的立方根是－7. 解：∵1.13＝1.331， ∴1.331的立方根是1.1. 数学·八年级上册　 解：∵3＝－ ， ∴－ 的立方根是－ . 解：∵（103）3＝109， ∴109的立方根是103. （3）－ ； （4）109. 数学·八年级上册　 6. 解方程：（1）（x－1）3＝8； 解：∵（x－1）3＝8， ∴x－1＝2， ∴x＝3. 数学·八年级上册　 （2）27（x＋1）3＝－64. 解：两边都除以27，得（x＋1）3＝－ . 由立方根的定义，得x＋1＝ ， 即x＋1＝－ ， ∴x＝－ . 数学·八年级上册　 7. （2025•龙岗区坂田实验学校月考）已知正数a的两个不同的平方根分别是 2x－2和6－3x，a－4b的算术平方根是4. （1）求a和b的值； 解：依题意，2x－2＋6－3x＝0，解得x＝4， ∴2x－2＝6， ∴a＝62＝36. ∵a－4b＝16， ∴b＝5. 数学·八年级上册　 （2）求2a－b2＋17的立方根. 解：∵a＝36，b＝5， ∴2a－b2＋17＝2×36－25＋17＝64， ∴2a－b2＋17的立方根为4. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1 ①x3＝a　②开立方　③正数　④负数　⑤互逆　⑥相反数 ⑦0，1，－1 例1　解：（1） ＝ .　（2） ＝－ . （3） ＝－0.2. （4） ＝0.6. （5） ＝－5. （6） ＝－ ＝－ . 数学·八年级上册　 变式训练1　（1）A　（2）2 知识点2 例2　（1）－3　（2）－27　（3）5　 变式训练2　D 【随堂小测】 1. A　2.A　3.B　4.4 5. 解：（1）∵（－7）3＝－343，∴－343的立方根是－7. （2）∵1.13＝1.331，∴1.331的立方根是1.1. （3）∵3＝－ ，∴－ 的立方根是－ . （4）∵（103）3＝109，∴109的立方根是103. 数学·八年级上册　 6. 解：（1）∵（x－1）3＝8，∴x－1＝2，∴x＝3. （2）两边都除以27，得（x＋1）3＝－ . 由立方根的定义，得x＋1＝ ，即x＋1＝－ ， ∴x＝－ . 数学·八年级上册　 7. 解：（1）依题意，2x－2＋6－3x＝0，解得x＝4， ∴2x－2＝6，∴a＝62＝36. ∵a－4b＝16，∴b＝5. （2）∵a＝36，b＝5， ∴2a－b2＋17＝2×36－25＋17＝64， ∴2a－b2＋17的立方根为4. 数学·八年级上册　 $第二章　实数 2　平方根与立方根 第4课时　估算与用计算器开方 数学·八年级上册　 1 某市开辟了一块长方形的荒地，计划新建一个环保主题公园.已知这块荒地 的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2. （1）公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？ （2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？ （3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计出它的半径 是多少吗（结果精确到1 m）？ 数学·八年级上册　 　估算的基本方法 估算无理数的方法： （1）通过平方运算，采用“① ”，确定真正值所在的范围； （2）根据问题中误差允许的范围，在真正值的范围内取出② ⁠. 注意：“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1 m，是四舍五入到个 位，答案唯一；误差小于1 m，答案在其值左右1 m都符合题意，答案不唯一. 一般情况下，误差小于1 m就是估算到个位，误差小于10 m就是估算到十位. 夹逼法　 近似值　 数学·八年级上册　 【例1】（教材八上P36思考•交流） （1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流. ≈0.066， ≈96， ≈60.4. 解：∵0.0662＝0.004 356＜0.43， ∴ ≈0.066是错误的. ∵963＝884 736， ∴ ≈96是错误的. ∵60.42＝3 648.16， ∴ ≈60.4是错误的. 数学·八年级上册　 （2）你能估算出 的大小吗（结果精确到1）？ 解：93＝729，103＝1 000，9.13＝753.571，9.23＝778.688，9.33＝ 804.357，9.43＝830.584，9.53＝857.375，9.63＝884.736，9.73＝912.673， ∴9.6＜ ＜9.7， ∴ ≈10. 数学·八年级上册　 估算 －1的值在（　B　）. A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 B 数学·八年级上册　 　用估算法比较两个数的大小 对于含根号的数比较大小，一般可采取下列方法： 1. 先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较； 2. 当符号相同时，把不含根号的数平方，和被开方数比较，本方法的实质是 比较③ ，被开方数越大，其算术平方根越大； 3. 若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小. 　 被开方数　 数学·八年级上册　 【例2】（根据教材八上P36思考•交流改编）通过估算，比较 与 的 大小. 解：∵ ≈ ＝ ， ＝ ，∴ ＜ . 另法：∵4＜5＜9， ∴ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3， ∴ －1＜2， ∴ ＜ . 数学·八年级上册　 比较 与 的大小. 解： － ＝ ＝ . 因为2－ ＝ － ＜0，所以 ＜0， 所以 ＜ . 数学·八年级上册　 　使用计算器求平方根和立方根 先仔细阅读计算器的使用说明书，找到关于开方运算的说明，并按说明书上 的范例操作： 1. 对于开平方运算，按键顺序为 ，被开方数，＝. 2. 对于开立方运算，按键顺序为SHIFT， ，被开方数，＝. 3. （1）当一个正数大于1时，随着开平方次数增加，结果逐渐减小，最后趋 近于1. （2）当一个正数小于1时，随着开平方次数增加，结果逐渐变大，最后趋近 于1. 　 数学·八年级上册　 注意：1.使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，要按照算式的书写顺 序从左到右按键输入算式，不同的计算器按键顺序有所不同. 2. 在用计算器求分数的算术平方根或立方根，以及求乘积或经过加减后的数 的平方根时，要注意按键顺序，在不同型号的计算器中按键顺序有所不同， 有的要注意括号的作用，按键时要加括号. 数学·八年级上册　 【例3】利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.000 01）. （1） ； 解： ≈28.284 27. （2） ； 解： ≈1.638 64. （3） ； 解： ≈0.761 58. （4） . 解： ≈－0.755 95. 数学·八年级上册　 利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）. （1） ； 解：29.44. （2） ； 解：0.68. （3）－ ； 解：－0.68. （4）± . 解：±13.39. 数学·八年级上册　 　用计算器比较两个数的大小 利用计算器比较数的大小，实际上是利用计算器计算出要比较的各数的近似 值，通过比较结果得出相应的结论. 【例4】利用计算器比较 与 的大小. 解：用计算器计算可得 ≈2.080 084， ≈1.732 051， 所以 ＞ . 　 数学·八年级上册　 利用计算器比较下列各组数的大小. （1） 与 ； 解：因为 ≈4.472， ＝4.25，所以 ＞ . （2） 与 ； 解：因为 ≈ ≈0.410 95， ≈0.656 5，所以 ＜ . （3） 与 . 解：因为 ≈1.732 1， ≈1.732 5，所以 ＜ . 数学·八年级上册　 1. 估计 ＋2的值应在（　C　）. A. 8到9之间 B. 7到8之间 C. 6到7之间 D. 5到6之间 C 数学·八年级上册　 解析： ∵16＜18＜25， ∴4＜ ＜5， ∴4＋2＜ ＋2＜5＋2， ∴6＜ ＋2＜7， ∴估计 ＋2的值应在6到7之间. 数学·八年级上册　 2. 已知m＝ ，估计m的值所在范围是（　C　）. A. 1＜m＜2 B. 2＜m＜3 C. 3＜m＜4 D. 4＜m＜5 解析： ∵7＜ ＜8，∴6＜ －1＜7， ∴3＜ ＜3.5，∴3＜m＜3.5. C 数学·八年级上册　 3. （2024•龙岗区龙城初级中学月考）比较大小：3 5.（填 “＞”“＜”或“＝”） 4. （2024•盐田区实验学校月考）比较大小：2 4 ， （填“＞”“＜”“＝”）. ＞　 ＜　 ＞　 数学·八年级上册　 5. 已知5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，c是 的整数部 分，求3a－b＋c的平方根. 解：∵5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4， ∴5a＋2＝27，3a＋b－1＝16， ∴a＝5，b＝2. ∵c是 的整数部分， ∴c＝3， ∴3a－b＋c＝16， ∴3a－b＋c的平方根是±4. 数学·八年级上册　 6. 利用计算器比较 与 的大小. 解： ≈0.615， ≈ ≈0.725， ∵0.615＜0.725， ∴ ＜ . 数学·八年级上册　 7. （根据教材八上P36例7改编）生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底 端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定，如图1，AB是一长度为6 米的梯子. 数学·八年级上册　 解：由题意可得，AB＝6米，OB＝ AB＝2米， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得， AO＝ ＝ ＝4 ≈5.656（米）， ∵5.656＜5.7， ∴梯子的顶端不能达到5.7米高的墙头. （1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗？ （温馨提示： ≈1.414） 数学·八年级上册　 （2）如图2，若梯子底端向左滑动使OD＝3 米，那么梯子顶端将下滑多 少米？（结果保留一位小数） 解：在Rt△DOC中，由勾股定理可得， OC＝ ＝ ＝3 （米）， ∴AC＝OA－OC＝4 －3 ＝ ≈1.4（米）. ∴梯子的顶端将下滑约1.4米. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1 ①夹逼法　②近似值 例1　解：（1）∵0.0662＝0.004 356＜0.43， ∴ ≈0.066是错误的. ∵963＝884 736，∴ ≈96是错误的. ∵60.42＝3 648.16，∴ ≈60.4是错误的. （2）93＝729，103＝1 000，9.13＝753.571，9.23＝778.688，9.33＝ 804.357，9.43＝830.584，9.53＝857.375，9.63＝884.736，9.73＝ 912.673，∴9.6＜ ＜9.7，∴ ≈10. 数学·八年级上册　 变式训练1　B 知识点2　③被开方数 例2　解：∵ ≈ ＝ ， ＝ ， ∴ ＜ . 另法：∵4＜5＜9，∴ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3， ∴ －1＜2，∴ ＜ . 数学·八年级上册　 变式训练2　解： － ＝ ＝ . 因为2－ ＝ － ＜0，所以 ＜0，所以 ＜ . 知识点3 例3　解：（1） ≈28.284 27.　（2） ≈1.638 64. （3） ≈0.761 58.　（4） ≈－0.755 95. 数学·八年级上册　 变式训练3　解：（1）29.44.　（2）0.68. （3）－0.68.　（4）±13.39. 知识点4 例4　解：用计算器计算可得 ≈2.080 084， ≈1.732 051，所以 ＞ . 变式训练4　解：（1）因为 ≈4.472， ＝4.25， 所以 ＞ . （2）因为 ≈ ≈0.410 95， ≈0.656 5， 所以 ＜ . （3）因为 ≈1.732 1， ≈1.732 5，所以 ＜ . 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. C　解析：∵16＜18＜25，∴4＜ ＜5，∴4＋2＜ ＋2＜5＋2，∴6 ＜ ＋2＜7，∴估计 ＋2的值应在6到7之间. 2. C　解析：∵7＜ ＜8，∴6＜ －1＜7，∴3＜ ＜3.5，∴3＜ m＜3.5. 3. ＞ 4. ＜　＞ 数学·八年级上册　 5. 解：∵5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4， ∴5a＋2＝27，3a＋b－1＝16，∴a＝5，b＝2. ∵c是 的整数部分，∴c＝3，∴3a－b＋c＝16，∴3a－b＋c的平方 根是±4. 6. 解： ≈0.615， ≈ ≈0.725， ∵0.615＜0.725，∴ ＜ . 数学·八年级上册　 7. 解：（1）由题意可得，AB＝6米，OB＝ AB＝2米， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得， AO＝ ＝ ＝4 ≈5.656（米）， ∵5.656＜5.7，∴梯子的顶端不能达到5.7米高的墙头. （2）在Rt△DOC中，由勾股定理可得， OC＝ ＝ ＝3 （米）， ∴AC＝OA－OC＝4 －3 ＝ ≈1.4（米）. ∴梯子的顶端将下滑约1.4米. 数学·八年级上册　 $第二章　实数 2　平方根与立方根 第1课时　算术平方根 数学·八年级上册　 1 观察右侧图形，思考下列问题： （1）填空：x2＝ 　　　　，y2＝ 　　　　，z2＝ 　　　　，ω2＝ 　　　　. （2）x，y，z，w中哪些是有理数，哪些是无理数？ 数学·八年级上册　 　算术平方根的概念 概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即① ，那么这个正 数x就叫作a的② .a的算术平方根记为③ ，读作“根 号a”，a叫作④ ⁠. 注意：1.规定：0的算术平方根是0；2.算术平方根是它本身的数有0和1； 3. 具有双重非负性：⑤ 　a≥0， ≥0　. x2＝a　 算术平方根　 　 被开方数　 a≥0， ≥0　 数学·八年级上册　 【例1】（1）若x2＝16，则正数x＝ ⁠； （2）若x2＝ ，则正数x＝ 　 　. 4　 　 数学·八年级上册　 下列说法正确的是（　C　）. A. －b是（－b）2的算术平方根 B. ±6是36的算术平方根 C. 5是25的算术平方根 D. －5是25的算术平方根 C 数学·八年级上册　 　算术平方根的计算与应用 （1）求一个非负数的算术平方根与求这个算术平方根的平方恰好是⑥ ⁠ 运算. （2）熟记11～20的平方数 112＝121 122＝144 132＝169 142＝196 152＝225 162＝256 172＝289 182＝324 192＝361 202＝400 252＝625 　 互 逆　 数学·八年级上册　 【例2】求下列各数的算术平方根. （1）900； 解：900的算术平方根是30. （2）1； 解：1的算术平方根是1. （3） ； 解： 的算术平方根是 . （4）0； 解：0的算术平方根是0. 数学·八年级上册　 （5）0.000 1； 解：0.000 1的算术平方根是0.01. （6）106. 解：106的算术平方根是103. 数学·八年级上册　 求下列各式的值： （1）± ； 解：∵72＝49，∴± ＝±7. （2） ； 解：∵（ ）2＝ ，∴ ＝ . （3）－ . 解：∵0.32＝0.09，∴－ ＝－0.3. 数学·八年级上册　 1. （2025•福田区红岭实验学校月考）9的算术平方根是（　C　）. A. ±3 B. －3 C. 3 D. 9 C 数学·八年级上册　 2. （2025•深圳市高级中学期中）如图，A，B，C均为正方形，若A的面积 为9，C的面积为4，B的边长为无理数，则B的边长可以是 ⁠ .（写出一个答案即可） （大于2且 小于3的实数均可）　 数学·八年级上册　 3. 求下列各数的算术平方根. （1）196； 解： ＝14. （2）0.002 5； 解：∵0.052＝0.002 5，∴0.002 5的算术平方根为0.05. （3）10－4； 解：∵（10－2）2＝10－4，∴10－4的算术平方根为10－2. （4）1 . 解：∵2＝ ＝1 ，∴1 的算术平方根为 . 数学·八年级上册　 4. （1）81的算术平方根是 ⁠； （2） ＝ ⁠； （3） 的算术平方根是 ⁠. 9　 9　 3　 数学·八年级上册　 5. 一个数值转换器的原理如图所示. （1）当输入的x值为16时，求输出的y值. 解：由题意可得， ＝4， ＝2，则y＝ . 数学·八年级上册　 （2）是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满 足要求的x值；如果不存在，请说明理由. 解：存在，当x＝0或1时，它们的算术平方根是它们本身，是有理数，不是 无理数， ∴当x＝0或1时，始终输不出y值. 数学·八年级上册　 （3）输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x ＝ ⁠. 解：25或36或49或64　 解析：∵［（ ）2］2＝25，［（ ）2］2＝36，［（ ）2］2＝49，［（ ）2］2＝64， ∴x＝25或36或49或64.故答案为25或36或49或64. 25或36或49或64.　 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1 ①x2＝a　②算术平方根　③ 　④被开方数 ⑤a≥0， ≥0 例1　（1）4　（2） 变式训练1　C 知识点2　⑥互逆 数学·八年级上册　 例2　解：（1）900的算术平方根是30. （2）1的算术平方根是1. （3） 的算术平方根是 . （4）0的算术平方根是0. （5）0.000 1的算术平方根是0.01. （6）106的算术平方根是103. 数学·八年级上册　 变式训练2　解：（1）∵72＝49，∴± ＝±7. （2）∵（ ）2＝ ，∴ ＝ . （3）∵0.32＝0.09，∴－ ＝－0.3. 【随堂小测】 1. C　2. （大于2且小于3的实数均可） 3. 解：（1） ＝14. （2）∵0.052＝0.002 5，∴0.002 5的算术平方根为0.05. （3）∵（10－2）2＝10－4，∴10－4的算术平方根为10－2. （4）∵2＝ ＝1 ，∴1 的算术平方根为 . 数学·八年级上册　 4. （1）9　（2）9　（3）3 5. 解：（1）由题意可得， ＝4， ＝2，则y＝ . （2）存在，当x＝0或1时，它们的算术平方根是它们本身，是有理数，不是 无理数，∴当x＝0或1时，始终输不出y值. （3）25或36或49或64　解析：∵［（ ）2］2＝25，［（ ）2］2＝36， ［（ ）2］2＝49，［（ ）2］2＝64， ∴x＝25或36或49或64.故答案为25或36或49或64. 数学·八年级上册　 $第二章　实数 2　平方根与立方根 第2课时　平方根 数学·八年级上册　 1 【思考】（1）3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？ （2）平方等于 的数有几个？平方等于0.64的数呢？ 数学·八年级上册　 　平方根的概念与性质 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个 数叫作a的平方根或二次方根.就是说，如果 ① ，那么x叫作a的平方根.求一个 数a的平方根的运算，叫作② ， a 叫作③ ⁠ ∵（±3）2＝9， ∴9的平方根是±3 x2＝a　 开平方　 被开方数　 数学·八年级上册　 平方根 内容 示例 表示 方法 正数a的平方根表示为± 9的平方根记为± ，即 ± ＝±3 性质 ①正数有2个平方根，它们互为相反 数；②0的平方根是0； ③负数④ ⁠平方根 16的平方根是±4；0的平 方根是0；－16没有平方根 没有　 数学·八年级上册　 注意：（1）被开方数a一定是非负数（即正数或0）； （2）平方与开平方是互逆运算； （3）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，千万不能丢掉负 的平方根. 平方根等于它本身的数是⑤ ⁠. 0　 数学·八年级上册　 【例1】求下列各数的平方根. （1）64； 解：± ＝±8. （2） ； 解：± ＝± . （3）0.25； 解：± ＝± . （4）（－1 ）2. 解：± ＝±1 . 数学·八年级上册　 求下列各数的平方根. （1）169； 解：± ＝±13. （2）10－6； 解：± ＝±10－3. （3） ； 解：± ＝± . 数学·八年级上册　 （4） ； 解：± ＝± . （5）18. 解：± ＝±3 . 数学·八年级上册　 　算术平方根与平方根的区别和联系 算术平方根 平方根 区 别 定义 如果一个正数x的平方等 于a，即x2＝a，那么这个 正数x叫作a的算术平方根 如果一个数的平方等于a，那么 这个数叫作a的平方根 个数 正数的算术平方根只有 ⑥ ⁠个 正数的平方根有⑦ ⁠个 表示 方法 正数a的算术平方根表示 为⑧ ⁠ 正数a的平方根表示为 ⑨ ⁠ 取值 范围 正数的算术平方根一定是 正数 正数的平方根为一正一负，互为 相反数 　 1　 2　 　 ± 　 数学·八年级上册　 算术平方根 平方根 联 系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是 平方根中的正的平方根 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 特殊值0 0的平方根与算术平方根都是0 数学·八年级上册　 【例2】下列说法错误的是（　C　）. A. 5是25的算术平方根 B. 1是1的一个平方根 C. 的平方根是±4 D. 0的平方根与算术平方根都是0 C 数学·八年级上册　 若x2＝a（a＞0），则下列说法正确的是（　B　）. A. a是x的平方根 B. x是a的平方根 C. x是a的算术平方根 D. a是x的算术平方根 B 数学·八年级上册　 　两个公式 1. 2＝a（a≥0）.　2. ＝｜a｜＝ 　 数学·八年级上册　 【例3】求下列各式的值. （1）（ ）2； （2）（ ）2； 解：（ ）2＝64. 解：2＝ . 数学·八年级上册　 （3） ； （4） . 解： ＝8. 解： ＝ . 数学·八年级上册　 探究题： （1）求 ， ， ， ， ， 的值.对于任 意实数a， 等于多少？ 解： ＝2， ＝3， ＝5， ＝6， ＝7， ＝0， ＝｜a｜. 数学·八年级上册　 （2）求（ ）2，（ ）2，（ ）2，（ ）2，（ ）2，（ ）2 的值.对于任意非负实数a，（ ）2等于多少？ 解： ）2＝4，（ ）2＝9，（ ）2＝25，（ ）2＝36， （ ）2＝49，（ ）2＝0， （ ）2＝a（a≥0）. 数学·八年级上册　 【例4】（2024•福田区耀华实验学校月考）求下列各式中x的值. （1）3x2＝6； 解：∵3x2＝6，∴x2＝2，∴x＝± . （2）4（x－1）2＝9. 解：∵4（x－1）2＝9，∴（x－1）2＝ ， ∴x－1＝± ，∴x＝ 或x＝－ . （3）4x2－9＝0； 解：4x2－9＝0，4x2＝9，x2＝ ，解得x＝± . 数学·八年级上册　 （4）4（2x－1）2＝36. 解：4（2x－1）2＝36，（2x－1）2＝9，2x－1＝±3， 2x－1＝3或2x－1＝－3，解得x＝2或x＝－1. 数学·八年级上册　 （2025•宝安中学月考）求下列各式中x的值. （1）25x2＝16； 解：∵25x2＝16， ∴x2＝ ，解得x＝± . （2）2（x－1）2－32＝0. 解：∵2（x－1）2－32＝0， ∴2（x－1）2＝32，即（x－1）2＝16， ∴x－1＝±4， ∴x＝5或x＝－3. 数学·八年级上册　 1. （2025•宝安中学月考） 的平方根是（　C　）. A. 4 B. ±4 C. ±2 D. －2 2. （2025•深圳市实验学校中学部期中）36的平方根是 ⁠. C ±6　 数学·八年级上册　 3. 下列说法正确的是（　C　）. A. 平方根等于它本身的数是0，1 B. 倒数等于它本身的数只有1 C. 算术平方根等于它本身的数是0，1 D. 的平方根为±2 C 数学·八年级上册　 4. 求下列各式中x的值. （1）x2－4＝0； 解：x2－4＝0，x2＝4，x＝±2. （2）（x－1）2－9＝0； 解：（x－1）2－9＝0，（x－1）2＝9，x－1＝±3，x＝4或x＝－2. （3）x2＝ ； 解：x2＝ ，x＝± . （4）（x＋2）2＝16. 解：（x＋2）2＝16，x＋2＝±4，x＝2或x＝－6. 数学·八年级上册　 5. 下列说法：① ＝0.02；② ＝± ；③－22的平方根是－2；④ 的算术平方根是3；⑤2是1 的平方根；⑥0的平方根是0， 0没有算术平方根.其中正确的有（　A　）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 A 数学·八年级上册　 解析：① ＝0.2，因此①不正确； ② ＝ ，因此②不正确； ③－22＝－4，而负数没有平方根，因此③不正确； ④ ＝3，而3的算术平方根为 ，因此④不正确； ⑤1 的平方根为± ＝± ，因此⑤不正确； ⑥0的平方根是0，而0的算术平方根也是0，因此⑥不正确. 综上所述，说法都不正确，故选A. 数学·八年级上册　 6. （2025•深圳市中山大学附属实验学校期中）一个正数的两个不相等的平方 根分别是a－1和5－2a，则a＝ ⁠. 解析：由题意，得（a－1）＋（5－2a）＝0，化简得a－1＋5－2a＝0，即 －a＋4＝0，解得a＝4. 4　 数学·八年级上册　 7. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示 － ，设点B所表示的数为m. （1）求｜m＋1｜＋｜m－1｜的值； 解：∵AB＝2， ∴m－（－ ）＝2， ∴m＝2－ ， ∴｜m＋1｜＋｜m－1｜＝｜2－ ＋1｜＋｜2－ －1｜ ＝｜3－ ｜＋｜1－ ｜＝3－ ＋ －1＝2. 数学·八年级上册　 （2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有｜2c＋6｜与 互为相反数，求2c＋3d 的平方根. 解：∵｜2c＋6｜与 互为相反数， ∴｜2c＋6｜＋ ＝0. ∵｜2c＋6｜≥0， ≥0， ∴2c＋6＝0，d－4＝0， ∴c＝－3，d＝4， ∴2c＋3d＝2×（－3）＋3×4＝6， ∴2c＋3d的平方根是± . 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1 ①x2＝a　②开平方　③被开方数　④没有　⑤0 例1　解：（1）± ＝±8.　（2）± ＝± . （3）± ＝± .　（4）± ＝±1 . 数学·八年级上册　 变式训练1　解：（1）± ＝±13. （2）± ＝±10－3. （3）± ＝± . （4）± ＝± . （5）± ＝±3 . 数学·八年级上册　 知识点2　⑥1　⑦2　⑧ 　⑨± 例2　C 变式训练2　B 知识点3 例3　解：（1）（ ）2＝64.　（2）2＝ . （3） ＝8.　（4） ＝ . 数学·八年级上册　 变式训练3　解：（1） ＝2， ＝3， ＝5， ＝6， ＝7， ＝0， ＝｜a｜. （2）（ ）2＝4，（ ）2＝9，（ ）2＝25，（ ）2＝36， （ ）2＝49，（ ）2＝0， （ ）2＝a（a≥0）. 数学·八年级上册　 例4　解：（1）∵3x2＝6，∴x2＝2，∴x＝± . （2）∵4（x－1）2＝9，∴（x－1）2＝ ， ∴x－1＝± ，∴x＝ 或x＝－ . （3）4x2－9＝0，4x2＝9，x2＝ ，解得x＝± . （4）4（2x－1）2＝36，（2x－1）2＝9，2x－1＝±3， 2x－1＝3或2x－1＝－3，解得x＝2或x＝－1. 数学·八年级上册　 变式训练4　解：（1）∵25x2＝16，∴x2＝ ，解得x＝± . （2）∵2（x－1）2－32＝0，∴2（x－1）2＝32，即（x－1）2＝16，∴x －1＝±4，∴x＝5或x＝－3. 【随堂小测】 1. C　2.±6　3.C 4. 解：（1）x2－4＝0，x2＝4，x＝±2. （2）（x－1）2－9＝0，（x－1）2＝9，x－1＝±3，x＝4或x＝－2. （3）x2＝ ，x＝± . （4）（x＋2）2＝16，x＋2＝±4，x＝2或x＝－6. 数学·八年级上册　 5. A　解析：① ＝0.2，因此①不正确； ② ＝ ，因此②不正确； ③－22＝－4，而负数没有平方根，因此③不正确； ④ ＝3，而3的算术平方根为 ，因此④不正确； ⑤1 的平方根为± ＝± ，因此⑤不正确； ⑥0的平方根是0，而0的算术平方根也是0，因此⑥不正确. 综上所述，说法都不正确，故选A. 数学·八年级上册　 6.4　解析：由题意，得（a－1）＋（5－2a）＝0，化简得a－1＋5－2a＝ 0，即－a＋4＝0，解得a＝4. 7. 解：（1）∵AB＝2，∴m－（－ ）＝2， ∴m＝2－ ， ∴｜m＋1｜＋｜m－1｜ ＝｜2－ ＋1｜＋｜2－ －1｜ ＝｜3－ ｜＋｜1－ ｜ ＝3－ ＋ －1＝2. 数学·八年级上册　 （2）∵｜2c＋6｜与 互为相反数， ∴｜2c＋6｜＋ ＝0. ∵｜2c＋6｜≥0， ≥0， ∴2c＋6＝0，d－4＝0， ∴c＝－3，d＝4， ∴2c＋3d＝2×（－3）＋3×4＝6， ∴2c＋3d的平方根是± . 数学·八年级上册　 $