2.3 二次根式课件 2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

该初中数学课件系统覆盖二次根式的概念、性质、乘除运算、化简及混合运算，通过观察代数式特征导入概念，关联乘除法法则过渡到化简，结合问题回顾衔接混合运算，搭建循序渐进的学习支架。 其亮点在于以“观察-猜想-验证-概括”引导探究，如通过代数式共同特征抽象概念培养抽象能力，例题变式训练强化运算与推理意识，情境问题（如梯形计算）提升应用意识。学生能逐步掌握知识，教师可高效开展教学。

第二章 实数 3 二次根式 第1课时　二次根式概念及乘除运算 探究与应用 课堂小结与检测 【探究1】二次根式的概念 探究与应用 观察下列代数式: ,,,,(其中b=24,c=25), 这些式子有什么共同特征? 特征:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数. 韵 (韵) - 设计意图：通过问题的解决加深对二次根式的认识和理解,比空洞的讲解文字定义更直观具体,易于理解接受 【探究1】二次根式的概念 【概括新知】 一般地,形如(a≥0)的式子叫作二次根式,a叫作被开方数. 探究与应用 你认为一个式子是二次根式应满足几个条件? 二次根号需要具备两个条件: (1)含有二次根号,即含有“”; (2)被开方数为非负数. 韵 (韵) - 设计意图：通过问题的解决加深对二次根式的认识和理解,比空洞的讲解文字定义更直观具体,易于理解接受 【探究1】二次根式的概念 【应用】 下列式子中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? ， ， ,(x>0), 4, -， , 探究与应用 4,是二次根式； 其余都不是二次根式 韵 (韵) - 处理方式:观察各式的特点,然后分别指名判断,并说明理由,重点强调根据二次根式具备的两个条件去判断. 【探究2】二次根式的乘除法 【尝试·思考】 (1)计算下列各式,你能得到什么猜想? ×= ；= ； ×= ；= ； = ；= ； = ；= 。 探究与应用 6 6 20 20 猜想： 算术平方根的积等于积的算术平方根； 算术平方根的商等于商的算术平方根； 【探究2】二次根式的乘除法 【尝试·思考】 (2)根据上面的猜想,估计下面每组中的两个式子是否相等,借助计算器进行验证. ×与, 与. 探究与应用 ×=, . 【探究2】二次根式的乘除法 【概括新知】 二次根式的乘法法则和除法法则： 探究与应用 【探究2】二次根式的乘除法 【应用】 例1　(教材例1)计算: （1）； （2）。 探究与应用 解:(1)==； （2）====3. 韵 (韵) - 学生独立在练习本上完成,然后指名回答,说明计算的方法,有问题时其他同学进行修正.教师要强调书写,规范计算的步骤.对于(2)学生有不同的计算方法,教师要注意展示并进行说明. 【探究2】二次根式的乘除法 【应用】 例2　(教材例2)计算: （1）； （2）； （3） （4）；（5）; (6) 探究与应用 =3 =3 =6 = = =6-5 =1 = = =6 = = =4 = = =6-1 =5 = = 韵 (韵) - 师生活动:鼓励学生类比整式乘法和除法的相关运算,确定各算式对应的模型,然后再进行计算.教师选派三名同学进行板演,每名同学完成两道题,然后教师根据学生板演的过程进行讲评,强调计算的步骤以及准确性. 达标测评 1.下列各式是二次根式的是 (　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.π 2.下列各数中,与的积为有理数的是 (　　) A. B.3 C.2 D.2- 3.计算:×=　　　　.  ÷·=　　　　.  课堂小结与检测 B C 6 达标测评 4.计算： （1）；（2）；（3）。 课堂小结与检测 答案（1） （2)3 (3) 第二章 实数 3 二次根式 第2课时　二次根式的化简及加减运算 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 思考： （1）当a (2)二次根式的乘除法法则是什么？ a 【探究1】最简二次根式的概念及其化简 探究与应用 ； 韵 (韵) - 设计意图：理解知识间的必然联系,使学生能逆用二次根式的乘除法法则将二次根式进行化简. 【探究1】最简二次根式的概念及其化简 【应用】 例1（教材例3）化简： （1） （2） （3） 探究与应用 = =9 =72 = =5 = = 化简的结果中，被开方数都不含分母，也不含能开得尽方的因数 【探究1】最简二次根式的概念及其化简 【概括新知】 一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫作最简二次根式. 探究与应用 特别说明： 在化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式 是最简二次根式 【探究1】最简二次根式的概念及其化简 【应用】 例2　(教材例4)化简: （1）； （2）； （3）. 探究与应用 = = =5 = = = = = = 韵 (韵) - 设计意图：通过例题,进一步掌握二次根式的化简方法,使学生能采用不同的方法把二次根式化简成最简二次根式. 【探究1】最简二次根式的概念及其化简 【思考·交流】 (1)你是怎么发现含有开得尽方的因数的?你是怎么判断是最简二次根式的? (2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经验与体会?与同伴进行交流. 探究与应用 翟世静 (翟) - 及时引导学生反思化简活动，以积累解决相关问题的经验，提升学生对二次根式化简的理解水平 【探究2】 二次根式的加减运算 想一想 我们已经知道2a+5a=7a, 4xyz-9xyz=-5xyz, 5π+3π-7π=π,…, 那么15+13等于多少呢? 探究与应用 15+13=18 归纳： 二次根式也可以进行加减运算,这时,以前学习的实数的运算法则、运算 律仍然适用。当然,如果运算结果中出现某些项,它们各自化简后的被开方数 相同,那么应当将这些项合并。 【应用】 例3　(教材例5)计算: (1)(2) ; (3) 探究与应用 = = =4 =5 = = = = = =+3 =5 【探究2】 二次根式的加减运算 韵 (韵) - 处理方式:思考每个算式的计算方法,然后在小组内进行交流.教师指名回答后,让三名同学进行板演,其他同学独立完成,教师根据板演有针对性地进行讲评.说明问题(3)可利用乘法分配律进行计算,也可先计算括号里的加法,再算乘法. 变式 计算:. 探究与应用 解:-2 =2-2-2 =-2 【拓展提升】 1.若a,b为有理数,且++=a+b,则ab的值为(　　) A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　　D.2 2.计算:-2+-3. 探究与应用 =2 = - C 达标测评 1.下列式子中,属于最简二次根式的是( ) A.　　 　B.　　　　　C.　　　　　D. 2.下列计算正确的是 (　　) A.=2 B. + C.4- 2 D. -=2 课堂小结与检测 B D 达标测评 3.化简: (1) ; (2) ; (3). 2.计算: (1); (2) ; (3). 课堂小结与检测 =2 =-3 = =3 = = = =4 第二章 实数 3 二次根式 第3课时　二次根式的混合运算 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 问题1:什么叫作最简二次根式? 问题2:上节课我们学习了二次根式的化简,你能将下面式子化成最简二次根式吗? ① ②; ③. =4 =4 = 问题3:计算: (1)-; (2)3+21; =3- =2 =3+3 =6 韵 (韵) - 设计意图：以练习的形式帮助学生复习上节课的内容,强化学生对二次根式的化简及加减法的掌握和理解. 【探究1】二次根式的混合运算 【情境问题】 （1）请你计算：，. （2）小明是这样计算的： ==分子、分母同乘 （3）计算你有哪些方法？ 探究与应用 韵 (韵) - 处理方式:让学生独立完成问题(1)的解题过程,分享计算的方法.然后教师展示小明的做法,帮助学生进行分析.对于(1)的第1个算式,如果其他同学有不同的做法,教师一起展示,并与同学们一起进行分析. 【探究1】二次根式的混合运算 【应用】例　(教材例6)计算: （1） （2） （3）； （4）+ 探究与应用 韵 (韵) - 说明:在计算的过程中,鼓励学生提出不同的想法,并在全班进行交流,分享计算的经验,对于好的技巧和方法教师要给予表扬和鼓励,激发学生的学习热情. 【探究1】二次根式的混合运算 【应用】例　(教材例6)计算: （1） （2） 探究与应用 = - = = = -+ =+ = 【探究1】二次根式的混合运算 【应用】例　(教材例6)计算: （3）； （4）+ 探究与应用 = - = =- =- = = + =+3 =- 【探究2】二次根式混合运算的应用 【尝试·思考】 化简,其中a=28,b=7.你是怎么做的? 探究与应用 解：-= 当a=28,b=7时，原式==-13 韵 (韵) - 说明:对于本题学生可能直接代入求值,也可能利用乘法分配律先把括号去掉再求值.两种方法教师都要给予肯定,鼓励学生用较简便的方法进行计算. 【探究2】二次根式混合运算的应用 【思考·交流】 如图,方格纸中每个小方格的边长均为1. (1)求梯形ABCD的周长. (2)求梯形ABCD的面积.你有哪些求解方法?与同伴进行交流. 探究与应用 解:(1)由题意,得AD=6, CD==, CB==, AB==, 所以梯形ABCD的周长=AD+CD+CB+AB=6++2+5=6+6+2. (2)梯形ABCD的面积=5×7-×1×1-×2×4-×5×5=18 翟世静 (翟) - 处理方式:观察图形,让学生思考如何确定线段AB,CD,BC的长,使学生经过交流得出需要把这三条线段构造在直角三角形中,利用勾股定理即可求出长度;在求梯形的面积时,可利用“割补法”进行计算,让学生充分地思考与交流. 【应用】 例　如果梯形的上、下底长分别为2 cm,4 cm,高为 cm,那么它的面积是多少? 探究与应用 解：梯形的面积= = = = =2+ =（2）cm2 【拓展提升】 1.估计(2-)的值应在 (　　) A.2和3之间　　　　 B.3和4之间 C.4和5之间　　　　 D.5和6之间 2.已知:a=,b=,则a与b的关系是 (　　) A.a-b=0 B.a+b=0 C.ab=1 D.a2=b2 探究与应用 C C 达标测评 1.计算的结果是( ） A.　　 　B.　2　　　　C.　　　　　D. 2.已知等腰三角形的两边长为2 和(　　) A. B. + C.4 D. +或2 课堂小结与检测 C B 达标测评 3.化简: (1) ; (2) -; (3); (4)-. 课堂小结与检测 =2 = = = =10 = =+ = = =13 = $