2.3　二次根式 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦八年级上册第二章“二次根式”第1课时，核心内容包括二次根式的概念（形如√a，a≥0）、双重非负性及乘除运算。课堂通过观察√5等代数式特征引入，脉络为概念引入—性质学习—运算应用—巩固提升，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察代数式培养抽象能力，通过例题辨析和运算推理发展运算能力与推理意识，如“找规律”训练引导探究。采用问题情境到拓展提升的教学流程，小结清晰，助力学生形成数学思维，为教师提供系统教学资源。

第二章　实数 3　二次根式 第2课时　二次根式的化简及加减运算 数学·八年级上册　 1 我们学习了二次根式的乘法法则和除法法则，有 • ＝ （a≥0， b≥0）， ＝ （a≥0，b＞0），将等号的左边和右边交换，等式还成立 吗？举例说明. 数学·八年级上册　 　最简二次根式 满足下列条件的二次根式，叫作最简二次根式： 被开方数不含① ；被开方数不含② 的因数或因式. 分母　 能开得尽方　 数学·八年级上册　 【例1】把下列各式化成最简二次根式. （1） ； 解： ＝ ＝ × ＝2 . （2） ； 解： ＝ ＝ ＝ . 数学·八年级上册　 （3） ； 解： ＝ ＝ ＝ ＝ . （4） （x＞0）. 解： ＝ × × ＝ × ×x× ＝4x . 数学·八年级上册　 化简： （1） ； 解：5 .　 （2） ； 解： .　 （3） ； 解： .　 数学·八年级上册　 （4） ； 解： .　 （5） . 解：1. 数学·八年级上册　 　二次根式的加减运算 二次根式的加减运算，就是先将二次根式化成③ ，再将被 开方数相同的二次根式进行合并. 注意：（1）掌握一个同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根 式以后，如果被开方数④ ，这几个二次根式就叫作同类二次根式， 比如： ， ， ， 为同类二次根式； （2）合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以对 比整式的加减进行. 　 最简二次根式　 相同　 数学·八年级上册　 【例2】计算： （1） × －5； 解： × －5＝ －5＝2 －5. （2）（ ＋1）2； 解：（ ＋1）2＝5＋2 ＋1＝6＋2 . 数学·八年级上册　 （3）（ － ）× ； 解： × ＝ × － × ＝ － ＝6－1＝5. （4） . 解： ＝ ＝ ＝5. 数学·八年级上册　 计算： （1）（ ＋ ）× ； 解：原式＝ ＋ ＝9＋1＝10. （2） －2； 解：原式＝ －2＝（2＋1）－2＝1. 数学·八年级上册　 （3）（ ＋3）（ －3）； 解：原式＝（ ）2－32＝13－9＝4. （4）（ ＋ ）2. 解：原式＝（ ）2＋2× × ＋（ ）2＝2＋2 ＋5＝7＋2 . 数学·八年级上册　 1. （2025•福田区期中）下列根式中，是最简二次根式的是（　C　）. A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　C　）. A. B. C. D. C C 数学·八年级上册　 3. （2025•罗湖外国语中学期中）下列运算正确的是（　A　）. A. × ＝ B. 6 － ＝6 C. ÷ ＝4 D. ＋ ＝ A 数学·八年级上册　 4. 化简： （1） ； 解： ＝3×7＝21. （2） ； 解： ＝4 . （3） ； 解： ＝ . 数学·八年级上册　 （4） ； 解： ＝3 . （5） ； 解： ＝3 . （6） ； 解： ＝ . 数学·八年级上册　 （7） ； 解： ＝ . （8） . 解： ＝4xyz . 数学·八年级上册　 5. 计算：（1）3 －2 ＋ ； 解：原式＝3× －2× ＋2 ＝ － ＋2 ＝2 . （2）（3＋2 ）2－（4＋ ）（4－ ）. 解：原式＝（9＋12 ＋20）－（16－5）＝29＋12 －11＝18＋12 . 数学·八年级上册　 6. （2025•福田外国语学校期中）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD， 长方形空地的长BC为 m，宽AB为 m，现要在空地中划出一块长方 形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为 （ ＋1）m，宽为（ －1）m. （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） 解：长方形ABCD的周长＝2×（ ＋ ） ＝2×（6 ＋4 ）＝20 （m）. 答：长方形ABCD的周长是20 m. 数学·八年级上册　 （2）若市场上某种蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产 15千克的该种蔬菜.如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为 多少元？ 解：蔬菜地的面积＝ × －（ ＋1）×（ －1）＝48－（10 －1）＝39（m2），39×15×8＝4 680（元）. 答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为4 680元. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1 ①分母　②能开得尽方 例1　解：（1） ＝ ＝ × ＝2 . （2） ＝ ＝ ＝ . （3） ＝ ＝ ＝ ＝ . （4） ＝ × × ＝ × ×x× ＝4x . 数学·八年级上册　 变式训练1　解：（1）5 .　（2） .　（3） .　（4） .　（5）1. 知识点2 ③最简二次根式　④相同 例2　解：（1） × －5＝ －5＝2 －5. （2）（ ＋1）2＝5＋2 ＋1＝6＋2 . （3） × ＝ × － × ＝ － ＝6－1＝5. （4） ＝ ＝ ＝5. 数学·八年级上册　 变式训练2　解：（1）原式＝ ＋ ＝9＋1＝10. （2）原式＝ －2＝（2＋1）－2＝1. （3）原式＝（ ）2－32＝13－9＝4. （4）原式＝（ ）2＋2× × ＋（ ）2＝2＋2 ＋5＝7＋2 . 【随堂小测】 1. C　2.C　3.A 4. 解：（1） ＝3×7＝21.　（2） ＝4 . 数学·八年级上册　 （3） ＝ . （4） ＝3 . （5） ＝3 . （6） ＝ . （7） ＝ .　（8） ＝4xyz . 数学·八年级上册　 5. 解：（1）原式＝3× －2× ＋2 ＝ － ＋2 ＝2 . （2）原式＝（9＋12 ＋20）－（16－5）＝29＋12 －11＝18＋12 . 6. 解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（ ＋ ） ＝2×（6 ＋ 4 ）＝20 （m）. 答：长方形ABCD的周长是20 m. （2）蔬菜地的面积＝ × －（ ＋1）×（ －1）＝48－（10 －1）＝39（m2）， 39×15×8＝4 680（元）. 答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为4 680元. 数学·八年级上册　 $第二章　实数 3　二次根式 第3课时　二次根式的混合运算 数学·八年级上册　 1 【思考】计算：（1） ＋ ；　　　　　（2） － . 数学·八年级上册　 　巩固二次根式的混合运算 　　二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、① ⁠的混 合运算，与整式运算一样，运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 　　二次根式的运算顺序是先算② ，再算③ ，最后算 ④ ，如有括号先算括号里的. 注意：平方差公式：⑤ ，完全平方公式： ⑥ ⁠. 乘方　 乘方　 乘除　 加减　 （a＋b）（a－b）＝a2－b2　 （a±b）2＝a2±2ab＋b2　 数学·八年级上册　 【例1】（2025•宝安中学月考）计算：（ ＋ ）× －2 . 解：原式＝（2 ＋ ）× －2× ＝3 × × － ＝9 － ＝8 . 数学·八年级上册　 （2025•新安中学（集团）第二外国语学校月考）计算： ＋ . 解：原式＝（ － ）＋ ＝（ － ）＋ ＝（2－3）＋ ＝－1＋ . 数学·八年级上册　 　二次根式的化简求值解二次根式的化简求值问题时，直接代入 求值很麻烦，要先化简已知条件，再代入即可求得. 【例2】化简求值：（ － ）• ，其中a＝3，b＝2. 解：原式＝ • － • ＝ － ＝ －b ，把a＝3，b ＝2代入，得原式＝ －2 . 　 数学·八年级上册　 （2025•龙岗区华附集团期中）已知x＝ ＋2，y＝ －2，求 代数式x2－y2的值. 解：∵x＝ ＋2，y＝ －2， ∴x＋y＝2 ，x－y＝4， ∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝2 ×4＝8 . 数学·八年级上册　 　二次根式的应用 利用二次根式解决实际生活中的问题，关键在于理解题意并列出算式. 【例3】如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中四边形ABCD的面 积，你有哪些方法？与同伴进行交流. 　 解：方法一：四边形ABCD的面积 ＝7×5－ ×5×5－ ×2×4－ ×1×1＝18； 方法二：四边形ABCD的面积 ＝ ×5×5＋ ×3×1＋ ＝18. 数学·八年级上册　 教师节要到了，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老 师，其中一张壁画的面积为800 cm2，另一张壁画的面积为450 cm2，如果再 用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮.他现在有1.2 m长的金彩带，请你帮忙算 一算他的金彩带够用吗？ 解：∵两张正方形壁画的面积分别是800 cm2，450 cm2， ∴两张正方形壁画的边长分别是 ＝20 （cm）， ＝15 （cm）， ∴镶壁画需用的金彩带的长度为4×（20 ＋15 ）＝140 （cm）. ∵1.2 m＝120 cm，140 cm＞120 cm， ∴小明的金彩带不够用. 数学·八年级上册　 1. （2025•深圳市红岭教育集团期中）下列运算正确的是（　D　）. A. － ＝ B. 1＋ ＝ C. ÷ ＝3 D. × ＝2 2. 已知x＝ ＋1，y＝ －1，则xy＝ ⁠. D 2　 数学·八年级上册　 3. 计算： （1） ＋ ； 解：原式＝ ＋2 ＝3 . （2）（3－ ）2＋（ ＋2）（ －2）. 解：原式＝9－6 ＋5＋5－4＝15－6 . 数学·八年级上册　 4. 计算：（1） ÷ ×2 －6 ； 解： ÷ ×2 －6 ＝3 × ×2 －6 ＝12 －6 ＝6 . （2）（ ＋ ）2×（5－2 ）. 解：（ ＋ ）2×（5－2 ） ＝［（ ）2＋2 ＋（ ）2］×（5－2 ） ＝（5＋2 ）×（5－2 ）＝52－（2 ）2＝25－24＝1. 数学·八年级上册　 5. 求代数式（a－ ）（a＋ ）－a（a－3）的值，其中a＝ ＋2. 解：原式＝a2－2－（a2－3a） ＝a2－2－a2＋3a ＝3a－2， 当a＝ ＋2时， 原式＝3（ ＋2）－2＝3 ＋4. 数学·八年级上册　 6. 计算：（2x－y＋1）（2x＋y－1）. 解：原式＝［2x－（y－1）］［2x＋（y－1）］＝4x2－（y－1）2 ＝4x2－（y2－2y＋1）＝4x2－y2＋2y－1. 数学·八年级上册　 7. 阅读下面的材料，解答后面给出的问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说 这两个代数式互为有理化因式，例如 与 ， ＋1与 －1.这样，化 简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式 的方法就可以了，例如： ＝ ＝ . （1）请你写出3＋ 的一个有理化因式： 　3－ （答案不唯一）　； 3－ （答案不唯一）　 数学·八年级上册　 （2）请仿照上面给出的方法化简 （m≠1）. 解： ＝ ＝ ＝1－ . 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1 ①乘方　②乘方　③乘除　④加减 ⑤（a＋b）（a－b）＝a2－b2　⑥（a±b）2＝a2±2ab＋b2　 例1　解：原式＝（2 ＋ ）× －2× ＝3 × × － ＝9 － ＝8 . 数学·八年级上册　 变式训练1　解：原式＝（ － ）＋ ＝（ － ）＋ ＝（2－3）＋ ＝－1＋ . 知识点2 例2　解：原式＝ • － • ＝ － ＝ －b ，把a＝3，b＝2代入，得原式＝ －2 . 数学·八年级上册　 变式训练2　解：∵x＝ ＋2，y＝ －2， ∴x＋y＝2 ，x－y＝4， ∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝2 ×4＝8 . 知识点3 例3　解：方法一：四边形ABCD的面积 ＝7×5－ ×5×5－ ×2×4－ ×1×1＝18； 方法二：四边形ABCD的面积 ＝ ×5×5＋ ×3×1＋ ＝18. 数学·八年级上册　 变式训练3　解：∵两张正方形壁画的面积分别是800 cm2，450 cm2， ∴两张正方形壁画的边长分别是 ＝20 （cm）， ＝15 （cm）， ∴镶壁画需用的金彩带的长度为4×（20 ＋15 ）＝140 （cm）. ∵1.2 m＝120 cm，140 cm＞120 cm， ∴小明的金彩带不够用. 【随堂小测】 1.D　2.2 3.解：（1）原式＝ ＋2 ＝3 . （2）原式＝9－6 ＋5＋5－4＝15－6 . 数学·八年级上册　 4.解：（1） ÷ ×2 －6 ＝3 × ×2 －6 ＝12 －6 ＝6 . （2）（ ＋ ）2×（5－2 ） ＝［（ ）2＋2 ＋（ ）2］×（5－2 ） ＝（5＋2 ）×（5－2 ） ＝52－（2 ）2＝25－24 ＝1. 数学·八年级上册　 5.解：原式＝a2－2－（a2－3a） ＝a2－2－a2＋3a ＝3a－2， 当a＝ ＋2时， 原式＝3（ ＋2）－2＝3 ＋4. 6.解：原式＝［2x－（y－1）］［2x＋（y－1）］＝4x2－（y－1）2 ＝4x2－（y2－2y＋1）＝4x2－y2＋2y－1. 数学·八年级上册　 7.解：（1）3－ （答案不唯一）　 （2） ＝ ＝ ＝1－ . 数学·八年级上册　 $第二章　实数 3　二次根式 第1课时　二次根式的概念及乘除运算 数学·八年级上册　 1 观察下列代数式： ， ， ， ， （其中 b＝24，c＝25），它们有哪些共同特征？ 数学·八年级上册　 　二次根式的概念 一般地，形如① 的式子叫作二次根式，a叫作被开方数. 注意：（1）二次根式的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母 的式子； （2）二次根式具有② ： ≥0，a≥0. （a≥0）　 双重非负性　 数学·八年级上册　 【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ （1） ；（2）6；（3） ；（4） （m≤0）； （5） （x，y异号）；（6） ；（7） . 解：（1）（4）（6）是二次根式；（2）（3）（5）（7）不是二次根式. 数学·八年级上册　 下列式子中，是二次根式的有（　B　）个. ① ；② ；③ ；④ . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 数学·八年级上册　 　二次根式的性质 积的算术平方根等于算术平方根的积；商的算术平方根等于算术平方根 的商. 归纳出公式：③ 　 ＝ · （a≥0，b≥0）　，④ 　 ＝ ⁠. 　 ＝ · （a≥0，b≥0）　 ＝ （a≥0，b＞0）　 数学·八年级上册　 【例2】下列计算正确的是（　B　）. A. ÷ ＝ B. ÷ ＝ C. ÷ ＝ D. ÷x＝ B 数学·八年级上册　 下列计算结果不正确的是（　C　）. A. × ＝4 B. × ＝ C. × ＝48 D. × ＝ C 数学·八年级上册　 　二次根式的乘除运算 1. 二次根式的乘法：二次根式相乘，就是把被开方数⑤ ，根指数不 变，归纳出公式⑥： ⁠. 2. 二次根式的除法：二次根式相除，就是把被开方数⑦ ，根指数不 变，归纳出公式⑧： ⁠. 　 相乘　 • ＝ （a≥0，b≥0）　 相除　 ＝ （a≥0，b＞0）　 数学·八年级上册　 【例3】计算：（1） × ； 解： × ＝ ＝ ＝ . （2） ； 解： ＝ ＝ ＝8. （3） ÷3 × . 解： ÷3 × ＝ × ＝ × ＝ × ＝1. 数学·八年级上册　 计算：（1） × × ； 解： × × ＝ ＝ ＝30. （2） . 解： ＝ ＝ ＝3. 数学·八年级上册　 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（　B　）. A. B. C. D. 2. （2025•深圳市高级中学期中）若二次根式 在实数范围内有意义， 则x的取值范围是（　A　）. A. x≥ B. x≤ C. x≤2 D. x≥2 B A 数学·八年级上册　 3. 下列计算正确的是（　D　）. A. （ ）2＝9 B. ＝－2 C. × ＝6 D. ÷ ＝2 D 数学·八年级上册　 4. 填空：（1） × ＝ 　 　； （2） × ＝ ⁠. 5. 若一个长方体的长为2 cm，宽为 cm，高为 cm，则它的体积 为 cm3. 　 3　 12　 数学·八年级上册　 6. 计算： （1）4 ×（－3 ）； 解：4 ×（－3 ）＝－4×3× ＝－12× ＝－12×4＝－48. （2） × （a≥0）； 解： × ＝ ＝ ＝3a2. 数学·八年级上册　 （3） × × ； 解： × × ＝ × ＝ ×60＝20. （4） • （x≥0，y≥0）. 解： • ＝ ＝4x2y2. 数学·八年级上册　 7. 你能找出规律吗？ （1）计算： × ＝ ， ＝ ； × ＝ ⁠， ＝ ⁠. 结论： × ； × .（填 “＞”“＝”或“＜”） 6　 6　 20　 20　 ＝　 ＝　 数学·八年级上册　 （2）请按找到的规律计算： ① × ； 解： × ＝ ＝ ＝10. ② × . 解： × ＝ ＝ ＝4. （3）已知a＝ ，b＝ ，则 ＝ （用含a，b的式子表 示）. a2b　 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1 ① （a≥0）　②双重非负性 例1　解：（1）（4）（6）是二次根式；（2）（3）（5）（7）不是二 次根式. 变式训练1　B 知识点2 ③ ＝ · （a≥0，b≥0）　④ ＝ （a≥0，b＞0） 数学·八年级上册　 例2　B 变式训练2　C　 知识点3 ⑤相乘 ⑥ • ＝ （a≥0，b≥0） ⑦相除 ⑧ ＝ （a≥0，b＞0） 数学·八年级上册　 例3　解：（1） × ＝ ＝ ＝ . （2） ＝ ＝ ＝8. （3） ÷3 × ＝ × ＝ × ＝ × ＝1. 数学·八年级上册　 变式训练3　解：（1） × × ＝ ＝ ＝30. （2） ＝ ＝ ＝3. 【随堂小测】 1. B　2.A　3.D　 4.（1） 　（2）3　5.12 6. 解：（1）4 ×（－3 ）＝－4×3× ＝－12× ＝－12×4＝ －48. 数学·八年级上册　 （2） × ＝ ＝ ＝3a2. （3） × × ＝ × ＝ ×60＝20. （4） • ＝ ＝4x2y2. 数学·八年级上册　 7. 解：（1）6　6　20　20　＝　＝ （2）① × ＝ ＝ ＝10. ② × ＝ ＝ ＝4. （3）a2b 数学·八年级上册　 $