函数的对称性、周期性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数对称性与周期性，以定义为根基，通过典例系统提炼定义法、转化法等解题技巧，构建“性质-应用”逻辑链条，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对称性应用|4（如2、6题）|轴对称/中心对称定义法、图像变换法|从对称性定义到极值点/零点/单调性的性质推导| |周期性应用|3（如1、3题）|周期递推法、奇偶性结合法|周期性与奇偶性的关联及函数值求解逻辑| |综合应用|8（如4、12、14题）|零点转化法、导数几何意义法|对称性/周期性与导数、方程的综合应用链|

2026年6月第四周 函数与导数 6月第四周，我们进行 2027届一轮复习(3)：函数的对称性、周期性 ，题目难度中等。 1．（2008年四川高考理科数学11·★★）设定义在上的函数满足，若，则 A． B． C． D． 2．（江苏省苏北七市2025届高三第三次调研测试数学试题·★★）设函数的定义域为是的极大值点，则（   ） A．是的极小值点 B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 3．（山东省青岛五十八中高新学校2025届高考第三次适应性检测数学试题·★★★）已知函数是上的奇函数，且，当时，，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）·★★★）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A． B． C． D． 5．（福建省泉州市2025届高三质量监测（一）·★★★）已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．是图象的一条对称轴 C．是图象的一个对称中心 D．在区间内单调递减 6．（吉林省长春市东北师范大学附属中学2024届高三下学期第五次模拟考试数学试题·★★★）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 7．（河北唐山市2026届高三第一次模拟演练数学试题·★★★）若函数与函数的图象关于y轴对称，则（    ） A．与有相同的零点 B．为偶函数 C．与有相同的极值点 D．对任意的，都有 8．（广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（二）·★★★☆）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为 C． D．有两个零点，且 9．（2025届福建省高中毕业班适应性练习·★★★★）在平面直角坐标系中，直线与曲线交于，直线与曲线交于，且．下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．与的面积相等 D．若的周长等于的周长的2倍，则 10．（北京市海淀区2024届高三下学期期中练习（一模）·★★★）已知函数，则_________；函数的图象的一个对称中心的坐标为_______. 11．（重庆市巴蜀中学2023届高三下学期高考适应性月考（八）·★★★）函数，对任意的时，都有，则______，函数的最小值是______. 12．（2023届山东省潍坊市高三三模数学试题·★★★☆）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是_________． 13．（四川省射洪中学校2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题·★★★）已知函数，且函数与的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求实数的取值范围． (3)若且，求的取值范围． 14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题·★★★☆）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 15．（浙江省温州市普通高中2025届高三第三次适应性考试数学试题·★★★★）设曲线． (1)求证：关于直线对称； (2)求证：是某个函数的图象； (3)试求所有实数与，使得直线在的上方． 试卷第2页，共3页 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C D B B ABD ABD BCD ACD 1．C 【难度】0.65 【知识点】函数的周期性的定义与求解、由函数的周期性求函数值 【详解】：∵且 ∴，， ，，，， ∴ ，∴ 故选C 【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值； 【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解； 2．C 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、函数极值点的辨析 【分析】A选项，的图象和的图象关于轴对称，是的极大值点；BD选项，可举出反例；C选项，的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点. 【详解】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C 3．D 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据题设，分析可得函数是周期为4的周期函数，进而求出，再结合周期性质求解即可. 【详解】因为函数是上的奇函数，所以，且， 又，所以， 则，即， 所以函数是周期为4的周期函数，则， 因为当时，，所以， 由，则，， 则， 则. 故选：D. 4．B 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．    【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 5．B 【难度】0.4 【知识点】函数的周期性的定义与求解、判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】法一：利用排除法，取特值检验即可；法二：根据周期性的定义判断A；根据对称性的定义判断BC；利用导数判断在区间内单调性，进而判断D. 【详解】法一：（排除法）因为， ， 即，所以不是的一个周期，故A错误； 且，所以不是图象的一个对称中心，故C错误； 又因为， 即，所以在区间内不单调递减，故D错误； 法二：A：因为 即，所以不是的一个周期，故A错误； B：因为 ， 即，所以是图象的一条对称轴，故B正确； C：因为， 即，所以不是图象的一个对称中心，故C错误； D：因为 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间内不单调递减，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：对于复杂的函数性质问题，可以通过举反例的形式说明其错误，这样可以简化计算和推理. 6．ABD 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确； ，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：ABD 7．ABD 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值点、判断指数型复合函数的单调性、函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用对称性求出，求出零点判断A；确定奇偶性判断B；求出极值点判断C；借助单调性及偶函数性质推理判断D. 【详解】由函数与函数的图象关于y轴对称，得， 对于A，由，得，由，得，则与有相同的零点，A正确； 对于B，，则， 为偶函数，B正确； 对于C，由，求导得，当时，，当，， 函数有唯一极值点，由，求导得，当时，， 当，，函数有唯一极值点，C错误； 对于D，令，函数都是上的增函数， 则是上的增函数，当时，，则， 由为偶函数，得当时，，因此，都有，D正确. 8．BCD 【难度】0.65 【知识点】判断零点所在的区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D． 【详解】由题意，， 对于选项A，易知且，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C正确， 对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增， 因为， ， 所以，使得， 又因为，则，结合选项C，得， 即也是的零点，则，，故，故选项D正确， 故选：BCD. 9．ACD 【难度】0.4 【知识点】反函数的性质应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数对称性的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意作出图象，作出直线与曲线关于轴对称的图象，可发现其与直线及曲线关于直线对称性，则交点也是对称的，从而得到坐标之间的等量关系.利用发现的对称性和等量关系，针对各个选项进行计算即可作出判断. 【详解】根据题意可作出图象，    因为直线与曲线交于， 如图作直线关于轴的对称直线， 作曲线关于轴的对称曲线， 则直线与曲线的交点为. 又因为直线与直线关于直线对称， 曲线与曲线也关于直线对称， 所以点和点分别与点和点关于直线对称， 则有 对于A，， 同理，. 即，所以，故A正确； 对于B，当直线与曲线相切时，设切点为， 则有，解得， 由图象可知，直线与曲线有两个不同的交点，则必有. 故B错误； 对于C，，， 根据对称性可知，， 所以，故C正确； 对于D，若的周长等于的周长的2倍，由A项可得， 即有，由可得， 两边取对数，可得，则，故D正确. 故答案选：ACD. 10． （答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据函数表达式，代入即可求出 的函数值，根据条件，先求出使的一个取值，再证明是的一个对称中心即可. 【详解】因为，所以， 因为定义域为，当时，， 下证是的一个对称中心， 在上任取点，其关于对称的点为， 又， 所以函数的图象的一个对称中心的坐标为， 故答案为：；（答案不唯一） 11． －1 －36 【难度】0.65 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】易得，是的两个零点，由可得，也是的两个零点，代入即可求出；令通过换元将函数转化为二次函数的最值问题即可. 【详解】依题意， 因为， 则，是的两个零点， 又，则，也是的两个零点， 故，则，故； 又，故， 令，则或，故， 对称轴是，故当时，即时，函数取得最小值－36.， 故答案为：-1；-36. 12． 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】令，问题转化为与在上有两个交点，且互为反函数，交点在上，则它们有交点的临界情况为与相切，设切点，利用导数几何意义求切点坐标，进而确定临界情况下的值，即可得出范围. 【详解】由题知， ， 令，， 则与在上有两个交点， 又与互为反函数，且交点在上， 设、与相切时，切点为，， 则，解得， 又，所以， 所以当时，和只有一个交点；        当时，此时图像为，无交点；        当时，此时图像为，有两个交点.    故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了转化思想、导数的几何意义，难点是确定临界值，属于难题. 13．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、求对数函数的解析式、求对数型复合函数的值域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用点的对称性可求得； （2）利用对数函数的单调性可求不等式的解； （3）利用双勾函数的单调性和对数函数的单调性可求的取值范围 【详解】（1）设为图象上任意一点，该点关于对称的点为， 故在的图象上，故即，故. （2）即为，故， 所以，故或. 所以实数的取值范围是. （3）因为，故， 故或， 因为，故不成立，故即. 故，而，故即， 由对勾函数的单调性可得在为减函数， 故的值域为，故的取值范围为， 故的取值范围为即. 14．(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、简单复合函数的导数、利用导数研究不等式恒成立问题、判断或证明函数的对称性 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 15．(1) 点关于的对称点是， 若点在曲线上，即， 所以， 即也在曲线上，故关于直线对称． (2) 固定，设，则， 当时，恒成立，至多只有一个零点； 当时，令，设，则， 在上单调增，在上单调减，在上单调增， 又， 所以有且仅有一根，即对任意实数，关于的方程只有一解，即对任意实数，只有一个与之对应， 互换曲线方程不变，同理可知对任意实数，只有一个与之对应，所以是某个函数图象． (3)． 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质、直线与二次曲线方程及性质、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）只需证明曲线上任一点关于的对称点是也在曲线上即可； （2）判断对任意实数，只有一个与之对应，即关于的方程只有一解，设，只需判断有且仅有一根即可； （3）首先判断出的图象夹在与之间，故．再由与曲线没有交点，且的值即为所求. 【详解】（1）略 （2）略 （3）引理：对于上任意一点，恒有． 证明：设，则， 所以，所以的图象夹在与之间，故． 联立，可得， 当时，， 令，则或， 又， 又，，所以，此时方程无解， 当时，方程也无解， 综上：． 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $