2026年高一上学期初高中数学衔接内容-基础版

初高中数学衔接内容 -基础版 一、因式分解 二、一元二次方程 三、解绝对值不等式 四、集合的概念和表示方法 五、解一元二次不等式 六、解分式不等式 一、因式分解 1.常用公式 （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． （3）立方和公式 ； （4）立方差公式 ； （5）三数和平方公式 ； （6）两数和立方公式 ； （7）两数差立方公式 ． 2.分解因式 ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 例1 分解因式： (1) (2) 解：(1) ． (2) 例2 把分解因式． 解： 例3 把下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 例4 把分解因式. 解： 例5 已知，，求的值． 解： ． 例6 已知，求的值． 解： ， ， 所以= 2、 一元二次方程 1.一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程解的讨论 ①当时，方程有唯一解； ②当，时，方程无解 ③当，时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 2.一元二次方程： (1) 一元二次方程的根的判别式表示为： ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： ②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： ③当时，右端是负数．因此，方程没有实数根． (2) 方程有两根同号 (3) 方程有两根异号 (4) 韦达定理及应用： (5) , ，， 例1 求方程的实数根． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 解：(1)，解得 (2)，解得 (3)，解得 (4)，解得 (5)解得 (6)解得 (7)，解得 例2 已知关于的一元二次方程，根据下列条件， 分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根 ；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 解：一元二次方程， (1)方程有两个不相等的实数根，可得； (2)方程有两个相等的实数根，可得 ； (3)方程有实数根，可得； (4)方程无实数根，可得 ． 例3 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根， 写出方程的实数根． （1）x2－ax－1＝0； （2） x2－ax＋(a－1)＝0； （3）x2－2x＋a＝0． 解：（1）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0， 所以方程一定有两个不等的实数根， ． （2）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以， ①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1； ②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1． （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以 ①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； ②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根． 例4 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 解：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－，∴x1＝－． 由，得 k＝－7． 所以，方程的另一个根为－，k的值为－7． 例5 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零， 求实数a的取值范围． 解：设x1，x2是方程的两根，因为一根大于零、另一根小于零， 所以需要同时满足 x1x2＝a－4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4，由②得 a＜． 所以a的取值范围是a＜4． 例6 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4． ∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21， 即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17． 当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0， 不合题意，舍去． 综上，m＝17． 例7 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求的值； （3）x13＋x23． 解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根， ∴，． （1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2 ＝＝＋6＝， ∴| x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－)×[(－)2－3×()]＝－ 三、解绝对值不等式 ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是 它的相反数，零的绝对值仍是零．即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上数和数之间的距离． ⑶两个绝对值不等式:；或 例 求x的值 ① ② ③ 解：① ② ③ 练习 （1）； （2） （3） （4） （5） （6） 练习答案 （1）由得 （2）由，得，所以 （3）由，得 或 或 所 或 （4）由，所以 （5）由 或 或 所 或 （6）由， 四、集合的概念和表示方法 1.概念 （1）1～10 之间的所有偶数； （2）某中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）方程 的所有实数根； （5）地球上的四大洋。 说明：把每一个研究对象看作元素，全部元素合在一起构成集合。 （1）中，我们把1~10 之间的每一个的偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；（2）中，把每位某中学今年入学的每一位高一学生作为元素，，这些元素的全体也是一个集合。 ①我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。 ②集合三大特性 （1）确定性：给定集合，任意一个元素是否属于该集合是明确的。 例：“1~10 之间的所有偶数” 能构成集合；“较小的数” 无法构成集合，标准模糊、元素不确定。 （2）互异性：同一个集合内的元素互不相同，不会重复出现。 （3）无序性：只要两个集合包含完全一样的元素，就称两个集合相等，与元素排列顺序无关。 ③符号表示规则 集合：大写拉丁字母 元素：小写拉丁字母 属于：若 是集合 的元素，记作 不属于：若 不是集合 的元素，记作 示例：设集合 （1~10 所有偶数），则 。 ④常用数集及记法 集合名称 含义 记号 自然数集（非负整数集） 全体非负整数（0,1,2,3…） 正整数集 全体正整数（1,2,3…） 或 整数集 全体整数（…-2,-1,0,1,2…） 有理数集 全体有理数（整数 + 分数） 实数集 全体实数（有理数 + 无理数） 2.表示方法 （1）列举法 ①定义：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号 { } 括起来表示集合的方法。 “地球上的四大洋”：太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋 方程 的实数根：{} ②使用规范 元素之间用逗号 , 分隔；不重复书写相同元素，遵守互异性； 元素顺序可任意调换；适用场景：元素个数有限、数量较少的集合。 例1 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合. 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么. （2） 设方程所有实数根组成的集合为B，那么. （2）描述法 ①定义：设 是一个集合，把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合，表示为：{}，该表示方法称为描述法。 ②符号拆分解读 ：代表集合中的代表元素；：代表元素 的取值范围； ：分隔符，读作 “满足”； ：元素 需要满足的共同特征条件。 适用场景：元素数量无限、或数量过多无法全部列举的集合。 例2 用适当的方法表示下列集合： （1）二次函数的函数值组成的集合； （2）反比例函数的自变量组成的集合； （3）不等式的解集 解：（1）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为. （2）反比例函数的自变量为x ∴反比例函数的自变量组成的集合为. （3）由，得，∴不等式的解集为. 5、 解一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是，其中 为常数，且 。 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式对应关系 项目 图像 方程 的根 两个不相等实数根 两个相等实数根 无实数根 解集 {} （全体实数） 解集 （空集） （空集） [补充说明：若，先在不等式两边同乘，不等号反向，转化为形式再求解] 例1 求不等式 的解集 解：对于方程 ，因为 ，所以它有两个不等实根， 因式分解得 ，解得 ， 画出二次函数 的图象， 结合图象得不等式的解集是{} 例2 求不等式的解集. 解： 对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得. 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为. 例3 求不等式的解集. 解：不等式可化为. 因为，所以方程无实数根. 画出二次函数的图象，结合图象得不等式解集为. 因此，原不等式的解集为. 练习 （1）（2024春季高考）不等式的解集为（  ） A． B． C． D． （2）（2025春季高考） 解不等式的解集为______． （3）（2026春季高考）不等式的解集为______． （4）不等式解集为______． （5）不等式解集为______． （6）不等式解集为______． （7）不等式解集为______． 练习答案 （1）（2024春季高考）不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 解：由，得，得，故选A （2）（2025春季高考） 解不等式的解集为______． 【答案】 解：，则或， 即该不等式的解集为或. （3）（2026春季高考）不等式的解集为______． 【答案】 解：∵，∴，∴, 即不等式的解集为． （4）不等式解集为______． 【答案】 解：∵，∴， ∴，∴, 即不等式的解集为．故答案： （5） 不等式解集为______ 【答案】 解：∵，∴不等式解集为 （6）不等式解集为______． 【答案】 解：∵，∴不等式解集为 （7）不等式解集为______． 解：∵，∴不等式解集为R 六、解分式不等式 例1 求下列不等式的解集 (1) (2) 解：(1) 解法1 原不等式可化为： 所以不等式的解集是 解法2 原不等式可化为： 所以不等式的解集是 (2)原不等式可化为：，解得， 所以， 所以不等式的解集是 例2 求下列不等式的解集 解：原不等式可化为：，即 即，即，所以，所以 所以不等式的解集是 练习 求下列不等式的解集 (1) (2) (3) 练习答案 (1) 原不等式可化为：，解得， ，所以不等式的解集是 (2) 原不等式可化为：，即 ，所以不等式的解集是 (3)原不等式可化为：，即 即，所以，所以 所以不等式的解集是 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 初高中数学衔接内容 -基础版 一、因式分解 二、一元二次方程 三、解绝对值不等式 四、集合的概念和表示方法 五、解一元二次不等式 六、解分式不等式 一、因式分解 1.常用公式 （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． （3）立方和公式 ； （4）立方差公式 ； （5）三数和平方公式 ； （6）两数和立方公式 ； （7）两数差立方公式 ． 2.分解因式 ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 例1 分解因式： (1) (2) 例2 把分解因式． 例3 把下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 例4 把分解因式. 例5 已知，，求的值． 例6 已知，求的值． 2、 一元二次方程 1.一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程解的讨论 ①当时，方程有唯一解； ②当，时，方程无解 ③当，时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 2.一元二次方程： (1) 一元二次方程的根的判别式表示为： ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： ②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： ③当时，右端是负数．因此，方程没有实数根． (2) 方程有两根同号 (3) 方程有两根异号 (4) 韦达定理及应用： (5) , ，， 例1 求方程的实数根． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 例2 已知关于的一元二次方程，根据下列条件， 分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根 ；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 例3 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根， 写出方程的实数根． （1）x2－ax－1＝0； （2） x2－ax＋(a－1)＝0； （3）x2－2x＋a＝0． 例4 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 例5 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零， 求实数a的取值范围． 例6 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 例7 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求的值； （3）x13＋x23． 三、解绝对值不等式 ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是 它的相反数，零的绝对值仍是零．即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上数和数之间的距离． ⑶两个绝对值不等式:；或 例 求x的值 ① ② ③ 练习 （1）； （2） （3） （4） （5） （6） 四、集合的概念和表示方法 1.概念 （1）1～10 之间的所有偶数； （2）某中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）方程 的所有实数根； （5）地球上的四大洋。 说明：把每一个研究对象看作元素，全部元素合在一起构成集合。 （1）中，我们把1~10 之间的每一个的偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；（2）中，把每位某中学今年入学的每一位高一学生作为元素，，这些元素的全体也是一个集合。 ①我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。 ②集合三大特性 （1）确定性：给定集合，任意一个元素是否属于该集合是明确的。 例：“1~10 之间的所有偶数” 能构成集合；“较小的数” 无法构成集合，标准模糊、元素不确定。 （2）互异性：同一个集合内的元素互不相同，不会重复出现。 （3）无序性：只要两个集合包含完全一样的元素，就称两个集合相等，与元素排列顺序无关。 ③符号表示规则 集合：大写拉丁字母 元素：小写拉丁字母 属于：若 是集合 的元素，记作 不属于：若 不是集合 的元素，记作 示例：设集合 （1~10 所有偶数），则 。 ④常用数集及记法 集合名称 含义 记号 自然数集（非负整数集） 全体非负整数（0,1,2,3…） 正整数集 全体正整数（1,2,3…） 或 整数集 全体整数（…-2,-1,0,1,2…） 有理数集 全体有理数（整数 + 分数） 实数集 全体实数（有理数 + 无理数） 2.表示方法 （1）列举法 ①定义：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号 { } 括起来表示集合的方法。 “地球上的四大洋”：太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋 方程 的实数根：{} ②使用规范 元素之间用逗号 , 分隔；不重复书写相同元素，遵守互异性； 元素顺序可任意调换；适用场景：元素个数有限、数量较少的集合。 例1 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合. （2）描述法 ①定义：设 是一个集合，把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合，表示为：{}，该表示方法称为描述法。 ②符号拆分解读 ：代表集合中的代表元素；：代表元素 的取值范围； ：分隔符，读作 “满足”； ：元素 需要满足的共同特征条件。 适用场景：元素数量无限、或数量过多无法全部列举的集合。 例2 用适当的方法表示下列集合： （1）二次函数的函数值组成的集合； （2）反比例函数的自变量组成的集合； （3）不等式的解集 5、 解一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是，其中 为常数，且 。 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式对应关系 项目 图像 方程 的根 两个不相等实数根 两个相等实数根 无实数根 解集 {} （全体实数） 解集 （空集） （空集） [补充说明：若，先在不等式两边同乘，不等号反向，转化为形式再求解] 例1 求不等式 的解集 例2 求不等式的解集. 例3 求不等式的解集. 练习 （1）（2024春季高考）不等式的解集为（  ） A． B． C． D． （2）（2025春季高考） 解不等式的解集为______． （3）（2026春季高考）不等式的解集为______． （4）不等式解集为______． （5）不等式解集为______． （6）不等式解集为______． （7）不等式解集为______． 六、解分式不等式 例1 求下列不等式的解集 (1) (2) 例2 求下列不等式的解集 练习 求下列不等式的解集 (1) (2) (3) 1 学科网（北京）股份有限公司 $