期末压轴培优训练【正方形经典模型+一次函数与四边形综合】2025-2026学年八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦八下期末压轴，以一线三垂直、半角、十字架等几何模型为核心，通过典例+练习系统提炼旋转、截长补短等解题方法，构建从模型认知到函数综合应用的逻辑链条，发展几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数中的一线三垂直模型|例1+练习2|构造垂直全等，坐标转化|结合坐标系，将几何模型与函数图像性质融合| |正方形中的一线三垂直/截长补短|例（问题提出）+练习2|截取构造全等、作垂线证全等|从特殊菱形到正方形，强化线段关系证明的转化思想| |正方形中的半角模型|例3+练习2|旋转法构造全等三角形|通过旋转实现角与线段的转化，建立EF=BE+DF关系| |正方形中的十字架模型|例4|利用正方形性质证全等、平行四边形判定|结合坐标系动态问题，深化图形性质与函数综合应用|

八下期末压轴专题 题型一：一次函数中的一线三垂直模型 例1．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为 ； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 练习1.（1）基本图形的认识：如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，则是______三角形（填形状）； （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点A在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴正半轴于点D，且，求点D的坐标． 练习2．已知：在平面直角坐标系中，点，且满足． (1)求的值． (2)如图1，若，点在第四象限，与轴交于点，与轴交于点，连接，求点的坐标及点的坐标． (3)如图2，在（2）的条件下，连接．求证：． 题型二：正方形中的一线三垂直模型【或截长补短】 【问题提出】如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数． 方 法 一 在边上截取．易证是等腰直角三角形．接着可以证明，得到，从而可得与的关系． 方 法 二 过点作，垂足为点，易证，从而可得，所以．又，所以是等腰直角三角形，从而可得与的关系． 根据以上方法，直接写出_____； （2）再探究一般情形，如图1，探究与的数量关系； 练习3．王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册88页． 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明如下： 如图①取的中点G，连接， 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点． ∴，∴，∴______． ∵是正方形外角的平分线，∴． 又∵，∴． ∴______，∴（   ）（填写全等的理由）． ∴． (1)请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 (2)如图②，四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 (3)如图③，四边形是正方形，点E是射线上一点，，交正方形外角的平分线于点F．若，，求出的长． 练习4．综合与实践 【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； (1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． (2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 题型三：正方形中的半角模型 例3．如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2．求证：； （2）求出、、之间的关系； 练习5．综合与探究 对于矩形，，，O为平面直角坐标系的原点，，，点B在第三象限． (1)如图①，若过点B的直线与长方形的边交于点P，且将长方形的面积分为1：4两部分，求点P的坐标． (2)点M从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动． ①如图②，当点M移动了3秒时，过点M作于点D，E为的中点，F为线段上一点，且，求F点的坐标； ②如图③，当点M运动4秒时，连，点N是x轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点P，在点N运动的过程中，= ． 练习6．将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 题型四：正方形中的十字架模型 例4．如图1，在平面直角坐标系中，正方形顶点A，C分别在x轴和y轴上，已知，，点，动点D在线段上，且不与O和C重合． (1)求证：； (2)当时，点P在线段上运动时，是等腰三角形，求点P坐标； (3)如图2，过点E作交于点N，能否说明四边形为平行四边形，若能，求出m的值，若不能，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八下期末压轴专题 题型一：一次函数中的一线三垂直模型 例1．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为 ； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1，过点作轴于E．证明推出，，可得； （2）若将直线绕点A顺时针旋转得到，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，由（1）的模型可得，求出，再由待定系数法求函数的解析式； 【详解】（1）解：如图2，过点轴于E， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵等腰，，， 又∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：若将直线绕点A顺时针旋转得到， 如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， 由（1）的模型可得， ∵与x轴的交点，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题． 练习1.（1）基本图形的认识：如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，则是______三角形（填形状）； （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点A在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴正半轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】（1）等腰直角；（2）；（3）或 【分析】（1）证明（），由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）过点作轴于点，证明，从而得到、，则可得到点的坐标； （3）当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点，由一次函数解析式求出，，证明，求出点坐标，求出直线的解析式，则可得出答案．当点D在点B的左侧时，画出图形，用同样的方法求出结果即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角； （2）过点作轴于点，如图，    则：． ∴， ∴−−−． 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：如图，当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点， 把代入中，得， ∴点的坐标为， ∴， 把代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 练习2．已知：在平面直角坐标系中，点，且满足． (1)求的值． (2)如图1，若，点在第四象限，与轴交于点，与轴交于点，连接，求点的坐标及点的坐标． (3)如图2，在（2）的条件下，连接．求证：． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． （1）根据非负性即可求解； （2）根据题意得到，如图所示，过点作轴于点，则，证明得到点C的坐标；运用待定系数法得到直线的解析式，可得到点M的坐标； （3）根据题意得到点是的中点，，如图所示，过点作交x轴于点，则，由平行线的性质得到，可证明，得到，再证明，得到，运用角的等量代换即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得，； （2）解：由（1）得， ∴， 如图所示，过点作轴于点，则， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）证明：在（2）的条件下，点，即， ∴点是的中点， ∴， 如图所示，过点作交x轴于点，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型一：正方形中的一线三垂直模型【或截长补短】 【问题提出】如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数． 方 法 一 在边上截取．易证是等腰直角三角形．接着可以证明，得到，从而可得与的关系． 方 法 二 过点作，垂足为点，易证，从而可得，所以．又，所以是等腰直角三角形，从而可得与的关系． 根据以上方法，直接写出_____； （2）再探究一般情形，如图1，探究与的数量关系； 【答案】（1）45；（2）；（3）20 【分析】本题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． （1）方法一：在上截取，使，连接，先证明得到，再由正方形的性质得到，则，可得到，则，进而得到． 方法二：延长，过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． 【详解】解：方法一：在上截取，使，连接． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是正方形， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 方法二：延长过点F作， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45； （2）在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴ 练习3．王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册88页． 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明如下： 如图①取的中点G，连接， 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点． ∴，∴，∴______． ∵是正方形外角的平分线，∴． 又∵，∴． ∴______，∴（   ）（填写全等的理由）． ∴． (1)请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 (2)如图②，四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 (3)如图③，四边形是正方形，点E是射线上一点，，交正方形外角的平分线于点F．若，，求出的长． 【答案】(1)，，； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形外角的性质等内容．解题的关键是熟练掌握相关性质，结合题意，作出辅助线，构造出全等三角形． （1）根据题意，结合上下文，先根据正方形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，根据三角形外角的性质可得，得到，即可求解； （2）在上取一点，使得，连接，根据正方形的性质可得，，根据（1）的思路，证明，即可求解； （3）由点E是射线上一点分两种情况讨论，当点可以在边上，由（2）可得，勾股定理求解即可；当点E在的延长线上时，构造全等三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图①取的中点G，连接， 在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点． ∴， ∴， ∴, ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 在上取一点，使得，连接，如图， 在正方形中，，， ∴，， ∴， ∵CF是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴． （3）解：∵点E是射线上一点， ∴点可以在边上，也可以在的延长线上， 当点可以在边上，如下图： 由（2）可得，， 由题意可得，，， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时， 在延长线上取一点，使得，连接，如下图： 由题意可得，，， ∴，， ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得，， 由勾股定理可得，． 练习4．综合与实践 【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； (1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． (2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 【答案】(1) 解：AE＝EP， 理由如下：取AB的中点F，连接EF， ∵F、E分别为AB、BC的中点， ∴AF＝BF＝BE＝CE， ∴∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∵CP平分∠DCG， ∴∠DCP＝45°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠AFE＝∠ECP， ∵AE⊥PE， ∴∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEC＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠PEC＝∠BAE， ∴△AFE≌△ECP（ASA）， ∴AE＝EP； (2) (3) 【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC＝∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE＝EP； （2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，则△FAE≌△CEP（SAS），再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在AB上取AF＝EC，连接EF， 由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE， ∵AF＝EC，AE＝EP， ∴△FAE≌△CEP（SAS）， ∴∠ECP＝∠AFE， ∵AF＝EC，AB＝BC， ∴BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠DCP＝45°； （3）解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG， 由（2）知，∠DCP＝45°， ∴∠CDG＝45°， ∴△DCG是等腰直角三角形， ∴点D与G关于CP对称， ∴AP+DP的最小值为AG的长， ∵AB＝4， ∴BG＝8， 由勾股定理得AG＝， ∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型三：正方形中的半角模型 例3．如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2．求证：； （2）求出、、之间的关系； 【答案】(1)见解析；（2） 【分析】（1）利用旋转的性质，证明，（2）根据全等三角形的性质得，等量代换，即可证明； 【详解】（1）证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， （2）解： 由①得， ， ， ； 练习5．综合与探究 对于矩形，，，O为平面直角坐标系的原点，，，点B在第三象限． (1)如图①，若过点B的直线与长方形的边交于点P，且将长方形的面积分为1：4两部分，求点P的坐标． (2)点M从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动． ①如图②，当点M移动了3秒时，过点M作于点D，E为的中点，F为线段上一点，且，求F点的坐标； ②如图③，当点M运动4秒时，连，点N是x轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点P，在点N运动的过程中，= ． 【答案】(1)或； (2)① ， ② 【分析】(1) 分类讨论点的位置，当点在上时，利用的面积等于矩形面积的列方程求解；当点在上时，利用的面积等于矩形面积的列方程求解． (2) ① 利用矩形性质证明四边形为正方形，通过截长补短构造全等三角形，将转化为两次全等，最后用勾股定理建立方程求出点的坐标． ② 利用得等腰三角形，结合平行线性质和角平分线定义，通过角度代换证明，从而得出比值为． 【详解】（1）解： 四边形为矩形，，，点在第三象限， ，，， ，， ， 直线将矩形面积分为1:4两部分， 较小部分面积为． ①当点在上时，设，其中， ， ， 解得：， ． ②当点在上时，设，其中， ， ， 解得：， ． 综上所述，点的坐标为或． （2）①解：当点移动了秒时，， ， 于点， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，． 在射线上截取，连接， ，， ， ，． ，， ， ，即， ． 又，， ， ． 为的中点，， ． 设，其中， 则， ， ． 在中，， ， 解得：， ． ②解：．理由如下： 延长至点，过点作交于点， 当点运动秒时，， 在中，， ， ， ． 四边形为矩形， ， ，， ． ， ，． 平分， ． ， ， ． 练习6．将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 【答案】(1)（6，6）；（3，0） (2)①详见解析；②详见解析；③； (3)6 【分析】（1）由算术平方根的意义可得出，则可得出答案； （2）①取的中点K，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出； ②延长，并在延长线上截取，连接，证明（），由全等三角形的性质得出，证明（），可得，即可得到平分； ③由全等三角形的性质可得，同理可得，设，则，由勾股定理得出，解得，则可求出答案； （3）由可证，可得，则，即当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数a，b使式子， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6，6，3，0； （2）①证明：取的中点K，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，K为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②证明：延长，并在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴（）， ∴， 由①知， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴（）， ∴， ∴平分； ③∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∴； （3）在上截取，连接， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型四：正方形中的十字架模型 例4．如图1，在平面直角坐标系中，正方形顶点A，C分别在x轴和y轴上，已知，，点，动点D在线段上，且不与O和C重合． (1)求证：； (2)当时，点P在线段上运动时，是等腰三角形，求点P坐标； (3)如图2，过点E作交于点N，能否说明四边形为平行四边形，若能，求出m的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或； (3)四边形不能为平行四边形，见解析 【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，根据题意进行分类讨论，作出图形依次分析是解题关键． （1）根据正方形的性质及各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，分三种情况分析：当时，当时，当时，作出相应图形即辅助线，利用勾股定理求解即可； （3）根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质确定，结合平行四边形的性质得出，整理求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 是等腰三角形， 当时，点P为的垂直平分线与的交点， ∵， ∴这种情况不存在； 当时，过点P作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴即， 解得：， ∴， ∴； 当时，过点P作，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； 综上可得：或； （3）四边形不能为平行四边形，理由如下： 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， 解得：， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 整理得：， 解得：， 当时，点D与点C重合，与题意矛盾， ∴四边形不能为平行四边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $