2.1.1 认识实数-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“认识实数”核心知识点，通过复习有理数分类导入，结合剪拼正方形、勾股定理应用等活动，从有理数自然过渡到无理数，搭建认知支架引导学生发现非有理数的存在。 其亮点是以动手操作和问题链驱动教学，通过剪拼活动培养几何直观（数学眼光），用计算器探索取值范围发展推理意识（数学思维），结合实际应用题提升应用意识（数学语言）。助力学生形成抽象能力和创新意识，也为教师提供探究式教学的清晰流程。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 2.1.1 认识实数 第二章 实数 北师大版八年级上册1.3 勾股定理的应用 练习题 本节核心考点：勾股定理的应用是本章重难点，核心是将生活实际问题、立体图形问题、折叠最短路径问题转化为平面直角三角形模型。常见题型：梯子滑动问题、航海测距问题、立体图形最短路径、折叠求边长、不规则图形边长与面积计算。解题核心思想：化曲为直、化繁为简、构造Rt△。 解题步骤：1. 根据题意构造直角三角形；2. 确定已知边长、未知边长；3. 利用$$a^2+b^2=c^2$$列算式求解；4. 结合实际情况取舍结果。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形两直角边为9、12，则斜边长为________。 2. 一架梯子长13m，底端距墙5m，则梯子顶端距离地面________m。 3. 长方体立体最短路径问题，解题方法是将立体侧面________，转化为平面直角三角形求解。 4. 池塘边两点A、B，在岸边取一点C，∠C=90°，AC=6m，BC=8m，则AB=________m。 5. 折叠问题中，折叠前后对应线段________，常结合勾股定理列方程求未知边长。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 一棵大树在离地面6m处折断，树顶落在离树根8m处，则大树折断前高度为（） A. 10m B. 14m C. 16m D. 18m 2. 一艘船从港口出发，向正东航行9km，再向正北航行12km，此时距离港口直线距离为（） A. 15km B. 21km C. 13km D. 16km 3. 无盖长方体盒子长8cm、宽6cm、高4cm，蚂蚁从底面一角到顶面对角最短路径长为（） A. 10cm B. 12cm C. 14cm D. 16cm 4. 梯子斜靠墙上，梯子长度不变，底端向外滑动，顶端会（） A. 上升 B. 下降 C. 不变 D. 无法确定 5. 长方形纸片长12、宽5，沿对角线折叠，折叠后重合部分边长计算主要依靠（） A. 等式性质 B. 勾股定理 C. 平移性质 D. 对称性质 三、应用题与解答题（共60分） 1.（15分）墙面竖直，一架长10m的梯子斜靠在墙上，此时梯子底端离墙6m。若梯子顶端下滑2m，请问梯子底端向外滑动多少米？ 2.（15分）有一个池塘，水面为水平平面，池塘两端为A、B。在岸边取一点C，使∠ACB=90°，测得AC=15m，BC=8m，求池塘两端A、B的直线距离。 3.（15分）一个圆柱高12cm，底面周长18cm，蚂蚁从圆柱底面一点绕侧面爬到顶端对应点，求蚂蚁爬行的最短路径长度。 4.（15分）长方形ABCD中，AB=8，BC=6，将长方形沿对角线BD折叠，求折叠后重合部分三角形的边长。 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. 15 2. 12 3. 展开铺平 4. 10 5. 相等 选择题答案 1.B 2.A 3.A 4.B 5.B 解答题详细解析 1. 解：初始状态：梯子长10m，底端距墙6m，由勾股定理得顶端高：$$\sqrt{10^2-6^2}=8\mathrm{m}$$。顶端下滑2m，新高度为$$8-2=6\mathrm{m}$$。此时底端距墙：$$\sqrt{10^2-6^2}=8\mathrm{m}$$。滑动距离：$$8-6=2\mathrm{m}$$。答：底端向外滑动2米。 2. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15m，BC=8m。由勾股定理：$$AB=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\mathrm{m}$$。答：池塘两端直线距离为17米。 3. 解：将圆柱侧面展开为长方形，长方形长为底面周长18cm，高为圆柱高12cm。最短路径为展开图对角线长：$$\sqrt{(\frac{18}{2})^2+12^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\mathrm{cm}$$。答：最短路径长15cm。 4. 解：长方形边长AB=8，AD=BC=6，BD为对角线，$$BD=\sqrt{8^2+6^2}=10$$。由折叠性质得对应角相等，可证重合部分为等腰三角形，设未知边长结合勾股定理列方程，可求出重合三角形三边长为6、6.25、7.55（过程略），核心方法为利用折叠等线段+勾股定理方程思想解题。 五、解题技巧与易错总结 1. 立体图形最短路径：先展开、再找直角、最后算斜边，展开方式不唯一时需对比最短距离； 2. 梯子滑动、航海问题：始终锁定直角三角形，梯子长度、直线距离永远是斜边； 3. 折叠问题必用方程思想：设未知边长为x，用含x的式子表示三边，列勾股定理方程求解； 4. 实际问题结果必须为正数，需要结合生活实际舍去负数解。 复习导入 有理数进行分类： 正整数 零 负整数 正分数 负分数 有理数 分数 整数 有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？ 活动1 请大家以四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形. 探究点一：无理数的概念及认识 1 1 拼接前后两个图形的面积保持不变. 思考 (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件? (3)b是有理数吗? (1)两条直角边分别为 1 和 2， 根据勾股定理，得 12 + 22 = 5， 所以该正方形的面积是 5. 知识点 不是有理数的数 5 思考 (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件? (3)b是有理数吗? (2) b2 = 5. (3) ① 因为22=4，32=9，4<5<9， 所以b不可能是整数. ② 没有最简分数的平方是 5，故b不可能是分数. 知识点 不是有理数的数 6 在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数. 知识点 不是有理数的数 a2=2 b2 = 5 7 （1）如图，这3个正方形的边长之间有怎样的大小 关系呢？ 1 1 a a 2 2 面积 为2 1＜a ＜2 知识点 不是有理数的数 （2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。 思考 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ 8 （3）小明将他的探索过程整理如下： 边长a 面积S 1<a<2 1<S<4 1.96<S<2.25 1.988 1<S<2.016 4 1.999 396<S<2.002 225 1.999 961 64<S<2.000 244 49 知识点 不是有理数的数 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415 1.414 2<a<1.414 3 a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4 9 还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗？ 能无限进行下去，所以a不可能是有限小数. 知识点 不是有理数的数 10 (4)面积为5的正方形的边长b的值是多少?b可能是有限小数吗? 利用刚刚的方法可以算得：b=2.236067978…， 它不是有限小数. 知识点 不是有理数的数 11 事实上，a=1.414 213 56…，b=2.236 067 977…，它们都不是有理数，都是无限不循环小数. 知识点 不是有理数的数 12 例1 如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能分数吗？ A C D 2 h 解：因为h²=2²-1²=3， 所以h不可能是整数，也不可能是分数. 知识点 不是有理数的数 13 1. 是一个( ) D A. 有限小数 B. 循环小数 C. 无限循环小数 D. 无限不循环小数 2. 某中学实践教育基地有一块正方形菜地，该菜地的面积是 ，现决定把此正方形菜地的边长增加 ，则新的正方 形菜地的边长范围是( ) B A. 与之间 B. 与 之间 C. 与之间 D. 与 之间 返回 中考考法 14 3. 若，根据下表估计 的值为_____ （精确到0. 1）. 28.4 28.5 28.6 28.7 806.56 812.25 817.96 823.69 28.6 4. 教材P25思考·交流 面积为 的圆，它的半径 的 整数部分是___，十分位是___，百分位是___，千分位是___. 4 1 2 3 返回 中考考法 15 5.［2025温州期中］如图，每个小正方形的边 长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1. （1）图中阴影部分的面积是多少？ 【解】 . （2）估计阴影部分正方形的边长的值在哪两个整数之间. 因为 ,所以边长的值在3与4之间. 返回 中考考法 16 6. 若正方体的体积为9，则棱长 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 7. ［2025成都青羊区期中］ 如图所示，数轴上的点 所表 示的数为，则数 为( ) B A. 有理数 B. 不循环小数 C. D. 不存在 返回 中考考法 17 8. 为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少 年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，某校 举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动.小芳制作了一张面积 为 的正方形贺卡.现有一个长方形信封，长、宽之比 为，面积为 ，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此 信封吗？请通过计算说明你的判断. 中考考法 18 【解】因为正方形贺卡的面积为 ， 所以正方形贺卡的边长为 . 设长方形信封的长为，宽为 . 因为长方形信封的面积为 ， 所以.所以 . 所以.所以 .所以小芳能将这张贺卡不 折叠就放入此信封. 返回 中考考法 19 不是有理数的数 借助计算器探索不是有理数的数的取值范围 不是有理数的数的存在 课堂小结 $