29．1　圆的有关概念 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦圆的有关概念及过三点的圆，通过铅球投掷区形状、车轮设计等生活实例置疑激趣，从圆的定义、弦弧等概念到点与圆位置关系，再到过三点作圆的探究，构建连贯知识支架。 以生活情境导入激发兴趣，如破损圆镜修复引导探究过三点作圆，结合动手操作与小组讨论，培养几何直观与推理意识，例题覆盖命题热点，助力学生理解应用，为教师提供完整教学资源，提升课堂效率与学生探究能力。

29．1　圆的有关概念 29．1.1　圆的有关概念 教师备课　素材示例 ●置疑导入　(1)向学生展示我国女子铅球运动员的照片及其比赛场景，提出问题：铅球比赛投掷区是什么形状的？ (2)在新建成的操场上，你会利用标枪和绳子设计铅球比赛场地投掷区吗？ 【教学与建议】教学：讲解用绳子画圆的方法．建议：让学生先在操场动手操作. ●悬念激趣　现实生活中，路上行驶的各种车辆都是圆形的轮子，为什么要把轮子做成圆形的？为什么不能做成三角形、四边形或椭圆形呢？ 　　　　 【备注】引导学生进行如下分析：如图②，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，因为正方形的中心(对角线的交点)距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是固定不变的，因此坐车的人会感觉到不平稳． 【教学与建议】教学：由生活中车轮为什么做成圆形这一问题，得出圆的概念．建议：学生分组讨论车轮为什么做成圆形． 命题角度1　圆的有关概念 一般直接考查弦、直径、弧、半圆、等弧等． 【例1】(1)如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点P是OB上的任一点(不包括O，B两点)，CD，EF是过点P的两条弦，则图中的弦有__AB，CD，EF__，以点B为端点的劣弧有__，，，__． (2)有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆．其中正确的是__②③__．(填序号) 命题角度2　判断点和圆的位置关系 在判断点和圆的位置关系时，只需比较点到圆心的距离d与半径r的大小即可． 【例2】(1)已知⊙O的半径为6 cm，若OP＝5 cm，则点P与⊙O的位置关系是 (C) A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定 (2)若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为 (A) A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不确定 命题角度3　利用圆的特点进行计算和推理 利用圆的半径和直径特点解决相关几何问题． 【例3】(1)如图，已知∠AOB＝60°，AB＝1 cm，则⊙O的直径为__2__cm. 　　　 (2)如图，在以原点为圆心，2为半径的⊙O上有一点C，∠COA＝45°，则点C的坐标为 (C) A．(，) B．(，－) C．(－，) D．(－，－) 高效课堂　教学设计 1．理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念． 2．弄清点和圆的三种位置关系及数量间的关系． 3．能初步应用“同圆的半径相等”及“圆心是任一直径的中点”进行简单的证明和计算． ▲重点 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解． ▲难点 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系． ◆活动1　新课导入 1．你能说出生活中的圆形实例吗？(至少三个) 答：生活中的圆形实例有：光盘、铁饼、硬币等． 2．为什么人们把车轮做成圆的呢？ 答：圆有这样一个特性：圆心到圆周上任意一点的距离都是相等的，这个相等的距离，叫作半径．因此，人们把车轮做成圆形的，并使车轴通过圆心，当车轮在地面上滚动时，车轴离开地面的距离就总是等于车轮半径那么长，这样行驶起来才会平稳． ◆活动2　探究新知 1．教材P114　内容． 提出问题： (1)圆是生活中常见的图形，你还能说出其他除课本上以外的圆形实例吗？ (2)请同学们在草稿纸上画圆，体验圆的形成过程．大家画的圆的位置和大小一样吗？圆的位置和大小分别由什么决定？ (3)动手量一量，圆上任意一点到圆心的距离相等吗？为什么？ (4)反过来，平面内到圆心的距离等于半径长的点都在圆上吗？ 学生完成并交流展示． 2．教材P115　内容． 提出问题： (1)请测量图29.1－4中OA，OB，OC的长度，并比较它们的大小； (2)如何判断点与圆的位置关系，需要比较什么？ 学生完成并交流展示． 3．教材P116　练习以上内容． 提出问题： (1)弦、弧、优弧、劣弧的概念是什么？ (2)等圆、等弧呢？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆．其固定的端点O叫作__圆心__，线段OP叫作__半径__． 2．以点O为圆心的圆，记作__⊙O__，读作“__圆O__”． 3．圆的新定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 4．设⊙O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d>r__；点P在圆上⇔__d＝r__；点P在圆内⇔__d<r__． 5．与圆有关的概念： (1)连接圆上任意两点的线段叫作__弦__，如图，线段AC，AB； (2)经过圆心的弦叫作__直径__，如图，线段AB； (3)圆上任意两点间的部分叫作__圆弧__，简称__弧__，以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作__半圆__，大于半圆的弧(用三个点表示，如图中的)叫作__优弧__，小于半圆的弧(如图中的)叫作__劣弧__． 6．能够__重合__的两个圆叫作等圆．容易看出：同圆或等圆的半径相等；反过来，__半径__相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够__互相重合__的弧叫作等弧． ◆活动4　例题与练习 例1　如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆． 解：A，B，C，D四个点在同一个圆上．连接BD，取BD的中点O，连接OA，OC. ∵∠DAB＝∠DCB＝90°， ∴OA＝OC＝BD，即OA＝OB＝OC＝OD. ∴A，B，C，D四个点在以BD的中点为圆心，BD长的一半为半径的圆上．画图略． 例2　 如图，以点O为圆心的圆记作__⊙O__，圆中有__2__条直径，记作__直径AC，BD__；圆中有__4__条弦，记作弦__AB，AD，AC，BD__；圆中劣弧有__4__条，记作__，，，__；圆中以点B为一个端点的优弧有__2__条，记作__，__． 例3　如图，在⊙O中，AB是直径，C，D，E三点分别在⊙O上，则： (1)OC__＝__OD__＝__OE； (2)__<__，__＝__； (3)弦CD所对的弧有__，__． 练习 1．教材P116　练习第1，2，3，4题． 2．下列说法中，正确的是 (　C　) 　A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 　B．长度相等的两条弧是等弧 　C．正多边形一定是轴对称图形 　D．三角形的外心到三角形各边的距离相等 3．如图，CD是⊙O的直径，E为⊙O上一点，∠EOD＝48°，A为DC延长线上一点，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数为__16°__． ◆活动5　课堂小结 1．圆的定义及表示法． 2．点与圆的三种位置关系． 3．弦、弧、等圆、等弧的概念． 4．圆的有关概念及运用． 1．作业布置 (1)教材P119～120　习题29.1第1，2，3，4题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 29.1.2　过三点的圆 教师备课　素材示例 ●情境导入　展示破损圆形镜子图片，提问：“家里的圆形镜子摔碎了，只留下一块带圆弧的碎片，想配一块和原来一样大的新镜子，该怎么确定圆心和半径呢？” 引导思考：要画一个和原镜子一样的圆，关键是找到圆心和半径，而镜子的圆弧上有无数个点，能不能通过这些点来确定圆？ 【教学与建议】教学：用生活中的“圆镜修复”创设悬念，让学生感受数学与生活的联系，激发探究欲．建议：可让学生先大胆猜想“需要几个点才能确定一个圆”，带着猜想进入新课学习． ●探究导入　探究1：过一个点作圆 问题1：经过一个点A，能作圆吗？能作多少个？ 学生活动：用圆规在草稿纸上尝试作图，小组讨论． 引导归纳：画圆需要确定圆心和半径，以点A外任意一点为圆心，以该点到A的距离为半径，就能画圆． 初步结论：经过一个点能作无数个圆． 探究2：过两个点作圆 问题2：经过两个点A，B，能作圆吗？圆心有什么特点？ 学生活动：回忆“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，尝试作线段AB的垂直平分线，在平分线上取点作圆． 引导归纳：经过A，B的圆，圆心到A，B的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上． 初步结论：经过两个点能作无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上． 探究3：过三个点作圆 问题3：经过三个点A，B，C(不在同一直线上)，能作圆吗？怎么确定圆心？ 学生活动：思考圆心需同时到A，B，C三点的距离相等，既要在AB的垂直平分线上，又要在BC的垂直平分线上． 初步猜想：两条垂直平分线的交点就是圆心，这样的圆有且只有一个． 【教学与建议】教学：以旧知为起点，通过“反向思考”层层设问，让学生经历“观察—猜想—归纳”的过程，自然过渡到新课，符合知识迁移规律．建议：让学生先在草稿纸上简单画一画“过1个点、2个点的圆”，直观感受“无数个圆”的特点；对于“过三点作圆”，可先让学生大胆猜想，再通过作图验证，培养逻辑推理能力． 命题角度1　不在同一直线上的三个点确定一个圆 题型主要有两种，一是已知不在同一直线上的三点绘制一个圆；二是已知三角形求它的外接圆半径． 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了(如图)，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是 (A) A．① B．② C．③ D．④ 命题角度2　三角形的外接圆与外心 根据三角形外接圆的定义确定三角形的外心，利用外心是三角形三边垂直平分线的交点解决线段、角度相等问题． 【例2】 (1)如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是 (C) A．点E B．点F C．点G D．点H (2)如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD⊥AB于点D.若CD＝3，AC＝6，则BC的长为__5__． 命题角度3　反证法 这类题目一般只考查假设的第一步．反证法证明一般有三个步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)推理得出矛盾；(3)肯定原命题的结论成立． 【例3】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是__点在圆上或圆内__． 欧几里得喜爱的证法 英国著名的数学家哈代说过：“欧几里得所喜爱的间接法(反证法)是数学最好的武器之一，它比象棋中任何的‘丢卒保车’走法都高明．因为一个棋手提供牺牲的只是一兵一卒，而一个数学家提供的是整个求证的目标．”反证法是一种间接证法，它可以分为两种：如果所要证明的结论，它的反面只有一种情况就叫归谬法；如果结论的反面有两种以上情况就叫穷举法． 高效课堂　教学设计 1．探究过点画圆的过程，掌握过不在同一条直线上三点画圆的方法． 2．了解运用反证法证明命题的思想方法． ▲重点 过不在同一条直线上的三点作圆． ▲难点 探究过三点作圆的过程，明白过同一条直线上的三点不能作圆的道理． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆活动1　新课导入 1．圆的大小由__半径__确定；位置由__圆心__确定． 2．线段垂直平分线上的点到线段两个__端点__的距离__相等__． 3．到线段两端点的距离相等的点在线段的__垂直平分线__上． ◆活动2　探究新知 1．教材P117　探究． 提出问题： (1)作圆，使圆经过两个已知点A，B，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ (2)作圆，使该圆经过三个已知点A，B，C(其中A，B，C三点不在同一条直线上)，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？ (3)探究锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外心的位置． 学生完成并交流展示． 2．教材P118　思考及以下内容． 提出问题： (1)经过不在同一条直线上的三点A，B，C作⊙O，圆心O如何确定？请作出该圆． (2)请用反证法证明：经过不在同一条直线上的三点能作出一个圆． (3)总结用反证法证明的步骤． 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆，它们的圆心在__线段_AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一__个圆． 2．经过三角形的__三个顶点__可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的__垂直平分线__的交点，叫作这个三角形的外心． 锐角三角形的外心在三角形__内部__；直角三角形的外心是三角形__斜边的中点__；钝角三角形的外心在三角形__外部__；任意三角形的外接圆有__一__个，而一个圆的内接三角形有__无数__个． 3．用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；③由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立． ◆活动4　例题与练习 例1　 如图所示的是残缺的圆形轮片，如何找此残片所在的圆的圆心．(不写作法，保留作图痕迹) 解：在弧上任意找两条弦，分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆心．图略． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°. 证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°. 练习 教材P118　练习第1，2题． ◆活动5　课堂小结 三角形外接圆及三角形的外心的概念． 1．作业布置 (1)教材P120　习题29.1第5，6题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $