2025-2026学年 人教版八年级数学下册期末模拟卷（二）（长沙专用）

**基本信息** 本卷聚焦八年级下册核心知识，通过冬奥会调查、古典园林窗型等真实情境，融合几何直观、数据意识与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数图像、多边形外角、方差稳定性|第1题函数图像辨析（抽象能力），第4题方差应用（数据意识）| |填空题|6/18|三角函数、正五边形外角、箱线图分位数|第12题古典园林窗型外角计算（文化传承），第13题箱线图分位数（数据观念）| |解答题|9/72|统计分析、几何证明、新定义探究|20题冬奥会成绩统计（数据意识），25题“神奇四边形”新定义探究（创新意识）|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．一个多边形的每个外角为，那么这个多边形边数为（     ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．有甲，乙，丙，丁四台机床生产一种直径为的圆柱形零件，从各自生产的零件中任意抽取10件进行检测，得出四台机床生产的零件直径的平均数均为，方差如下表： 机床型号 甲 乙 丙 丁 方差 0.012 0.020 0.015 0.102 则这四台机床生产的零件直径最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．若函数是关于x的正比例函数，则（     ） A． B． C． D． 6．如图是一个长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的顶点A处沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它须爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 7．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 8．如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（     ） A．4 B． C． D．8 10．如图，正方形边长为20，点为正方形对角线上任一点，过点作于点，作于点，连接，．给出以下4个结论： ①；②；③的最小值是；④若时，则的长度为．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则______． 12．中国古典园林里面的窗型丰富多样，如图是某园林的窗外轮廓示意图，为正五边形，则其中一个外角的度数为______． 13．如图，在“魅力篮球节”活动中，6位同学各投篮10次，进球数绘制成的箱线图如图所示，则这6位同学投篮进球数的第三四分位数为______次． 14．如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，将沿直线翻折到矩形所在平面内，得到，点B的对应点F恰好落在边上，连接交于点H，连接，则线段的长为______________． 15．a、b分别是的整数部分和小数部分，则的值为_________． 16．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则，其中正确的是______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点到电线杆底部的距离为，求钢索的长度． 18．（6分）计算： (1) (2) 19．（6分）已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B． (1)求点A、B的坐标； (2)求的面积． 20．（8分）在年第届冬季奥林匹克运动会上，我国冰雪健儿勇夺枚金牌、枚银牌、枚铜牌，共枚奖牌，取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．为此，某学校为调查九年级学生对“冬奥会”知识的了解情况，进行了相关测试（百分制），从两班各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理和分析．成绩得分用表示，共分成四组： A．． B．．C．．D．． 下面给出了部分信息： 信息一：九年级（1）班名学生的成绩是96，80，96，86，99，98，94，100，89，82； 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是94，90，92． 信息二：九年级（2）班抽取的学生成绩扇形统计图： 信息三：九年级两个班抽取的学生的部分统计量： 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 96 47.4 九年级（2）班 92 94 100 50.4 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出上述，的值：________，________； (2)九年级两个班共有名学生参加了此次测试，估计两班参加此次测试成绩优秀（）的学生总人数是多少？ (3)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的测试，你认为学校会选派哪一个班级？请说明理由． 21．（8分）如图，在平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 22．（9分）如图，四边形是某公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的北偏东方向，相距900米，点在点的东北方向，也在点的正东方向，点在点的南偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） (1)求，之间的距离（结果保留根号）； (2)若小明沿跑步，小江沿散步，两人同时出发，已知小明跑步的速度为150米/分钟，小江步行的速度为60米/分钟．则小明出发多久后，小江到点的距离是小明到点的距离的两倍．（结果保留小数点后一位） 23．（9分）如图，在中，，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，请求出四边形的面积． 24．（10分）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B． (1)求点A、B的坐标； (2)点C是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点C作轴于点D，作轴于点E，设点C的横坐标为m．用含m的代数式表示矩形的周长，是否存在m，使得周长为17？若存在，求出对应的m值；若不存在，说明理由． (3)当点C是线段中点时，点P是x轴上的一个动点，点Q是直线上的一个动点，是否存在点P、Q，使得以C、O、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（10分）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中是“神奇四边形”的是________（填序号） (2)如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点，，，分别是，，，的中点，试判断四边形是不是“神奇四边形”，并说明理由； (3)如图3，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，连接．若，正方形的边长为6，则线段长为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，A，C，D表示是的函数，不符合题意； 选项B的图象，给一个x值，y可能有2个值与之对应，不能表示y是x的函数，故B符合题意． 2．一个多边形的每个外角为，那么这个多边形边数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵任意多边形的外角和为固定值，该多边形每个外角为， ∴边数． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的基本运算，根据二次根式的加减，乘法法则和完全平方公式，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，无法合并，，A错误； 选项B：，，，B错误； 选项C：，，C错误； 选项D：根据二次根式乘法法则，，D正确． 4．有甲，乙，丙，丁四台机床生产一种直径为的圆柱形零件，从各自生产的零件中任意抽取10件进行检测，得出四台机床生产的零件直径的平均数均为，方差如下表： 机床型号 甲 乙 丙 丁 方差 0.012 0.020 0.015 0.102 则这四台机床生产的零件直径最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】平均数相同时，方差越小，数据波动越小，生产的零件尺寸越稳定，只需比较四台机床的方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵四台机床生产零件直径的平均数相同， 又，甲的方差最小， ∴甲机床生产的零件直径波动最小，最稳定． 5．若函数是关于x的正比例函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴， ∴． 6．如图是一个长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的顶点A处沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它须爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分三种情况展开，将A和B放在同一平面内，根据两点之间线段最短和勾股定理可求得的长度，取最小值即可． 【详解】解：第一种情况：     则这个长方形的长和宽分别是9和4， ∴； 第二种情况：     则这个长方形的长和宽分别是7和6， ∴； 第三种情况：     则这个长方形的长和宽分别是10和3， ∴， 由于 综上所述，此时爬行路径最短为． 7．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定的运算规则分别计算，，然后得出，再通过二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 8．如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离，根据的面积求出即可． 【详解】解：由题意得米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，． ∴（平方米）． 过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离． ∵， ∴， ∴米， ∴最近的距离是米． 9．菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（     ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】由作图可知，为的中点，根据菱形的性质，斜边上的中线，推出为等边三角形，进而得到即可. 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由作图可知，为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 10．如图，正方形边长为20，点为正方形对角线上任一点，过点作于点，作于点，连接，．给出以下4个结论： ①；②；③的最小值是；④若时，则的长度为．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接，根据正方形的性质，易证△，得，再证明四边形是矩形，可得，即可判断①选项；根据全等三角形的性质以及矩形的性质即可判断②选项；根据垂线段最短，可求出的最小值，再根据，即可判断③选项；作于点，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，，再证明△是等腰直角三角形，可得，再根据列方程，求出，进一步即可求出和的值． 【详解】解：连接，如图所示： 在正方形中，，，， 又， △△， ， ，，且， 四边形为矩形， ， ， 故①选项符合题意； △△， △的面积△的面积， 在矩形中，△的面积△的面积， ， 故②选项符合题意； 正方形的边长为20， ， 根据勾股定理，得， 当时，的值最小，此时为的中点， ， 的最小值为， 故③选项不符合题意； 过点作于点， 则， ， ， 设，则， 根据勾股定理，得， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 故④选项符合题意， 综上，正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的综合，涉及全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，证明是解题的关键，本题综合性较强，难度较大． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 12．中国古典园林里面的窗型丰富多样，如图是某园林的窗外轮廓示意图，为正五边形，则其中一个外角的度数为______． 【答案】 /72度 【分析】由正五边形的外角和为，结合正五边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：正五边形的外角和为，正五边形的每一个外角都相等， 它的一个外角的度数为． 13．如图，在“魅力篮球节”活动中，6位同学各投篮10次，进球数绘制成的箱线图如图所示，则这6位同学投篮进球数的第三四分位数为______次． 【答案】9 【详解】解：根据箱线图可得：矩形盒子右边框表示第三四分位数， ∴这6位同学投篮进球数的第三四分位数为次． 14．如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，将沿直线翻折到矩形所在平面内，得到，点B的对应点F恰好落在边上，连接交于点H，连接，则线段的长为______________． 【答案】 【分析】由矩形和折叠可得，，，再根据勾股定理可得，，最后利用直角三角形斜边中线求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 折叠， ，， 在中，， ， 在中，， 点是的中点， ． 15．a、b分别是的整数部分和小数部分，则的值为_________． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，得到的整数部分和小数部分，再代入，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ ． 16．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则，其中正确的是______． 【答案】①③ 【分析】根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． ∴． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， ∴． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④、是直线上不重合的两点， 由的图象可知， 当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点到电线杆底部的距离为，求钢索的长度． 【答案】钢索的长度为 【分析】本题是勾股定理的实际应用，电线杆垂直地面，可构成直角三角形，已知两条直角边的长度，利用勾股定理即可求出钢索的长度． 【详解】解：由题意得， 钢索的长度为 答：钢索的长度为． 18．（6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（6分）已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B． (1)求点A、B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入一次函数解析式，即可求出A、B两点的坐标； （2）由A、B坐标得到的两条直角边的长度，代入直角三角形面积公式即可求出面积． 【详解】（1）解：已知一次函数解析式为， 当时，代入得 解得 当时，代入得 （2）解：由（1）得，， ． 20．（8分）在年第届冬季奥林匹克运动会上，我国冰雪健儿勇夺枚金牌、枚银牌、枚铜牌，共枚奖牌，取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．为此，某学校为调查九年级学生对“冬奥会”知识的了解情况，进行了相关测试（百分制），从两班各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理和分析．成绩得分用表示，共分成四组： A．． B．．C．．D．． 下面给出了部分信息： 信息一：九年级（1）班名学生的成绩是96，80，96，86，99，98，94，100，89，82； 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是94，90，92． 信息二：九年级（2）班抽取的学生成绩扇形统计图： 信息三：九年级两个班抽取的学生的部分统计量： 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 96 47.4 九年级（2）班 92 94 100 50.4 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出上述，的值：________，________； (2)九年级两个班共有名学生参加了此次测试，估计两班参加此次测试成绩优秀（）的学生总人数是多少？ (3)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的测试，你认为学校会选派哪一个班级？请说明理由． 【答案】(1)； (2)人 (3)九年级（1）班的成绩更稳定， 理由见解析 【分析】（1）根据九（2）班C组的百分数求，根据中位数的定义求即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）根据方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：九年级（2）班C组占的百分比为， ， ； 将九年级（1）班名学生的成绩按照从小到大的顺序排列：80，82，86，89，94，96，96，98，99，100； 位于第和位数据为和， 中位数； （2）解：样本中九年级（2）班测试成绩优秀（）的学生人数为（人）， 估计两班参加此次测试成绩优秀（）的学生总人数是（人）． （3）解：九年级（1）班的成绩更稳定， 理由： ，即九年级（1）班的方差小于九年级（2）班的方差， 九年级（1）班的成绩更稳定． 21．（8分）如图，在平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ， 点E，F分别在的延长线上，且， ， ， 四边形是平行四边形 (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质得出，，得出，即可证明结论； （2）证明是等边三角形即可求出结论； 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ． 22．（9分）如图，四边形是某公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的北偏东方向，相距900米，点在点的东北方向，也在点的正东方向，点在点的南偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） (1)求，之间的距离（结果保留根号）； (2)若小明沿跑步，小江沿散步，两人同时出发，已知小明跑步的速度为150米/分钟，小江步行的速度为60米/分钟．则小明出发多久后，小江到点的距离是小明到点的距离的两倍．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)米 (2)分钟 【分析】（1）过点B作于点M，由题意求出，，从而得到米，证明得到米，根据勾股定理求出即可解答； （2）根据各个方位角与角的和差得到，得出是等边三角形，求得米．设两人出发x分钟，小江到点的距离是小明到点的距离的两倍，据此列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点M，则， 由题意可得，，，米， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）． 答：，之间的距离为米． （2）解：由（1）得，米， ∴在中，（米）， ∴（米）． 由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴米． 设两人出发x分钟， 则小江到点的距离为米，小明到点的距离为米， 当小江到点的距离是小明到点的距离的两倍时， ， 解得， 答：小明出发分钟时，小江到点的距离是小明到点的距离的两倍． 23．（9分）如图，在中，，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，请求出四边形的面积． 【答案】(1)四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； (2)2 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，推出平行四边形是菱形，由，可证明四边形是正方形； （2）利用正方形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由（1）知四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为2． 24．（10分）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B． (1)求点A、B的坐标； (2)点C是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点C作轴于点D，作轴于点E，设点C的横坐标为m．用含m的代数式表示矩形的周长，是否存在m，使得周长为17？若存在，求出对应的m值；若不存在，说明理由． (3)当点C是线段中点时，点P是x轴上的一个动点，点Q是直线上的一个动点，是否存在点P、Q，使得以C、O、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)不存在矩形的周长为17，理由： 当时，，则，，， 点在线段上（不与A、B重合）， 假设存在使得矩形周长为17． 则， 所以不存在矩形的周长为17 (3)存在．P点的坐标为 【分析】（1）分别令和，进行求解即可； （2）求出点坐标，进而表示出矩形的周长，列出方程进行求解即可； （3）根据题意，得到只有当，时，四边形为平行四边形，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B． ∴当时，，则 当时，，则 （2）略． （3）解：存在． 当，时，四边形为平行四边形． ， P点的坐标为 25．（10分）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中是“神奇四边形”的是________（填序号） (2)如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点，，，分别是，，，的中点，试判断四边形是不是“神奇四边形”，并说明理由； (3)如图3，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，连接．若，正方形的边长为6，则线段长为________． 【答案】(1)④ (2)①四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是“神奇四边形”． ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，且， ∴四边形是“神奇四边形”． (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可； （2）①根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证； ②根据三角形中位线定理可得，，，，从而证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得，由①可得，，可得，证得四边形是正方形，再根据正方形的性质即可得证； （3）延长交于点，由勾股定理求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，即可求解． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等， ∴正方形是“神奇四边形”． （2）略 （3） 解：延长交于点， 由折叠的性质得，，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴在中，为斜边上的中线， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $