第五章 必刷小题10 平面向量与复数【题型突破】-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量与复数基础必考点，以坐标运算、数量积、线性关系及复数运算为核心，通过精选模拟题构建从概念到几何综合的知识逻辑链，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|11题（含几何综合题）|侧重坐标运算、模长夹角、数量积及线性关系，结合几何图形考查数形结合|从基础坐标运算到线性关系推导，再到数量积与几何综合应用，形成概念-运算-应用逻辑链| |复数|3题|聚焦四则运算、共轭复数及几何意义，设问基础|从复数定义到四则运算，延伸至共轭复数与复平面表示，体现概念生成到简单应用的递进|

第五章 平面向量与复数 必刷小题10　平面向量与复数 [分值：73分] 【高考考向预测】 平面向量侧重坐标运算、模长夹角、数量积及线性关系，复数聚焦四则运算、共轭复数与几何意义，二者均为基础必考题；近三年稳定以小题形式考查，难度低、得分率高；预测2027 年依旧保持单选填空出题模式，向量侧重最值与几何综合，复数结合模、辐角简单设问，题型常规，侧重基础运算与数形结合应用。 【核心梳理●明考点】 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2026·郑州模拟)已知向量=(2，-1)，=(3，2)，点C(-1，2)，则点B的坐标为(　　) A.(-2，-1) B.(0，5) C.(2，-5) D.(2，-1) 【答案】A 【解析】由题意得，=-=(2，-1)-(3，2)=(-1，-3)， 设点B的坐标为(x，y)， 则=(x+1，y-2)=(-1，-3)，则解得 所以点B的坐标为(-2，-1). 2.(2025·沈阳模拟)若a+2i=(1-i)(1+bi)(a，b∈R，i为虚数单位)，则复数a-bi在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】∵a+2i=(1-i)(1+bi)=(1+b)+(b-1)i， ∴解得 ∴复数a-bi在复平面内对应的点(4，-3)所在的象限为第四象限. 3.(2025·佛山模拟)如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上靠近A的三等分点，则等于(　　) A.-+ B.-+ C.-+ D.-+ 【答案】A 【解析】由题意得=-=-=×+)-=-+. 4.(2025·泰州模拟)已知向量=(x，2)，=(2，1).若∥，则||等于(　　) A.4 B.2 C.5 D.3 【答案】D 【解析】因为=(x，2)，=(2，1)且∥， 所以x=4，则=(4，2)， 所以=+=(4，2)+(2，1)=(6，3)，则||==3. 5.(2025·成都模拟)已知平面向量|a|=|b|=1且a·b=0，两个非零向量m=xa+b，n=(3x-2)a-b，若m⊥n，则实数x的值为(　　) A.1 B.- C.1或- D.-1或 【答案】C 【解析】由m⊥n，得m·n=0， 又因为|a|=|b|=1且a·b=0， 所以m·n=(xa+b)·[(3x-2)a-b]=x(3x-2)-1=0，整理得3x2-2x-1=0， 解得x=1或x=-. 6.(2026·合肥模拟)已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点，=2，则·(-)等于(　　) A.- B. C.- D. 【答案】A 【解析】∵·(-)=·， =+=+， =+=+=-， ∴·=·=-+=×42=-. 7.(2025·静海模拟)一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知AB=6分米，FG=3分米，点P在正方形ABCD的四条边上运动，当·取得最大值时，与夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，E，C(6，6)， 则=，=(6，6)， ||=，||=6， 设与的夹角为θ， 则·=||||cos θ， 由投影的概念可得， 当P与C重合时，||cos θ取得最大值， 此时cos θ===. 8.如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且=x+y.当x=-时，y的取值范围是(　　) A.(0，+∞) B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，OM∥AB， 点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动， 且=x+y， 由向量加法的平行四边形法则， OP为两邻边落在OA的反向延长线与OB上的平行四边形的对角线， ∴当x=-时，=-，过点C作OB的平行线，分别交OM，AB的延长线于点D，E，要使点P落在指定区域内，则点P应落在DE上， 此时CD=OB，CE=OB， ∴y的取值范围为. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2025·常州模拟)已知向量a=(1，0)，b=(2，2)，则下列结论正确的是(　　) A.(4a-b)⊥b B.|b|=2 C.a与b的夹角为45° D.a+2b=(5，4) 【答案】ACD 【解析】对于A，因为a=(1，0)，b=(2，2)，所以4a-b=(2，-2)，则(4a-b)·b=2×2-2×2=0， 所以(4a-b)⊥b，故选项A正确； 对于B，由b=(2，2)，可得|b|==2，故选项B错误； 对于C，a·b=1×2+0×2=2，|a|=1，|b|=2，设a与b的夹角为θ， 所以cos θ===， 因为0°≤θ≤180°，所以θ=45°，故选项C正确； 对于D，a+2b=(1，0)+2(2，2)=(5，4)，故选项D正确. 10.(2025·沈阳模拟)对于∀z1，z2∈C，下列说法正确的有(　　) A.若z1=，则z1∈R B.若z2+=0，则z2是纯虚数 C.z1·=|z1|2 D.(z1+z2)2=|z1+z2|2 【答案】AC 【解析】z1=，则z1，的虚部为0，故z1∈R，故A正确； 当z2==0时，z2+=0成立，而z2不是纯虚数，故B错误； 令z1=a+bi且a，b∈R，则=a-bi，则z1·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=，故C正确； 令z1=a+bi且a，b∈R，z2=m+ni且m，n∈R， 则(z1+z2)2=[(a+m)+(b+n)i]2=(a+m)2-(b+n)2+2(a+m)(b+n)i可能为虚数， 而|z1+z2|2为实数，故D错误. 11.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足+2=0，=2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是(　　) A.∥ B.=+ C.·<0 D.S=4 【答案】BCD 【解析】由+2=0，=2， 可知点P为AC的靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示，对于A，点P为AC的靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误； 对于B，=+=+=+-)=+，故B正确； 对于C，·=||||cos π=-||||<0，故C正确； 对于D，设△ABC的高为h，S△ABC=|AB|h=3，即|AB|h=6，则△APQ的面积S=|AQ|·h=·2|AB|·h=×6=4，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2026·新乡模拟)设z=，则=　　　　.  【答案】-1-i 【解析】z====-1+i，故=-1-i. 13.(2025·重庆模拟)已知向量a与b的夹角为，且|a|=|b|，则b-2a在a上的投影向量为　　　　.  【答案】-a 【解析】由向量a与b的夹角为，且|a|=|b|， 得a·b=|a||b|cos=|b|2·=-|b|2， 则(b-2a)·a=a·b-2a2 =-|b|2-4|b|2=-5|b|2， 所以b-2a在a上的投影向量为a=-a. 14.(2025·江门模拟)设向量=(1，x)，=(2，x)，则cos〈，〉的最小值为　　　.  【答案】 【解析】cos〈，〉==，令2+x2=t(t≥2)，则x2=t-2， 所以cos〈，〉===， 又t≥2，即0<≤，所以当=， 即t=4，x2=2时，cos〈，〉取得最小值，且最小值为. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数 必刷小题10　平面向量与复数 [分值：73分] 【高考考向预测】 平面向量侧重坐标运算、模长夹角、数量积及线性关系，复数聚焦四则运算、共轭复数与几何意义，二者均为基础必考题；近三年稳定以小题形式考查，难度低、得分率高；预测2027 年依旧保持单选填空出题模式，向量侧重最值与几何综合，复数结合模、辐角简单设问，题型常规，侧重基础运算与数形结合应用。 【核心梳理●明考点】 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2026·郑州模拟)已知向量=(2，-1)，=(3，2)，点C(-1，2)，则点B的坐标为(　　) A.(-2，-1) B.(0，5) C.(2，-5) D.(2，-1) 2.(2025·沈阳模拟)若a+2i=(1-i)(1+bi)(a，b∈R，i为虚数单位)，则复数a-bi在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2025·佛山模拟)如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上靠近A的三等分点，则等于(　　) A.-+ B.-+ C.-+ D.-+ 4.(2025·泰州模拟)已知向量=(x，2)，=(2，1).若∥，则||等于(　　) A.4 B.2 C.5 D.3 5.(2025·成都模拟)已知平面向量|a|=|b|=1且a·b=0，两个非零向量m=xa+b，n=(3x-2)a-b，若m⊥n，则实数x的值为(　　) A.1 B.- C.1或- D.-1或 6.(2026·合肥模拟)已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点，=2，则·(-)等于(　　) A.- B. C.- D. 7.(2025·静海模拟)一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知AB=6分米，FG=3分米，点P在正方形ABCD的四条边上运动，当·取得最大值时，与夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 8.如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且=x+y.当x=-时，y的取值范围是(　　) A.(0，+∞) B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2025·常州模拟)已知向量a=(1，0)，b=(2，2)，则下列结论正确的是(　　) A.(4a-b)⊥b B.|b|=2 C.a与b的夹角为45° D.a+2b=(5，4) 10.(2025·沈阳模拟)对于∀z1，z2∈C，下列说法正确的有(　　) A.若z1=，则z1∈R B.若z2+=0，则z2是纯虚数 C.z1·=|z1|2 D.(z1+z2)2=|z1+z2|2 11.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足+2=0，=2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是(　　) A.∥ B.=+ C.·<0 D.S=4 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2026·新乡模拟)设z=，则=　　　　.  13.(2025·重庆模拟)已知向量a与b的夹角为，且|a|=|b|，则b-2a在a上的投影向量为　　　　.  14.(2025·江门模拟)设向量=(1，x)，=(2，x)，则cos〈，〉的最小值为　　　.  第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $