课后作业38　平面向量中的综合问题 2027届高中数学一轮复习（通用版）

**基本信息** 以向量运算为核心，融合坐标法、极化恒等式等方法，系统覆盖几何应用与物理情境，突出数学建模与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|1-3题|向量合成与数量积定义|从向量基本概念到运算律推导| |几何应用|4-7题|坐标法、极化恒等式、四心判定|几何图形性质与向量表示的转化| |物理情境|1、8题|速度合成、功的计算|物理量的向量模型构建| |最值问题|5、6、9-12题|函数求最值、三角函数、不等式|向量模长与数量积的范围求解|

课后作业(三十八)　平面向量中的综合问题 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共80分 一、单项选择题 1．物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W＝F·S(其中W是功，F是力，S是位移)．一物体在力F1＝(2，4)和F2＝(－5，3)的作用下，由点A(1，0)移动到点B(2，4)，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功为 (　　) A．25 B．5 C．－5 D．－25 2．设P是△ABC所在平面内一点，若，则点P是△ABC的 (　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．在四边形ABCD中，＝(－4，2)，则四边形ABCD的面积S＝ (　　) A． B．5 C．10 D．20 4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为 (　　) A．(0，16) B．[0，16] C．(0，4) D．[0，4] 5．(2025·江苏南京二模)在四边形ABCD中，AB∥DC，A＝90°，AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD的中点，F是线段BE上的动点，则的最小值为 (　　) A．－ 6．已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是 (　　) A．[ ] C．[ ] 二、多项选择题 7．设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 (　　) A．若)，则点D是边BC的中点 B．若，则直线AD过△ABC的垂心 C．若，则点D在边BC的延长线上 D．若，则△BCD的面积是△ABC面积的一半 8．(2026·广东开学考试)无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹．无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和．无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量(垂直线路方向的向量分量)超过2 m/s或纵向偏移量(沿线路方向的向量分量，其标准值为4 m/s)超过标准值1 m/s时，需调整飞行姿态．已知某区域风速稳定，某次无人机沿x轴正方向线路巡检时，空速向量为(3，4)(单位：m/s)，风速向量为(1，－1)(单位：m/s)，则 (　　) A．地速大小为5 m/s B．地速向量的方向与空速向量方向相同 C．纵向偏移量与标准值无偏差 D．该无人机需要调整飞行姿态 2025课标新变化：数学是重大科技创新发展的基础． 三、填空题 9．一条两岸平行的河流，水流速度为1 m/s，小船的速度为2 m/s，为使所走路程最短，小船应朝___________的方向行驶． 10．已知平面向量a，b满足|a|＝|b|，且|a－3b|＝1，则cos〈b，3b－a〉的最小值是___________． 四、解答题 11．(13分)如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上．已知物体M的重力大小为20 N，且∠AOM＝150°，当角θ为多少时，绳OB承受的拉力最小？ 12．(15分)如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N． (1)若Q是BC的中点，求的取值范围； (2)若P是正方形ABCD所在平面上一点，且满足2＝λ＋(1－λ)的最小值． 课后作业(三十八) 1．A　[因为F1＝(2，4)，F2＝(－5，3)，所以F1＋F2＝(－3，7)，又A(1，0)，B(2，4)，所以＝(1，4)， 故W＝(F1＋F2)·＝－3×1＋7×4＝25．故选A．] 2．A 3．B　[因为＝(1，2)，＝(－4，2)， 所以＝1×(－4)＋2×2＝0， 则AC⊥BD， 又||＝， ||＝＝2， 所以四边形ABCD的面积S＝|||＝×2＝5．] 4．B　[取CD的中点E，连接PE， 则＝2＝2， 由极化恒等式得＝||2－||2＝－4， 设AB的中点为O，连接OE交圆弧于点H，则当点P与点H重合时，||最小，最小值为2，此时|＝4． 当点P与点A或点B重合时，||最大，最大值为＝2，此时|＝20， 所以∈．故选B．] 5．C　[以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD中点， 所以A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，E(0，1)，而F是线段BE上的动点，从而可设＝λ＋(1－λ)＝(2λ，0)＋(0，1－λ)＝(2λ，1－λ)，λ∈[0，1]，所以点F的坐标是(2λ，1－λ)， 所以＝(2－2λ，－1＋λ)，＝(1－2λ，1＋λ)， ＝(2－2λ)(1－2λ)＋(－1＋λ)(1＋λ)＝4λ2－6λ＋2＋λ2－1＝5λ2－6λ＋1＝5，λ∈[0，1]， 所以当λ＝有最小值，最小值是－．故选C．] 6．A　[a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以点(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1．] 7．ABD　[对于A，∵)， 即， 即点D是边BC的中点，故A正确； 对于B，(－||＋||)＝0，即AD⊥BC， 故直线AD过△ABC的垂心，故B正确； 对于C，∵＝2， 即， 即点D在边CB的延长线上，故C错误； 对于D，∵＝x＋y，且x＋y＝， 设＝2， 则＝2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1， 故M，B，C三点共线，且||＝2||， 即△BCD的面积是△ABC面积的一半，故D正确．] 8．ACD　[设空速向量为a，风速向量为b，地速向量为c，则a＝(3，4)，b＝(1，－1)， 所以c＝a＋b＝(3，4)＋(1，－1)＝(4，3)， 所以|c|＝＝5， 所以地速大小为5 m/s，故A正确； 由a＝(3，4)，c＝(4，3)可知地速向量的方向与空速向量方向不相同，故B错误； 由于纵向偏移量为4 m/s，与标准值无偏差，故C正确； 由于无人机沿x轴正方向线路巡检，而地速向量为c＝(4，3)，横向偏移量大于2 m/s，所以需要调整飞行姿态，故D正确．故选ACD．] 9．与水速成120°角　[如图所示，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与河岸垂直， 又|v水|＝||＝1，|v船|＝||＝2，∠ADC＝90°， 所以∠CAD＝30°．所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶．] 10．　[由|a－3b|＝1两边平方得a2－6a·b＋9b2＝1．又因为|a|＝|b|，所以a·b＝，所以cos〈b，3b－a〉＝×2，当且仅当|b|＝时取等号，所以cos〈b，3b－a〉的最小值是．] 11．解：作出示意图，设与物体M平衡的力对应的向量为，则||＝20， 以ON为对角线作平行四边形OPNQ，则，||是绳OB承受的拉力大小， 由∠AOM＝150°，得∠AON＝30°， 所以∠ONQ＝∠AON＝30°， 在△ONQ中，由正弦定理得， 即， 可得||＝OQ＝，结合0°<θ<180°，可知当θ＝90°时，||取到最小值10． 综上所述，当角θ＝90°时，绳OB承受的拉力最小． 12．解：(1)因为直线l过中心O且与两边AB，CD分别交于点M，N． 所以O为MN的中点，所以＝－， 所以＝()·()＝||2－||2． 因为Q是BC的中点， 所以||＝1，1≤||≤， 所以－1≤||2－||2≤0， 即的取值范围为[－1，0]． (2)令＝2＝2＝λ＋(1－λ)， ∴＝λ－λ， 即＝λ－λ， ∴＝λ，∴点T在BC上， 又因为O为MN的中点， 所以||≥1，从而||≥＝()·()＝||2－||2， 因为1≤||≤， 所以＝||2－||2≥－2＝－， 即的最小值为－． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $