15复数单元集训专题-2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 高中数学复数单元一轮复习试题汇编，120分钟150分，覆盖复数概念、运算、几何意义及应用，层次分明，适配一轮巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数象限判断、纯虚数条件、模运算|单选基础巩固，多选综合辨析（如复数轨迹）| |填空题|3题15分|纯虚数参数、模的最值|结合几何意义（如复数模的最大值）| |解答题|5题77分|复数分类、方程根、三点共线、存在性问题|综合应用（如解答题19结合方程根与存在性，体现逻辑推理）|

单元集训卷15　复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为，是第二象限点. 2．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】通过复数除法运算化简复数，根据复平面内对应点的坐标特征判断所在象限. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 3．若复数为纯虚数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数的实部为，虚部为， 根据纯虚数的条件，令实部为0，可得，解得； 将代入，得，满足条件， 因此实数. 4．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设（），则，代入已知等式求出；再计算，最后求乘积. 【详解】设，，则. 代入得. 根据复数相等，得，解得，.，故. 5．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设， 因为复数满足，即， 化简得，所以，解方程组得或， 所以. 法二：由求根公式可得，所以. 6．已知复数满足，，且的虚部为正，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】由复数的相关概念可得. 【详解】设，则.由题意， . 又，. 两式相加，得， 所以， 又，所以. 由，得. 即. 解得. 由于的虚部为正，所以. 于是. 因此. 7．任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解. 【详解】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. 8．已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先根据复数的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【详解】因为， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上， 因为表示点与定点的距离， 所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径， 即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先根据已知等式求出复数，再结合共轭复数、复数模长、复数运算的相关规则逐一判断选项. 【详解】由，则， 则，， ， ， 故A、C正确，B、D错误. 10．若复数，，则下列命题中正确的是（） A．当或2时，是纯虚数 B．当时， C．当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用复数的基本概念依次分析各选项即可. 【详解】选项A，实部：，解得或. 时，虚部； 时，虚部，此时为实数，不是纯虚数，故A错误. 选项B，当时， ， ， 所以，故B正确. 选项C，复数在复平面内所对应的点在第三象限时， ，解得：，即，故C错误. 选项D，因为，只有实数才能比较大小，因此都必须为实数. 为实数：虚部， 代入，， 满足，故D正确. 11．若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C．若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D．若，是方程的两根，则 【答案】BCD 【分析】A.设，利用复数的运算和概念判断；B. 设，，利用复数的乘法运算和模公式求解判断；C.设，利用复数的加法运算和模公式求解判断；D.求出方程的两根判断. 【详解】A.设，则，则 ， 当时，为实数，故错误； B. 设，， 则， ，则， ， 所以，故正确； C.设，则， 所以，即， 表示以为圆心，以1为半径的圆，故正确； D.对于方程，判别式， 所以方程的根为，令， 则，故正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数为纯虚数，则______. 【答案】5 【详解】由题可知，解得，则， ． 13．设为虚数单位，复数，若，则的值为______. 【答案】0或1 【分析】结合共轭复数的概念，利用复数的乘法和复数的相等，求的值. 【详解】复数，则， 由， 有，则，，解得或. 14．设是虚数单位，且复数满足，则的最大值为_________． 【答案】3 【分析】根据复数模长的几何意义进行求解 【详解】，故复数的几何意义为以原点为圆心，1为半径的圆， 其中， 几何意义为以原点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离， 显然最大值为圆心到点的距离加上半径， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ (1)实数； (2)纯虚数； (3)复数对应点落在直线上. 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）是实数， 故，即或； 故当或时，是实数； （2）是纯虚数， 故， 解得：， 故当时，是纯虚数； （3）的对应点落在直线上， 故在直线上， 即， 解得：. 16．已知 ，i为虚数单位，复数 (1)当复数 为纯虚数时，求 的值； (2)已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 【答案】(1) (2) ， 【详解】（1）因为为纯虚数，所以且， 解得. （2）时，. 因为是方程的一个根，所以代入得： ， ， 解得，. 17．已知 ，复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． (1)求的取值范围； (2)当A、B、C三点共线时，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数相加求出，利用复数模长公式转化为代数式，结合基本不等式求最小值，进而求出模长范围； （2）求出复数对应复平面内点坐标，利用三点共线得出斜率相等构造方程，解方程求实数a的值． 【详解】（1）， ，当且仅当时取等号， 故的取值范围为． （2）由题意知，， 当A、B、C三点共线时，直线斜率相等， ，， 则，，则，解得． 18．已知虚数和虚数是关于的方程（ ，且）的两个根. (1)若，且满足 ，求虚数的虚部； (2)若 且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由实系数方程的根的特征得到，利用求出的值，即得的虚部； （2）由及根与韦达定理得到， 由，代入得到的方程，求解并回代检验即得的值. 【详解】（1）因为，且是实系数方程的两根， 所以是的共轭复数，即， 由可得， 解得， 因为，所以，故的虚部为. （2）因为， 由韦达定理，（*）， 因， 将（*）代入，得， 整理得， 解得或. 当时，，， 此时方程有实根，不符合题意，舍去； 当时，，， 符合题意，故. 19．已知的实系数一元二次方程. (1)若复数是该方程的一个虚根，且，求复数z： (2)记方程的两虚根为和，若，且，求实数的值： (3)在（2）的前提下，对任意，存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据共轭复数的模的性质及复数相等求解即可； （2）根据复数的加减乘法运算及实系数一元二次方程的韦达定理得解； （3）分离参数，转化为存在，使成立，再由函数求最大值即可. 【详解】（1）设，由题意知也是方程的一个虚根， 由得. 因为，所以 ，解得， 故. （2）设，则，得. 由 得. 因为，所以， 所以. （3）当时， ，存在使 ， 即存在，使成立 . 因为在上单调递增，所以当时，， 所以，即，故的取值范围是. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷15　复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若复数为纯虚数，则实数（   ） A． B． C． D． 4．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 5．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，，且的虚部为正，则（   ） A． B． C． D．6 7．任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 8．已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足：，则（    ） A． B． C． D． 10．若复数，，则下列命题中正确的是（） A．当或2时，是纯虚数 B．当时， C．当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限 D．若，则 11．若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C．若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D．若，是方程的两根，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数为纯虚数，则______. 13．设为虚数单位，复数，若，则的值为______. 14．设是虚数单位，且复数满足，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ (1)实数； (2)纯虚数； (3)复数对应点落在直线上. 16．已知 ，i为虚数单位，复数 (1)当复数 为纯虚数时，求 的值； (2)已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 17．已知 ，复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． (1)求的取值范围； (2)当A、B、C三点共线时，求实数a的值． 18．已知虚数和虚数是关于的方程（ ，且）的两个根. (1)若，且满足 ，求虚数的虚部； (2)若 且，求实数的值. 19．已知的实系数一元二次方程. (1)若复数是该方程的一个虚根，且，求复数z： (2)记方程的两虚根为和，若，且，求实数的值： (3)在（2）的前提下，对任意，存在使得成立，求实数的取值范围. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $