平面向量专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量核心考点，以题构建从概念辨析到几何应用的完整逻辑链，强化运算能力与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本概念|选择1、10A|基础辨析|从向量定义出发，辨析相等、共线等核心概念| |线性运算|选择3、15(1)|图形转化|依托平行四边形、梯形等载体，训练向量分解与合成| |数量积与夹角|选择5、13、17|公式应用|围绕数量积公式，解决模、夹角、投影等问题| |几何应用|选择7、11、18、19|综合探究|结合三角形四心、动态几何，体现向量工具性，发展推理意识|

单元集训卷14　平面向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 2．已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 3．在平行四边形中，是对角线的交点，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（    ） A．6 B．9 C．4 D．5 5．已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8．在中，，，，，分别是边，上的点，且满足，，连接，交于点，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则（    ） A． B．与夹角为 C． D．与共线的一个单位向量为 10．下列说法正确的是（ ） A．已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B．已知向量 ，若与共线，则 C．若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D．在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角 D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量满足，且与的夹角为，则 ________. 13．若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 14．已知四边形是边长为4的正方形，点E满足．P为平面内一点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在梯形中，，，为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点． (1)用向量，表示； (2)若，求． 16．设两个向量，满足． (1)若，求的值； (2)若夹角为钝角，求实数的取值范围． 17．已知向量和夹角为，且，求： (1)的值； (2)的值； (3)与的夹角的余弦值． 18．在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，． (1)试用，表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线． 19．在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷14　平面向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 【答案】B 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 2．已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量共线的定义计算即可. 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 3．在平行四边形中，是对角线的交点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以 4．已知向量，，若，则（    ） A．6 B．9 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可. 【详解】由题意得， 又向量，则，所以，解得． 5．已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得：，则得， 由得：，则得， 故，即，且， 则与的夹角余弦值为：. 6．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 解得，即， 因为，， 所以，， 所以，解得，， 当时，，， ，， 则在方向上的投影向量的坐标是. 7．O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为分别表示与同方向的单位向量，如图，不妨分别记为， 故以为两邻边的平行四边形为菱形，则平分， 因，可知O点落在的平分线上； 同理由，可知O点也落在的平分线上， 故点O是三条角平分线的交点，即三角形的内心. 8．在中，，，，，分别是边，上的点，且满足，，连接，交于点，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为平面向量一组基底，设，，利用向量相等，求得，从而用基底表示出，求得其模与数量积，利用向量夹角公式即可求得结论. 【详解】由题意知，， . 设，， 则， ， 所以，解得. 所以，， 所以， ， ， 所以. 即与夹角的余弦值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则（    ） A． B．与夹角为 C． D．与共线的一个单位向量为 【答案】CD 【分析】根据数量积的坐标运算可判断A；由即可判断B；根据模长公式计算即可判断C；由与共线的一个单位向量为即可判断D． 【详解】由题意得，， 则，故A错误； 可得，故B错误； 而，故C正确； 与共线的一个单位向量为，故D正确． 10．下列说法正确的是（ ） A．已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B．已知向量 ，若与共线，则 C．若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D．在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 【答案】ABCD 【详解】对于A，若的夹角为钝角，则 且两向量不共线，等价于 ，即“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件，故A正确； 对于B，若与共线，则 .易得 ，则 ，故B正确； 对于C，在方向上的投影向量坐标为，故C正确； 对于D，都表示单位向量，表示 角平分线方向上的向量， 表示 角平分线方向上的向量与边BC垂直，所以AB=AC，为等腰三角形，故D正确. 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角 D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 【答案】AB 【分析】根据三角形四心的相关性质和正弦定理、余弦定理等相关知识逐项检验即可求解. 【详解】对于A，设外接圆半径为，因为， 所以，则， 也即，所以，则，故选项A正确； 对于B，取的中点，连接，作，垂足为， 因为，所以为的角平分线，所以， 又，，所以，则； 因为的周长，面积， 所以内切圆半径，所以， 又，所以， 因为，所以， 则，，所以，故选项B正确； 对于C，因为点为的重心，所以， 又因为，令，则， 在中，由余弦定理可得，， 因为，则，故选项C错误； 对于D，设外接圆半径为， 因为，， 所以，从而得到， 同理可得， 所以，故选项D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量满足，且与的夹角为，则 ________. 【答案】 【分析】先利用向量数量积定义求出，再展开向量点积表达式，代入已知模长与数量积的值计算结果. 【详解】由向量数量积定义，得. . 13．若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】/ 【分析】利用已知条件结合向量数量积运算律求出，再利用向量的数量积及模长求解即可. 【详解】因为，为单位向量，所以. 两边平方，可得，解得. 而， ， . 设向量与的夹角为，， 则，所以. 向量与的夹角为. 14．已知四边形是边长为4的正方形，点E满足．P为平面内一点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量及的坐标表示求解即可. 【详解】以为原点，以，为，轴建立平面直角坐标系，则，，，. 因为，则. 设，则，，. 所以， 所以 . 因为，， 所以当，时，取得最小值，为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在梯形中，，，为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点． (1)用向量，表示； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据几何图形，结合向量的加法和减法运算公式，即可求解； （2）首先用基底表示向量和，再代入数量积的运算律公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以． （2）因为，，所以， 因为，，， 所以 ． 16．设两个向量，满足． (1)若，求的值； (2)若夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性坐标运算及垂直的坐标公式列式求解即可. （2）根据向量的数量积的坐标运算以及共线的坐标公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以，解得. （2）因为，所以. 若为钝角，所以，且不反向共线. 由，所以，解得. 设，解得（两向量同向舍去）. 所以实数的取值范围为. 17．已知向量和夹角为，且，求： (1)的值； (2)的值； (3)与的夹角的余弦值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【详解】（1）依题意，； （2）因， 则； （3）因， 由（2）得，则. 18．在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，． (1)试用，表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线． 【答案】(1) (2) (3)由，得， 所以， 所以，所以， 因为与有公共点， 所以三点共线． 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）设，，分别用参数和，表示，再根据平面向量基本定理求出即可； （3）用，表示，根据平面向量共线定理证明即可. 【详解】（1）由题意，； （2）设，由题意， 所以， ①， 设，则， 则②， 由①②得，， 所以，解得， 所以； （3）略 19．在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算可得，，结合数量积的定义运算求解即可； （2）根据题意整理可得，，利用三点共线求得，可求； （3）整理可得，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； （2）当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； （3）因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，， 当时，， 所以当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $