四川省成都市石室天府中学2025-2026学年高一下学期5月学业练习数学试卷

2025-2026学年度下期高一年级5月学业练习 数学试卷 (考试时间120分钟，满分150分) 一选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.cos27cos3°-sin27sin3°=() A.、5 &. c、 D. 1 2 2 2 2 2.平面四边形中AC+CD-BD=() A.0 B.AD C.AB D.BA 3设：=27 则复数z在复平面内对应点的坐标为() A.(-12) B.（1-2) c.(12) D.(1-2) 4.已知向量ā=(1,0)，万=(1，-1)，若(kā-b)1方，则实数k=() A.1 B.2 c.-1 D.-2 5.已知正四棱锥的底面边长为3√2，它的体积为24，则侧棱长为（) A.3√2 B.V82 C.5 D.6 2 6.已知单位向量a在单位向量6上的投影向量为}五，则1a-2b() 2 A.√5 B.3 D.1 2 7.如图，己知球的表面积为48π，圆台的上、下底面半径之比为13，球与圆台的两个底面及 侧面都相切，则圆台的侧面积为() A.36π B.64π C.100π D.144π 1 8.己知G是△ABC的重心，过点G的直线I与线段AB、AC分别交于点E、F, A正=AB,AF=uAC,(>0,u>0),则21+8u的最小值为() A.5 B.2√5 C.3 D.6 二选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分 9.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，M,N分别为棱CD,CC的中点，则下与BN以 下四个结论中，正确的有() D M A.直线AM与CC是相交直线B.直线BN与MB,是异面直线 C.AM与BN平行 D.直线AM与BN共面 D 10.如图，函数f(x)=Asin(2x+p)(A0.-π<p<π）的图象经过(0,1) A.A=2 B.9=_7 6 c函数)向左平移受个单位得到8()8在0，) 的最小值为-1 12 D.当f(x)在区间O,t)上有最大值没有最小值时，t的取值范围 π2π 33 11.如图，圆O内接边长为√互的正方形ABCD,P是弧BD(包括端点)上一点，则下列正 确的是() D A.AP=xAB+yAD,存在实数x,y,使得x+y=1 B.AP.AB的最大值为1+√互 C.PAPB的最大值为2 D.点9为正方形ABCD内一点，则OA+QB+|QC+|QD最小值为4 2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分.) 12.如图，等腰直角三角形OA'B是一个平面图形的直观图，斜边O'B'=2,则原图形的面 积是」 A 145 B'x 13.如图，一张残损的纸条上写着：“在△ABC中，AB=7,AC=8,(隐约可见数字，‘6')， 满足条件的△ABC有两个.”在残损处的条件可能是 在△ABC中，AB=7,AC=8, 满足条件的△ABC有两个】 ①BC-6②A=60°③B=60°④C-60°中的 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若c=6, sin B 6a-b ,则△ABC sinA b 面积的最大值是 四解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或 演算步骤 15.（本小题满分13分) 已知复数z1=2+4i,z,=a+i(a∈R). (1)若z=1·z2是纯虚数，求a的值； (2)在复平面内，复数，3对应的向量分别是0A,OB,其中0是原点，且∠40B=T 求2 16.（本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且c=b sin A, (1)若c=1,求△ABC的面积； (2)若tanB=2,求tanA的值. 3 17.(本小题满分15分) 如图所示，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形， M为线段PD上一点，N为BC的中点. (1)当M为PD的中点时，求证：MN//平面PAB (2)当PB11平面AMN时，求PY的值，并说明理由. MD M A 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c,且bcosC+ccosB=2 acos A. (1)求角A的大小： (2)若b=2,Sc=3W3,求a: (3)若△ABC为锐角三角形，a=√5，求b+c的取值范围. 19.(本小题满分17分) 如图，已知△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C以BC为一边作等边△BCD D A,D位于边BC两侧，连结AD交CB于O点. (1)若80=20c,求证：A0=24C+AB, (2)若b=4,c=2,求： (i)BA.BC-BD.BC的值； (i)记∠BAC=a,∠ACB=B,求△ACD面积S关于a&的函数表达式S=f(c),并求 f(a)的最大值， 4《2025一2026学年度下期高一年级5月学业练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 0 D A 2 D D 0 ACD ACD 题号 11 答案 BC 8.D 【详解】设CD=2BD=2>0, 则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADc0S∠ADB=m2+4+2m, 在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADc0s∠ADC=4m2+4-4m, 4c24m+4-4L_4m2+4+2测-121+0-4 12 所以AB22+4+2m 2+4+2m (m+1)+3 l+1 12 24 =4-25 2Vm+1)3 +1 当且仅当m+1= 3 即m=√5-1时，等号成立， m+1 所以当6取最小值时.m=5-1 所以BD=√5-1. 11.BC 【详解】因为cosC+3coB=a,所以3动心+2-c2+x心+c2-6-a,解得a=3: 2ab 2ac 因为B+C=2A,A+B+C=元，所以A= 设ABC的外接圆的半径为R,则2R=a,=25,所以R=5, sin A 所以ABC的外接圆的面积为3π，A不正确； 由正弦定理可得snB-bs血4 b.② 02bW2 ABC有两解等价于B有两个不同值， 6 所以5<b5<1,解得3<b<3N5,B正确： 2 6 因为ac sinAsinC,C=2A,所以3 C 整理得c=6cosA, sin A sin 2A 2sinAcosA 因为4c为锐角三角形，所以0<24<号 解得<A<所以<osA<5 2 0<x3M<号 所以c的取值范围为3W2,3V3),C正确； 因为A=2c,sinB=2sinC,所以sinB=sin(A+C)=sin3C=2sinC, sin3C=sin(2C+C)=3sinC-4sin2C=2sinC,解得sinC= 2 由于C为镜角，所以C=君即4=2c-号B=-3C-号 2 因为a=3,由直角三角形知识可得b=2√5，c=√5，由等面积法可求内切圆的半径为 r-3- 21 所以m0x,,D不正绝 4 12 13.35V5 4 14意037对 【详解】设BA=a,BC=b, :ABc-背a万=lo雪l, .'AC=1, ad=6-d-d+2a有补本司 即+-同-1，故武+6-1+4， :D-a咀-0c-(6习afi+g+ 题丽-+6-得a+6广作a6j ++列-+2同 由基本不等式得+≥2d, 1+5≥2，故网s1,当且仅当4==1时取等号。 酝丽-1+2例君放丽丽的最大值为。 15.(1)λ=-5 国=号 【详獬】(1)2a+b=(-1,5),c=(1,入)， 当c∥(2a+b)时，5+A=0,解得入=-5. (2)a+b=1-3k,2+）,a-kb=(1+3k,2- 由题意得(a+历)(a-k)=0,则1-3k1+3)+(2+2-内=0， 即1-22=0，解得k=±2 2 16aB-号 (②)c=7V6 3 【详解】(1)d2-b2=ac-c2变形为：a2+c2-b2=ac, 所以cosB=口+c2-8_ 2ac 2 因为B∈O,),所以B=亚 2因为osc-语，且Cc0,利，所以nC=看-csC=2 10 5 由正弦定理得： sinBsinc,即simn交72，解得：c=76 b c 310 3 17.(1)2 2 2 (3)3 【详解】(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. y↑ D B 当AD=V5时，AB=2,AB=(2,0),AC=1,V5 因此AC.AB=2×1+0×V5=2, (2)设AP=t,即点P坐标为(0，t), 则P=(2,-t),PC=1,3-t, 题c-215-5:音 当1陆，历灭-子 (3)设C(1,c)、P(0,t),又B(2,0), 则PB+PC=(2,t)+(1e-t)=3e-), pB+pCV9+c-2y}≥3，当t=号时取到等号， 因此PB+PC的最小值为3. 180w2号 (2)(i）3√7；(i)4w3+8 【详解】(1)因为 sinB a-c sinA+sinCb+c 所以6=a- atc b+c ,即b2+c2-a2=-bc 所以4-子，因为40，所以4-号 2bc (2)（i)因为sinB=2sinC,由正弦定理得：b=2c, 因为AD平分∠BAC,所以∠BMD=∠CMD=F因为Sec=S知+S: 所以c血子-bA0sm宁+分ADn子 将AD=2,b=2c代入上式得c2=3C,解得c=3,b=2c=6, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA=6+32-2×6×3xco 亚=63，解得a=37 3 (i）由SABc=SB4D+S.cAD, 如晋-A0m+A0n暗 得bc sin子 32 将D=2代人上式得c=6+56,即c=的+2产，可片号号 4 2 2 则b*c=2b+eG月)-+g+2)*2后28 当且仅当b=c时，等号成立，则b+c的最小值为8： 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bc cosA, =b2+c2+bc=(b+c}-bc=(b+c}'-2(b+c), 令t=b+c,则a2=t2-2t=(t-1)-1, 因为t≥8，当t=8时，2的最小值为(8-12-1=48， 则a的最小值为4√3， 所以ABC周长的最小值为a+b+c=4V3+8. 19.(1)w=1 o1g (3)[-2,0) 【详解】(1)因为fx)=2sim(2x+月+1两个相邻对称轴之间的距离为 6 所以f(,的最小正周期为2×号，所以，得w=1 2w 2由商可9=〔月1=2ao会小 因为x=背是y=g(y的一个零点， 所以+后2，真ez,或日+2逃，无eZ 366 得w=-1+6k,k∈Z或w=3+6k2,k∈Z, 因为2<w<4,所以w=3,所以gx)=2sim6x5四+1 6 所以8(x)的最小正周期为T=2π=平 63 令8(y)小=0，则sm6x-5=1 6x-6-2 所以6xr--+2kπ，keZ或6x-刀7匹+2%元，片∈Z, 66 66 得x号+，与ez该6乙 因为函数y=g(x)在[m,m(,n∈R且m<n)上恰好有8个零点， 要使n-m最小，需找到跨度最小的连续8个零点， 8四的零点为x-号+经气eZ或=骨+经名cZ 331 通过比较不同起始零点的连续8个零点区间的长度， 区间39 π13π 的长度为13r元_10m 939 兀4π 的长度为 4π元11π 区间 93 399 所以1-m的最小值为10 (3)由(2)知g(x)=2sin6x- 5π +1 6 设h(x)在0， 上的值域为A,g(x)在O, 4 上的值域为B, 因为对任意x∈ 04 存在0 使得h(s)=g(s)成立， 所以ASB 当 所以m6）e1 所以2sim6.x- 6+1eH3],所以B=13 5 所以，aco 2-引--a4g.所以4-a0]a<o -a2-1 因为A≤B,所以 2as3, 解得-2≤a<0, a<0 所以实数α的取值范围为[-2,0).