精品解析：四川省仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

仁寿一中北校区高2025级高一下学期6月月考数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -9 B. -4 C. 4 D. 9 2. 在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ） A. 向上平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向左平移个单位 4. 已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 已知，若复数是纯虚数，则________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 14. 已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，． （1）若，求的值； （2）设函数，求函数在R上的单调递增区间． 16. 已知向量，满足：，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 17. P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证： （1）AE∥平面PCF； （2）平面PCF∥平面AEG. 18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值及对应的的取值； （3）当时，写出函数的单调递增区间. 19. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高2025级高一下学期6月月考数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -9 B. -4 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，列出方程求解即可. 【详解】，，解得. 故选：B. 2. 在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解即得. 【详解】依题意，. 故选：C 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ） A. 向上平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数图象的平移变换判断即得. 【详解】要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位. 故选：B 4. 已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的表面积为，母线长为，由求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为， 因为圆锥的表面积为，母线长为， 所以， 即 ， 解得 或 （舍去） 故选：A 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用差角的正切求解即得. 【详解】由，， 所以. 故选：D 6. 如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，过作的平行直线，利用几何法求出异面直线夹角的余弦. 【详解】在正四面体中，取中点，连接， 由是的中点，得，则是异面直线与所成的角或其补角， ，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 8. 已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设四棱柱的高为h，则，解得h=6，则AC1与底面ABCD所成角的正切值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二倍角公式及和差角公式逐项计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D. 【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确， 故选：ACD 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则，，解得，， 因为，所以，，， 所以是的对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确. 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 已知，若复数是纯虚数，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义求出，进而求得答案. 【详解】由是纯虚数，得，解得，， 所以. 故答案为：3 13. 如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出时刻点M所在射线为终边的角，再利用正弦函数的定义求解. 【详解】依题意，以射线为终边的角， 时刻点M所在射线为终边的角为， 由三角函数定义得. 故答案为：. 14. 已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助正弦定理求出底面三角形外接圆半径后，结合直三棱柱性质与勾股定理可得该三棱柱外接球的半径，再利用球体体积公式计算即可得解. 【详解】设底面三角形外接圆圆心，则，即， 设该三棱柱外接球球心为，则且， 由底面，且底面，故， 即， 则该三棱柱外接球的体积为. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，． （1）若，求的值； （2）设函数，求函数在R上的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算可得，进而利用二倍角的正切公式可求解； （2）利用向量的数量积的坐标运算求得的解析式，利用整体法，结合正弦函数的单调性可求在R上的单调递增区间． 【小问1详解】 因为，所以，又，， 所以，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 因为，， 所以 由，得， 所以函数在R上的单调递增区间为． 16. 已知向量，满足：，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）对展开可得，再由向量夹角的余弦值公式即可求解； （2）由向量垂直性质可得，化简后解方程即可求解实数的值. 【小问1详解】 由题可得， 因为，，代入可得， ，所以与的夹角的余弦值. 【小问2详解】 因为，所以， 化简可得， 将，，代入可得，解得或. 17. P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证： （1）AE∥平面PCF； （2）平面PCF∥平面AEG. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取PC中点H，分别连接EH，FH，根据E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，得到EAFH为平行四边形，从而EA∥FH，再利用线面平行的判定定理证明； （2）根据E，G分别为PD，CD的中点，得到EG∥PC，利用线面平行的判定定理得到EG∥平面PCF，再利用面面平行的判定定理证明. 【小问1详解】 证明：如图所示： ， 取PC中点H，分别连接EH，FH， ∵E，F，H分别为PD，AB，PC的中点， ∴， ∴EAFH为平行四边形． ∴EA∥FH. 又平面PCF，平面PCF， ∴AE∥平面PCF. 【小问2详解】 ∵E，G分别为PD，CD的中点， ∴EG∥PC. 又平面PCF，平面PCF， ∴EG∥平面PCF. 由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E. ∴平面PCF∥平面AEG. 18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值及对应的的取值； （3）当时，写出函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2）的最大值为，此时，的小值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）借助图象，利用最值可得，利用周期可得，再借助点可得； （2）由，则，再结合正弦函数图象计算即可得； （3）当时，有，再结合正弦函数单调性计算即可得. 【小问1详解】 由图可知或，， 又、，则，， 则有，解得， 又，则，故； 【小问2详解】 当时，， 则，故， 即函数在区间上的最大值为， 此时有，即； 函数在区间上的最小值为， 此时有，即； 【小问3详解】 当时，， 则当，即时，单调递增， 即当时，函数的单调递增区间为. 19. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解； （2）先利用余弦定理求得，进而可求面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解. 【小问1详解】 因为， 且，则，可得， 整理得，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 解得或（舍去）， 所以的面积. 【小问3详解】 由正弦定理，可得， 则 ， 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，可得， 则， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $