第一章　勾股定理 习题课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，从探索定理内容出发，结合中国古代勾股形、赵爽弦图等历史文化导入，通过行人穿草地、旗杆折断等实际问题衔接，构建从文化理解到实际应用的学习支架。 其亮点在于融合数学文化与生活情境，以数学眼光挖掘历史问题中的空间形式，通过分层练习（基础、能力、拓展）培养数学思维，如赵爽弦图题提升推理能力，实际应用题增强应用意识。学生能提升知识迁移能力，教师可获得多样化教学资源。

第一章　勾股定理 2　一定是直角三角形吗 数学·八年级上册　 1 A. 基础夯实 1. （2025•光明区期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　A　）. A. 5， 12， 13 B. 7， 14， 16 C. 6， 8， 12 D. 9， 15， 18 2. （2025•宝安区孝德学校期末）若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列 条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　D　）. A. a＝15，b＝20，c＝25 B. a∶b∶c＝3∶4∶5 C. ∠A＋∠B＝∠C D. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 3. 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（　A　）. A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 4. 如图，在4×4的网格中，△ABC的形状是（　B　）. A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 5. （2025•福田区期中）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将 它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（　C　）. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 6. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中 不正确的是（　B　）. A. 如果∠A－∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B. 如果a2＝b2－c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90° C. 如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶2，那么△ABC是直角三角形 D. 如果a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 7. （根据教材P12习题1.2第3题改编）如图，是直角三角形的有 ⁠. （填序号） ④⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 8. 下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由. ①3，5，6；　②9，12，15；　③1.5，2，2.5. 解：②③能作为直角三角形的三边长，①不能作为直角三角形的三边长. 理由： ①32＋52＝34≠62；②92＋122＝225＝152；③1.52＋22＝6.25＝2.52. 所以②③能作为直角三角形的三边长，①不能作为直角三角形的三边长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 B. 能力提升 9. （2025•盐田区期末）如图，在2×3的正方形网格中，∠1＋∠2 ＝ ⁠°. 45 解析：如图所示，连接BC， ∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝22＋12＝5，AC2＝12＋32＝10， ∠1＝∠DAC，∠DAE＝90°， ∴AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°. ∵∠2＋∠BAC＋∠DAC＝90°， ∴∠DAC＋∠2＝∠1＋∠2＝90°－∠BAC＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 10. （2024• 龙岗区月考）勾股定理a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c 的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）常叫作勾股数组.毕达哥拉 斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数 组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…，分析上面勾股数组 可以发现，4＝1×（3＋1），12＝2×（5＋1），24＝3×（7＋1），…，分 析上面规律，第6个勾股数组为 ⁠. （13，84，85） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 解析：∵第1组：3＝2×1＋1，4＝1×（3＋1），5＝4＋1； 第2组：5＝2×2＋1，12＝2×（5＋1），13＝12＋1； 第3组：7＝2×3＋1，24＝3×（7＋1），25＝24＋1； …； ∴第n组：2n＋1，n（2n＋1＋1），n（2n＋1＋1）＋1， ∴第6组：2×6＋1＝13，6×（13＋1）＝84，84＋1＝85. 故答案为（13，84，85）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 11. （根据教材P10例题改编）一个零件的形状如图.按规定，这个零件中 ∠A与∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图.这个零 件符合要求吗？请说明理由. 解：符合.理由：因为AD＝12，AB＝9， BD＝15，DC＝17，BC＝8， 所以AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2. 所以△ABD和△BCD是直角三角形，∠A＝90°， ∠DBC＝90°.故这个零件符合要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 C. 拓展思维 12. 定义：若某三角形的三边长a，b，c满足ab＋a2＝c2，则称该三角形为 “类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题： （1）判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； 解：等边三角形不是“类勾股三角形”. 理由：设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则a＝b＝c， ∴ab＋a2＝a2＋a2＝2a2＞c2， ∴等边三角形不是“类勾股三角形”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 （2）若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC， 求∠A的度数； 解：∵等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AC＝BC，AB＞AC， ∴AC•BC＋BC2＝AB2， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°. ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴∠A的度数为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 （3）如图，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠C＝2∠A，且 ∠B＞∠A. 证明：△ABC为“类勾股三角形”. 证明：如图，过点B作BG⊥AC，垂足为点G，在GA上截取GD＝GC，连 接BD，则直线BG是CD的垂直平分线， ∴BD＝BC＝a， ∴∠C＝∠BDC. ∵∠C＝2∠A， ∴∠BDC＝2∠A. ∵∠BDC＝∠A＋∠ABD， ∴∠A＝∠ABD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 ∴DA＝BD＝a， ∴CD＝AC－AD＝b－a， ∴DG＝CG＝ CD＝ ， ∴AG＝AD＋DG＝a＋ ＝ . 在Rt△ABG中，BG2＝AB2－AG2＝c2－2， 在Rt△BGC中，BG2＝BC2－CG2＝a2－2， ∴c2－2＝a2－2， ∴a2＋ab＝c2，∴△ABC为“类勾股三角形”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·八年级上册　 1. A　2.D　3.A　4.B　5.C　6.B　7.④⑤ 8. 解：②③能作为直角三角形的三边长，①不能作为直角三角形的三边 长.理由： ①32＋52＝34≠62；②92＋122＝225＝152；③1.52＋22＝6.25＝2.52， 所以②③能作为直角三角形的三边长，①不能作为直角三角形的三边长. 数学·八年级上册　 9.45　解析：如图所示，连接BC， ∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝22＋12＝5，AC2＝12＋32＝10， ∠1＝∠DAC，∠DAE＝90°， ∴AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°. ∵∠2＋∠BAC＋∠DAC＝90°， ∴∠DAC＋∠2＝∠1＋∠2＝90°－∠BAC＝45°. 数学·八年级上册　 10. （13，84，85）　解析：∵第1组：3＝2×1＋1，4＝1×（3＋1），5＝4 ＋1； 第2组：5＝2×2＋1，12＝2×（5＋1），13＝12＋1； 第3组：7＝2×3＋1，24＝3×（7＋1），25＝24＋1； …； ∴第n组：2n＋1，n（2n＋1＋1），n（2n＋1＋1）＋1， ∴第6组：2×6＋1＝13，6×（13＋1）＝84，84＋1＝85. 故答案为（13，84，85）. 数学·八年级上册　 11. 解：符合.理由：因为AD＝12，AB＝9，BD＝15，DC＝17，BC＝8， 所以AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2. 所以△ABD和△BCD是直角三角形，∠A＝90°，∠DBC＝90°.故这个零 件符合要求. 数学·八年级上册　 12. （1）解：等边三角形不是“类勾股三角形”.理由：设等边三角形的三边 长分别为a，b，c，则a＝b＝c，∴ab＋a2＝a2＋a2＝2a2＞c2，∴等边三角 形不是“类勾股三角形”. （2）解：∵等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AC＝BC，AB＞AC， ∴AC•BC＋BC2＝AB2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且 ∠ACB＝90°. ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°，∴∠A的度数为45°. 数学·八年级上册　 （3）证明：如图，过点B作BG⊥AC，垂足为点G，在GA上截取GD＝ GC，连接BD，则直线BG是CD的垂直平分线，∴BD＝BC＝a，∴∠C ＝∠BDC. ∵∠C＝2∠A，∴∠BDC＝2∠A. ∵∠BDC＝∠A＋ ∠ABD，∴∠A＝∠ABD，∴DA＝BD＝a，∴CD＝AC－AD＝b－a， ∴DG＝CG＝ CD＝ ，∴AG＝AD＋DG＝a＋ ＝ .在 Rt△ABG中，BG2＝AB2－AG2＝c2－2，在Rt△BGC中，BG2＝BC2 －CG2＝a2－2，∴c2－2＝a2－2，∴a2＋ab＝c2， ∴△ABC为“类勾股三角形”. 数学·八年级上册　 $第一章　勾股定理 3　勾股定理的应用 数学·八年级上册　 1 A. 基础夯实 1. （2025•深圳市高级中学期中）如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙 上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方 向滑动了（　D　）. A. 4米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 第1题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 2. 如图，将一根长24 cm的筷子置于底面直径为15 cm，高为8 cm的圆柱形水 杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（　B　）. A. h≤17 B. 7≤h≤16 C. 15≤h≤16 D. h≥8 第2题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 3. 如图，某地区地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、 竖直方向的AB，BC两段构成，若BC段长度为8 cm，点A，C之间的距离 比AB段长2 cm，则AB段的长度为 cm. 第3题图 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 4. 某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯.已知楼梯总 高度为5米，楼梯长为13米，主楼道宽2米.这种红色地毯的售价为每平方米30 元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元. 第4题图 1 020 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 5. “江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开.”凌霄在园林绿化中随处可见.如 图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱 体，它的底面周长是16 cm，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高12 cm时，这段 枝蔓的长是 cm. 第5题图 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 解析：如图，由题意可得，展开图中AC＝16 cm，BC＝12 cm， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝162＋122＝400. ∴AB＝20 cm， 即这段枝蔓的长是20 cm. 故答案为20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 6. 如图，小明计划周末到离家正东方向800 m的书店买书，买完书后再去距 离书店正北方向600 m的体育中心打篮球，求小明家距离体育中心有多远. 解：在△ABC中， ∵AB⊥CB，AB＝800 m，BC＝600 m， ∴AC2＝AB2＋BC2＝1 000 000， ∴AC＝1 000 m， ∴小明家距离体育中心1 000 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 B. 能力提升 7. （2025•南山外国语集团期中）党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿 化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在 小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，∠ABC＝90°，AB＝12 m，BC＝9 m，AD＝17 m，CD＝8 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 （1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小 路AC的长度； 解：∵∠ABC＝90°，AB＝12 m，BC＝9 m， ∴AC2＝BC2＋AB2＝92＋122＝152， ∴AC＝15 m. 答：小路AC的长度为15 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 （2）若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费 多少元？ 解：∵AD＝17 m，CD＝8 m，AC＝15 m， ∴AC2＋CD2＝152＋82＝172＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝ AB•BC＋ AC•CD＝ ×12×9＋ ×15×8＝114（m2）. ∴114×100＝11 400（元）. 答：改造这片空地共需花费11 400元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 8. 如图所示，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC＝160 m，BC ＝120 m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠. 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A，B； 乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB 所在直线上的H处，再从H处分别向A，B进行修筑. （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）. 解：△ABC是直角三角形.理由如下： ∵AC2＋BC2＝1602＋1202＝40 000，AB2＝2002＝40 000， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明. 解：（2）甲方案所修的水渠较短.理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝ AB•CH＝ AC•BC， ∴CH＝ ＝ ＝96（m）. ∵AC＋BC＝160＋120＝280（m），CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200 ＝296（m）， ∴AC＋BC＜CH＋AH＋BH， ∴甲方案所修的水渠较短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 C. 拓展思维 9. （2025•龙岗区期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一 丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.大 意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出 水面的部分CD＝1尺.将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平 齐，即OC＝OE， 求水池的深度和芦苇的长度 （1丈等于10尺）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 （1）求水池的深度OD； 解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为OC＝OD＋CD＝（x＋1）尺，由题 意有OE＝OC＝（x＋1）尺. ∵O为AB的中点，且AB＝1丈＝10尺， ∴OA＝ AB＝ ×10＝5 （尺）. 在Rt△EAO中，由勾股定理，得AE2＋OA2＝OE2， 即x2＋52＝（x＋1）2，解得x＝12，即OD＝12尺. 答：水池的深度OD为12尺. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这 类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言表示为：若已知水池宽AB＝ 2a， 芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝ b）可以通过公式b＝ 计算得到.请证明刘徽解法的正确性. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 证明：水池深度OD＝b，则芦苇高度OC＝OD＋CD＝b＋n，由题意有 OE＝OC＝b＋n. ∵O为AB的中点，且AB＝2a， ∴OA＝ AB＝a.在Rt△EAO中，由勾股定理得AE2＋OA2＝OE2， 即b2＋a2＝（b＋n）2， 整理得b＝ .故刘徽的解法是正确的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数学·八年级上册　 1. D　2.B　3.15　4.1 020 5.20　 解析：如图，由题意可得，展开图中AC＝16 cm，BC＝12 cm， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝162＋122＝400. ∴AB＝20 cm， 即这段枝蔓的长是20 cm. 故答案为20. 数学·八年级上册　 6. 解：在△ABC中， ∵AB⊥CB，AB＝800 m，BC＝600 m， ∴AC2＝AB2＋BC2＝1 000 000，∴AC＝1 000 m， ∴小明家距离体育中心1 000 m. 7. 解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝12 m，BC＝9 m， ∴AC2＝BC2＋AB2＝92＋122＝152， ∴AC＝15 m. 答：小路AC的长度为15 m. 数学·八年级上册　 （2）∵AD＝17 m，CD＝8 m，AC＝15 m， ∴AC2＋CD2＝152＋82＝172＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝ AB•BC＋ AC•CD＝ ×12×9＋ ×15×8＝114（m2）. ∴114×100＝11 400（元）. 答：改造这片空地共需花费11 400元. 数学·八年级上册　 8. 解：（1）△ABC是直角三角形.理由如下：∵AC2＋BC2＝1602＋1202＝40 000，AB2＝2002＝40 000，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形， ∠ACB＝90°. （2）甲方案所修的水渠较短.理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的 面积＝ AB•CH＝ AC•BC，∴CH＝ ＝ ＝96（m）.∵AC＋ BC＝160＋120＝280（m），CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296 （m），∴AC＋BC＜CH＋AH＋BH，∴甲方案所修的水渠较短. 数学·八年级上册　 9. （1）解：设水池深度为x尺， 则芦苇高度为OC＝OD＋CD＝（x＋1）尺， 由题意有OE＝OC＝（x＋1）尺. ∵O为AB的中点，且AB＝1丈＝10尺， ∴OA＝ AB＝ ×10＝5 （尺）. 在Rt△EAO中，由勾股定理，得AE2＋OA2＝OE2， 即x2＋52＝（x＋1）2，解得x＝12， 即OD＝12尺. 答：水池的深度OD为12尺. 数学·八年级上册　 （2）证明：水池深度OD＝b， 则芦苇高度OC＝OD＋CD＝b＋n， 由题意有OE＝OC＝b＋n. ∵O为AB的中点，且AB＝2a，∴OA＝ AB＝a. 在Rt△EAO中，由勾股定理得AE2＋OA2＝OE2， 即b2＋a2＝（b＋n）2，整理得b＝ . 故刘徽的解法是正确的. 数学·八年级上册　 $第一章　勾股定理 章末复习 数学·八年级上册　 1 A. 基础夯实 1. （2024• 龙岗区同心实验学校月考）下列四组数中，是勾股数的是 （　D　）. A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 7，24，25 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 2. 如图，一架靠墙摆放的梯子长5米，底端离墙脚的距离为3米，则梯子与地 面及墙壁三者围成的三角形区域的面积为（　D　）. A. 15平方米 B. 10平方米 C. 8平方米 D. 6平方米 第2题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 3. 如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD， AD⊥DE，则AE2＝（　D　）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第3题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 4. （2025•宝安区期中）《醉翁亭记》中写道：“…射者中…”，其中 “射”指投壶，宴饮时的一种游戏，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是5 cm，内壁高12 cm，若箭长17 cm，则箭在投壶外面部分的长度不可能是 （　A　）. A. 6 cm B. 5 cm C. 4.5 cm D. 4 cm A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 5. 如图，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，AN＝AC，BM＝BC，则 AB及MN的长分别是（　C　）. A. 13，2 B. 13，3 C. 13，4 D. 13，5 第5题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 6. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S1，S2， S3，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的 面积分别是64，9，则S1－S2＋S3－S4的值为 ⁠. 第6题图 55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 解析：建立如图的数据， 由题意，得a2＝64，e2＝9，S1＝a2＋b2，S2＝b2＋c2，S3＝c2＋d2，S4＝d2 ＋e2， ∴S1－S2＋S3－S4＝（a2＋b2）－（b2＋c2 ）＋（c2＋d2 ）－（d2＋e2 ）＝ a2－e2＝64－9＝55. 故答案为55. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 7. （2025•龙华区创新实验学校月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若 a＋b＝12 cm，c＝10 cm，则Rt△ABC的面积是 ⁠. 解析：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2＝100， ∴2ab＝（a＋b）2－（a2＋b2）＝122－100＝44，即ab＝22， ∴Rt△ABC的面积为 ab＝ ×22＝11（cm2）. 11 cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 8. （2024• 宝安中学外国语学校开学）如图，在△ABC中，点D，E在边 AB上，连接CD，CE，满足CD⊥AB，AE＝CE，若AD＝6，BC＝5， BD＝3，求△BCE的面积. 解：∵CD⊥AB，BC＝5，BD＝3， ∴CD2＝52－32＝16，即CD＝4. ∵AD＝6，设AE＝CE＝x，则DE＝6－x， ∴x2＝（6－x）2＋42，解得x＝ ， ∴BE＝3＋6－ ＝ ， ∴△BCE的面积为 × ×4＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 B. 能力提升 9. （2025•龙华区创新实验学校月考）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场， 诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心.如图， 小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下 方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15 m；根据手中余线长度，计 算出AC的长度为17 m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5 m.已知点 A，B，C，D在同一平面内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 （1）求风筝离地面的垂直高度CD； 解：如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝BD＝15 m，AB ＝ED＝1.5 m，∠AEC＝90°. 在Rt△AEC中，CE2＝AC2－AE2＝172－152＝64， ∴CE＝8 m. ∴CD＝CE＋ED＝8＋1.5＝9.5（m）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 （2）在余线仅剩7.5 m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12 m， 请问能否成功？请运用数学知识说明. 解：不能成功，理由如下：假设能上升12 m，如图2所示，延长DC至点F，使CF＝12 m，连接AF，则EF＝CE＋CF＝8＋12＝20（m）. 在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝152＋202＝625， ∴AF＝25 m. ∵AC＝17 m，余线仅剩7.5 m， ∴17＋7.5＝24.5＜25， ∴不能上升12 m，即不能成功. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边BC上，连接AD，将 △ACD沿着直线AD翻折，点C恰好落在直线AB上的点E处，若AC＝5， BC＝4，求CD的长. 解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∴AB2＝AC2－BC2＝52－42＝9，即AB＝3. 根据折叠的性质可知△ACD≌△AED， ∴AE＝AC＝5，∴BE＝AE－AB＝5－3＝2. 设CD＝x，则BD＝BC－CD＝4－x，DE＝CD＝x， 在Rt△DBE中，BD2＋BE2＝DE2， 即（4－x）2＋22＝x2，解得x＝2.5，∴CD＝2.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 C. 拓展思维 11. 海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和 小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了 如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高AB为1.62米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 （1）求风筝的垂直高度CE； 解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD2＝BC2－BD2＝202－122＝ 256，所以CD＝16米，所以CE＝CD＋DE＝16＋1.62＝17.62（米）. 答：风筝的高度CE为17.62米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 （2）如果小明想让风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收多少米线？ 解：如图，由题意得CM＝11米， ∴DM＝5米， ∴BM2＝DM2＋BD2＝169， ∴BM＝13米， ∴BC－BM＝20－13＝7（米）， ∴他应该往回收7米线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·八年级上册　 1. D　2.D　3.D　4.A　5.C 6.55　解析：建立如图的数据， 由题意，得a2＝64，e2＝9，S1＝a2＋b2，S2＝b2＋c2，S3＝c2＋d2，S4＝d2 ＋e2， ∴S1－S2＋S3－S4＝（a2＋b2）－（b2＋c2 ）＋（c2＋d2 ）－（d2＋e2 ）＝ a2－e2＝64－9＝55. 故答案为55. 数学·八年级上册　 7.11 cm2　解析：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2＝100， ∴2ab＝（a＋b）2－（a2＋b2）＝122－100＝44，即ab＝22， ∴Rt△ABC的面积为 ab＝ ×22＝11（cm2）. 8. 解：∵CD⊥AB，BC＝5，BD＝3， ∴CD2＝52－32＝16，即CD＝4. ∵AD＝6，设AE＝CE＝x，则DE＝6－x， ∴x2＝（6－x）2＋42，解得x＝ ，∴BE＝3＋6－ ＝ ， ∴△BCE的面积为 × ×4＝ . 数学·八年级上册　 9. 解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝BD＝15 m， AB＝ED＝1.5 m，∠AEC＝90°. 在Rt△AEC中，CE2＝AC2－AE2＝172－152＝64， ∴CE＝8 m. ∴CD＝CE＋ED＝8＋1.5＝9.5（m）. 数学·八年级上册　 （2）不能成功，理由如下： 假设能上升12 m，如图2所示，延长DC至点F，使CF＝12 m，连接AF， 则EF＝CE＋CF＝8＋12＝20（m）. 在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝152＋202＝625， ∴AF＝25 m. ∵AC＝17 m，余线仅剩7.5 m， ∴17＋7.5＝24.5＜25，∴不能上升12 m，即不能成功. 数学·八年级上册　 10. 解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∴AB2＝AC2－BC2＝52－42＝9，即AB＝3. 根据折叠的性质可知△ACD≌△AED， ∴AE＝AC＝5，∴BE＝AE－AB＝5－3＝2. 设CD＝x，则BD＝BC－CD＝4－x，DE＝CD＝x， 在Rt△DBE中，BD2＋BE2＝DE2， 即（4－x）2＋22＝x2，解得x＝2.5，∴CD＝2.5. 数学·八年级上册　 11. 解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得 CD2＝BC2－BD2＝202－122＝256， 所以CD＝16米， 所以CE＝CD＋DE＝16＋1.62＝17.62（米）. 答：风筝的高度CE为17.62米. （2）如图，由题意得CM＝11米，∴DM＝5米， ∴BM2＝DM2＋BD2＝169，∴BM＝13米， ∴BC－BM＝20－13＝7（米），∴他应该往回收7米线. 数学·八年级上册　 $第一章　勾股定理 ☆ 问题解决策略：反思 数学·八年级上册　 1 1. 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的 长、宽、高分别为20，3，2，A和B是一个台阶两个相对的端点. 1 2 数学·八年级上册　 【探究实践】 老师让同学们探究：如图1，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物， 那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图 形，可得到长为20、宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB的长度 为 　　　　，就是最短路程. 解：25 解析：由题意，得AB2＝152＋202＝625， ∴AB＝25.故答案为25. 1 2 数学·八年级上册　 【变式探究】 （2）如图3是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离 为 　　　　. 解：17 cm 解析：将圆柱体展开，由题意得AB2＝82＋152＝289， ∴AB＝17 cm.故答案为17 cm. 1 2 数学·八年级上册　 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯的高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯 底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路 程是多少？（杯壁厚度不计，画出示意图并进行计算） 1 2 数学·八年级上册　 解：如图，把玻璃杯的侧面展开，作点B关于EG的对称点C，作CD⊥AE 交AE的延长线于点D，连接AC交EG于点F，则BF＝CF，DE＝CG＝ BG＝1 cm， ∴AF＋BF＝AF＋CF＝AC. ∵AD＝9－4＋DE＝5＋1＝6（cm），CD＝16÷2＝8（cm）， ∴AC2＝CD2＋AD2＝82＋62＝100， ∴AC＝10 cm， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm. 1 2 数学·八年级上册　 2. 【问题背景】赵爽弦图是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何 图形.某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形 （如图1）：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为 b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4× ab＋ （a－b）2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b， 斜边长为c，则a2＋b2＝c2. 1 2 数学·八年级上册　 （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图2的模型： Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝ 90°，请你利用图2推导勾股定理. 解：S梯形＝ ＝ （a2＋2ab＋b2）＝ a2＋ab＋ b2， S梯形＝ ab＋ c2＋ ab＝ab＋ c2. ∵是同一图形的面积，面积相等， ∴ a2＋ab＋ b2＝ab＋ c2， ∴a2＋b2＝c2. 1 2 数学·八年级上册　 （2）【问题解决】如图3，某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操 场边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，因操场改造，CA路封闭，学 校决定在操场边新建取水点H（A，B，H在同一直线上），并修新路 CH，且CH⊥AB. 现测得CH＝24米，HB＝18米，求新路CH比原路CA少 多少米. 解：设CA为x米，则AB＝AC＝x米，AH＝（x－18）米. ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°. ∵在Rt△CHA中，∠CHA＝90°，CH＝24米， 1 2 数学·八年级上册　 ∴AC2＝AH2＋CH2， 即x2＝242＋（x－18）2， 解得x＝25， ∴CA＝25米. ∵CA－CH＝25－24＝1（米）， ∴新路CH比原路CA少1米. 1 2 数学·八年级上册　 （3）【拓展延伸】在（2）中若AB≠AC，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝ 18米，AB＝21米，求AH的长度. 解：设AH为y米，∵AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米， ∴HB＝AB－AH＝（21－y）米. ∵CH⊥AB，∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∴在Rt△CHA中，CH2＝AC2－AH2＝152－y2， 在Rt△CHB中，CH2＝CB2－HB2＝182－（21－y）2， ∴152－y2＝182－（21－y）2，解得y＝ ， ∴AH的长度为 米. 1 2 数学·八年级上册　 1. 解：（1）25　解析：由题意，得AB2＝152＋202＝625，∴AB＝25.故答案 为25. （2）17 cm　解析：将圆柱体展开，由题意得AB2＝82＋152＝289，∴AB＝ 17 cm.故答案为17 cm. （3）如图，把玻璃杯的侧面展开，作点B关于EG的对称点C，作CD⊥AE 交AE的延长线于点D，连接AC交EG于点F，则BF＝CF，DE＝CG＝ BG＝1 cm，∴AF＋BF＝AF＋CF＝AC. ∵AD＝9－4＋DE＝5＋1＝6（cm），CD＝16÷2＝8（cm）， ∴AC2＝CD2＋AD2＝82＋62＝100，∴AC＝10 cm， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm. 数学·八年级上册　 2. 解：（1）S梯形＝ ＝ （a2＋2ab＋b2）＝ a2＋ab＋ b2， S梯形＝ ab＋ c2＋ ab＝ab＋ c2. ∵是同一图形的面积，面积相等， ∴ a2＋ab＋ b2＝ab＋ c2， ∴a2＋b2＝c2. 数学·八年级上册　 （2）设CA为x米，则AB＝AC＝x米，AH＝（x－18）米. ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°. ∵在Rt△CHA中，∠CHA＝90°，CH＝24米， ∴AC2＝AH2＋CH2， 即x2＝242＋（x－18）2， 解得x＝25， ∴CA＝25米. ∵CA－CH＝25－24＝1（米）， ∴新路CH比原路CA少1米. 数学·八年级上册　 （3）设AH为y米， ∵AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米， ∴HB＝AB－AH＝（21－y）米. ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∴在Rt△CHA中，CH2＝AC2－AH2＝152－y2， 在Rt△CHB中，CH2＝CB2－HB2＝182－（21－y）2， ∴152－y2＝182－（21－y）2，解得y＝ ， ∴AH的长度为 米. 数学·八年级上册　 $第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第2课时　勾股定理的验证 数学·八年级上册　 1 A. 基础夯实 1. 如果一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，那么斜边长 为（　C　）. A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 2. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则 c的面积为（　C　）. A. 4 B. 5 C. 6 D. 5.5 第2题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 3. 如图是由边长为1米的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的 折线从A→B→C所走的路程为（　A　）. A. 10米 B. 14米 C. 15米 D. 20米 第3题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点B为圆心，BC 为半径画弧交AB于点D；以点A为圆心，AD为半径画弧交AC于点E，则 CE的长为（　C　）. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 第4题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 5. （2025•龙华区创新实验学校月考）如图，分别以直角三角形的三边作三 个半圆，且S1＝30，S3＝75，则S2等于（　B　）. A. 65 B. 45 C. 55 D. 35 第5题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 解析：如图，设直角三角形的三边分别为a，b，c， 根据勾股定理，得a2＋b2＝c2， 又S1＝ •π•（ ）2＝ ， S2＝ ，S3＝ ， ∴S1＋S2＝S3. ∵S1＝30，S3＝75， ∴S2＝75－30＝45.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 6. （2025•龙华区创新实验学校月考）如图是一株美丽的勾股树，所有的四 边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 7 cm，则正方形A，B，C，D的面积和是 ⁠. 第6题图 49 cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 7. （根据教材P7第2题练习改编）1876年，美国总统伽菲尔德利用下图验证 了勾股定理.请用含a，b，c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的 面积，并利用“等面积法”推导a，b，c之间满足的数量关系，完成勾股定 理的验证. 解：由题图得梯形面积为 （a＋b）（a＋b）. 此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和， 即 ab＋ ab＋ c2， 因此可得 （a＋b）（a＋b）＝ ab×2＋ c2，即a2＋b2＝c2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 B. 能力提升 8. （2025•宝安文汇学校月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD 是斜边AB上的高，分别以AC，BC为直径向∠ACB的内侧作半圆，恰好交 于点D. 若AB＝5，CD＝2，则阴影部分的面积为 ⁠. 第8题图 －5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 解析：∵∠ACB＝90°， ∴BC2＋AC2＝AB2， ∴阴影部分的面积＝S半圆BDC－S△BDC＋S半圆ADC－S△ADC ＝ π（ ）2＋ π（ ）2－ ×AD×CD－ ×BD×CD ＝ π（BC2＋AC2）－ ×CD×（AD＋BD） ＝ πAB2－ •CD•AB ＝ －5. 第8题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 9. （2025•深圳市富源学校月考）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折 叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E. 若AB＝4，AD＝8，则△BDE的 面积为 ⁠. 第9题图 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 解析：在长方形ABCD中， ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. 由折叠的性质知∠EBD＝∠DBC， ∴∠ADB＝∠EBD，∴BE＝DE. 设AE＝x，则BE＝DE＝8－x， 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， 即42＋x2＝（8－x）2，解得x＝3， ∴AE＝3，DE＝8－3＝5， ∴S△BDE＝ AB×DE＝ ×4×5＝10. 第9题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 C. 拓展思维 10. 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此 图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成. 【探索新知】从面积的角度思考，大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个 直角三角形的面积. 请用含有a，b，c的代数式表示以上面积： 大正方形的面积＝ 　　　　　， 小正方形的面积＋4个直角三角形的面积＝ 　　　　， 从而得出数学等式： 　　　　　　　　， 化简证得勾股定理a2＋b2＝c2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 解：大正方形的面积＝（a＋b）2， 小正方形的面积＋4个直角三角形的面积＝c2＋4× ab＝c2＋2ab， 从而得出数学等式：（a＋b）2＝c2＋2ab， 化简证得勾股定理a2＋b2＝c2. 故答案为（a＋b）2，c2＋2ab，（a＋b）2＝c2＋2ab. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 【知识迁移】（1）将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若a ＝4，b＝6，求此时空白部分的面积. 解：由题意得空白部分的面积为＝c2－2× ab ＝42＋62－2× ×4×6＝52－24＝28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 （2）将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围 轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积. 解：24÷4＝6，设AC＝x，依题意有（x＋3）2＋32＝（6－x）2， 解得x＝1， ∴ ×（3＋1）×3×4 ＝ ×4×3×4 ＝24. 故该飞镖状图案的面积是24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·八年级上册　 1. C　2.C　3.A　4.C 5. B　解析：如图，设直角三角形的三边分别为a，b，c， 根据勾股定理，得a2＋b2＝c2， 又S1＝ •π•（ ）2＝ ， S2＝ ，S3＝ ， ∴S1＋S2＝S3. ∵S1＝30，S3＝75， ∴S2＝75－30＝45.故选B. 数学·八年级上册　 6.49 cm2 7. 解：由题图得梯形面积为 （a＋b）（a＋b）. 此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即 ab＋ ab＋ c2， 因此可得 （a＋b）（a＋b）＝ ab×2＋ c2，即a2＋b2＝c2. 数学·八年级上册　 8. －5　解析：∵∠ACB＝90°，∴BC2＋AC2＝AB2， ∴阴影部分的面积＝S半圆BDC－S△BDC＋S半圆ADC－S△ADC ＝ π（ ）2＋ π（ ）2－ ×AD×CD－ ×BD×CD ＝ π（BC2＋AC2）－ ×CD×（AD＋BD） ＝ πAB2－ •CD•AB ＝ －5. 数学·八年级上册　 9.10　解析：在长方形ABCD中， ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. 由折叠的性质知∠EBD＝∠DBC， ∴∠ADB＝∠EBD，∴BE＝DE. 设AE＝x，则BE＝DE＝8－x， 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， 即42＋x2＝（8－x）2，解得x＝3， ∴AE＝3，DE＝8－3＝5， ∴S△BDE＝ AB×DE＝ ×4×5＝10. 数学·八年级上册　 10. 解：【探索新知】大正方形的面积＝（a＋b）2， 小正方形的面积＋4个直角三角形的面积＝c2＋4× ab＝c2＋2ab， 从而得出数学等式：（a＋b）2＝c2＋2ab， 化简证得勾股定理a2＋b2＝c2. 故答案为（a＋b）2，c2＋2ab，（a＋b）2＝c2＋2ab. 【知识迁移】 （1）由题意得空白部分的面积为＝c2－2× ab＝42＋62－2× ×4×6＝52 －24＝28. 数学·八年级上册　 （2）24÷4＝6，设AC＝x，依题意有（x＋3）2＋32＝（6－x）2，解得x ＝1， ∴ ×（3＋1）×3×4 ＝ ×4×3×4 ＝24. 故该飞镖状图案的面积是24. 数学·八年级上册　 $第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时　勾股定理的内容 数学·八年级上册　 1 A. 基础夯实 1. 若直角三角形的两直角边长分别为6 cm和8 cm，则斜边长为（　A　）. A. 10 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm 2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.若∠B＝90°， 则下列等式中成立的是（　C　）. A. a2＋b2＝c2 B. b2＋c2＝a2 C. a2＋c2＝b2 D. c2－a2＝b2 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 3. （2025•深圳实验学校坂田部期中）中国是发现和研究勾股定理最古老的 国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾， 另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理.如图， 小立发现勾是9，股是40，则弦长为（　C　）. A. 7 B. 31 C. 41 D. 49 C 第3题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 4. （2024• 福田区侨香学校月考）如图，课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外 看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过.为 保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”若AB＝ 17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（　A　）. A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 第4题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 5. （2025•龙岗区十校联考月考）中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时， 创造了“赵爽弦图”.如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面 积是（　B　）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 第5题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 6. （2025•龙岗区同乐主力学校月考）如图所示，在Rt△ABC中， AD⊥BC，若AB＝5，AC＝12，则AD＝ ⁠. 第6题图 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 7. 如图，一旗杆在离地面5 m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，则 旗杆折断之前有 m高. 第7题图 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 8. （2025•宝安区孝德学校期末）如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外 侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＋S2－S1＝20，则图中阴影部 分的面积为 ⁠. 第8题图 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 解析：∵Rt△ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴AC2－AB2＝BC2， ∴S3－S1＝S2. ∵S3＋S2－S1＝20， ∴S2＝10. 如图，∵阴影部分的面积为S△ACD＝ CD•BC，△ACD与正方形BCDE等底 等高， ∴阴影部分的面积为 S2＝ ×10＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边. （1）若a＝3，b＝4，则c＝ ⁠； （2）若b＝5，c＝13，则a＝ ⁠. 5 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，求AC的长. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理，得 AC2＝AB2－BC2＝152－92＝144，所以AC＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 B. 能力提升 11. 如果一直角三角形的三边长分别为3，4，a，那么以a为边长的正方形的 面积为（　D　）. A. 25 B. 7 C. 5 D. 25或7 12. 直角三角形的两直角边均扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来 的 倍. 13. 已知一直角三角形木板，三边的平方和为1 800 cm2，则斜边长为 ⁠. D 3 30cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 14. 如图，已知∠B＝∠D＝90°，AD＝24，DC＝7，AB＝20，求BC的 长. 解：如图，连接AC. 在Rt△ADC中， ∵AD＝24，DC＝7， ∴AC2＝AD2＋DC2＝242＋72＝625， ∴AC＝25. 在Rt△ABC中，∵AB＝20， ∴BC2＝AC2－AB2＝625－400＝225， ∴BC＝15，故BC的长为15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 C. 拓展思维 15. （2025•宝安中学初中部月考）如图，△ABC与△ACD均为直角三角 形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝6，AB∶BC＝5∶3，点E是BD 的中点，求AE的长. 解：如图，延长AE交BC的延长线于点F， ∵∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴AD∥BF， ∴∠DAE＝∠F. ∵点E是BD的中点， ∴DE＝BE. 在△DAE和△BFE中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 ∴△DAE≌△BFE（AAS）， ∴BF＝AD＝6，AE＝FE. ∵AD＝2BC＝6，∴BC＝CF＝3. ∵AB∶BC＝5∶3，∴AB＝5. ∵∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16，∠ACF＝90°， ∴AC＝4. 在Rt△ACF中，由勾股定理得AF2＝AC2＋CF2＝42＋32＝25， ∴AF＝5， ∴AE＝FE＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·八年级上册　 1. A　2.C　3.C　4.A　5.B　6. 　7.18 8.5　解析：∵Rt△ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴AC2－AB2＝BC2，∴S3－S1＝S2. ∵S3＋S2－S1＝20，∴S2＝10. 如图，∵阴影部分的面积为S△ACD＝ CD•BC，△ACD与正方形BCDE等底 等高， ∴阴影部分的面积为 S2＝ ×10＝5. 数学·八年级上册　 9. （1）5　（2）12 10. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理，得 AC2＝AB2－BC2＝152－92＝144，所以AC＝12. 11. D　12.3　13.30 cm 14. 解：如图，连接AC. 在Rt△ADC中， ∵AD＝24，DC＝7，∴AC2＝AD2＋DC2＝242＋72＝625，∴AC＝25.在 Rt△ABC中，∵AB＝20，∴BC2＝AC2－AB2＝625－400＝225，∴BC＝15， 故BC的长为15. 第14题图 数学·八年级上册　 15. 解：如图，延长AE交BC的延长线于点F， ∵∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴AD∥BF，∴∠DAE＝∠F. ∵点E是BD的中点，∴DE＝BE. 在△DAE和△BFE中， ∴△DAE≌△BFE（AAS），∴BF＝AD＝6，AE＝FE. ∵AD＝2BC＝6，∴BC＝CF＝3. 第15题图 数学·八年级上册　 ∵AB∶BC＝5∶3，∴AB＝5. ∵∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16，∠ACF＝90°， ∴AC＝4，在Rt△ACF中，由勾股定理得 AF2＝AC2＋CF2＝42＋32＝25，∴AF＝5， ∴AE＝FE＝ . 第15题图 数学·八年级上册　 $