第一章 勾股定理【章末复习】（ 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理及其逆定理的核心内容，通过对比表格明确两者区别与联系，结合知识体系总结构建“定理-判定-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成完整的直角三角形知识网络。 其亮点在于以“问题转化”为核心，设计四大必考题型分层训练，如立体图形展开最短路径问题培养空间观念，折叠问题通过设未知数列方程发展推理意识。易错总结针对性解决学生痛点，助力教师精准教学，提升学生用数学语言表达和解决实际问题的能力。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 章末复习 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 同步精讲+习题（北师大版八年级上册） 一、核心解题思想 勾股定理应用的核心思路：把实际问题转化为直角三角形模型。生活中的距离、高度、最短路径、折叠、航行问题，大多无直接直角三角形，需要通过作辅助线、展开立体图形、利用折叠性质，构造出直角三角形，再借助 $$a^2+b^2=c^2$$ 求解边长。 二、四大必考经典题型 题型1：立体图形最短路径问题（展开法） 圆柱、长方体表面最短路径，解题关键：立体转平面，将立体图形侧面展开为长方形，两点之间线段最短，构造直角三角形求解。 核心：展开后直角边分别为立体图形的高、底面周长的一半或底面边长。 题型2：折叠问题（边长不变法） 矩形、三角形折叠问题，核心性质：折叠前后对应边长相等、对应角相等。通常设未知边长为$$x$$，用含$$x$$的式子表示直角三角形三边，列勾股方程求解。 题型3：航海与方位角问题 利用“南北、东西方向互相垂直”，直接构造直角三角形，结合方位角确定两条直角边长度，求两点直线距离。 题型4：梯子、竹竿高度问题 经典靠墙模型，墙与地面垂直，天然形成直角三角形，梯子、竹竿为斜边，移动前后斜边长度不变，通过勾股定理求高度、底部移动距离。 三、基础填空题 1. 解决立体图形最短路径问题的核心方法是将立体图形________，转化为平面图形求解。 2. 折叠问题的核心性质是折叠前后________相等，据此设未知数列方程解题。 3. 一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子底部距墙面6m，则梯子顶端距地面________m。 四、选择题 1. 长方体表面最短路径问题，最终依据的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 三角形三边关系 D. 勾股逆定理 2. 一艘船先向正东航行8km，再向正北航行6km，此时船距离出发点直线距离为（ ） A. 10km B. 12km C. 14km D. 16km 五、解答应用题（考试高频题型） 1. 一架长25m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙7m。若梯子顶端下滑4m，求梯子底部水平滑动的距离。 2. 有一个圆柱，高为12cm，底面周长为18cm，一只蚂蚁从圆柱底面一点爬到顶面正对一点，求最短爬行距离。 六、参考答案与解析 填空题 1. 侧面展开；2. 对应边长；3. 8，解析：$$\sqrt{10^2-6^2}=8$$。 选择题 1. B 解析：立体展开为平面，依据两点之间线段最短求最短路径。 2. A 解析：正东正北垂直，$$8^2+6^2=10^2$$，直线距离10km。 解答题 1. 解：初始状态，墙高$$\sqrt{25^2-7^2}=24\mathrm{m}$$。顶端下滑4m后，新高度为$$24-4=20\mathrm{m}$$。此时梯子底部距墙$$\sqrt{25^2-20^2}=15\mathrm{m}$$。滑动距离：$$15-7=8\mathrm{m}$$。答：梯子底部滑动8米。 2. 解：将圆柱侧面展开为长方形，长方形高12cm，底面半周长9cm。最短距离为斜边：$$\sqrt{12^2+9^2}=15\mathrm{cm}$$。答：最短爬行距离为15cm。 七、本节易错总结 1. 立体图形展开错误，找错直角边长度，混淆底面周长和半周长； 2. 梯子滑动问题只算最终距离，忘记减去初始距离，漏求滑动差值； 3. 折叠问题不会设未知数，无法利用边长不变构造方程； 4. 忽略方位角垂直关系，无法构造直角三角形解题。 运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题. 能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题. 灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题，培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题能力. 勾股定理 勾股定理 的逆定理 直角三角形 验证方法 已知两边 求第三边 判定直角三角形 判定勾股数 判定垂直 一、勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c， 那么 a2 + b2 = c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用！ 已知 Rt△ABC 的两直角边长分别是 3 和 4，则它的斜边长是 . 5 勾股定理的应用条件： 二、勾股定理的逆定理与勾股数 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 +b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c，称为勾股数. 勾股数 三、勾股定理与勾股定理的逆定理的比较 以“一个三角形是直角三角形”为条件，得出三角形三边有 a2 + b2 = c2 关系式成立. 以一个三角形的三边 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2 为条件，得出这个三角形是直角三角形的结论  都与三角形三边有关；  都与直角三角形有关 勾股定理 勾股定理的逆定理 区 别 联 系 1. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为 1 cm，一只蚂蚁沿图中 所示的折线由点 A 处爬到了点 D 处，它一共爬行了多少厘米？ 解：由勾股定理得 AB2= 32+42，AB= 5 cm， BC2=52+122，BC= 13 cm， CD2=82+62，CD= 10 cm， 折线长为5+13+10=28（cm）， 即蚂蚁一共爬行了28 cm。 随堂练习 【教材P20 复习题 第2题】 2. 如图，BC 长为 3 cm，AB 长为 4 cm，AF 长为 12 cm。 求正方形 CDEF 的面积。 解：在Rt△ABC中，AC2 = AB2 + BC2 = 42+32 = 25，AC = 5 cm； 在 Rt△FAC中，FC2 = AF2 + AC2 = 122+52 = 169， FC = 13 cm； 正方形 CDEF 的面积为FC2 = 132 = 169（cm2）， 即正方形 CDEF 的面积是169 cm2。 随堂练习 【教材P20 复习题 第3题】 3. 如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？ 解：两直角边上的半圆面积之和等于斜边上半圆的面积。（设直角三角形三边长分别为a，b，c，则三个半圆面积分别为 ） 随堂练习 4. 据传，当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了 勾股定理，请你说说其中的道理。 解：两图面积相同，而前者由 4 个三角形和边长为c的正方形组成， 后者由 4 个三角形和边长为a，b 的两个正方形组成，因此边长为 c 的 正方形面积等于边长分别为 a，b 的两个正方形面积的和。（答案不唯一） 【教材P20 复习题 第4题】 随堂练习 5. 据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个人同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结，另两个人分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角顶点在第 4 个结处。请你说说其中的道理。 解：实际上这样得到了一个三边依次为 3，4，5 的三角形，由 32 + 42 = 52 可知，这是一个直角三角形。 【教材P20 复习题 第5题】 随堂练习 6. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为 1。 （1）在方格纸上，以线段 AB 为边画正方形，求所画正方形的面积，并解释你的计算方法； 解：面积为 53 个单位。可以构造一个直角三角形，它的斜边为 AB，直角边长分别为 2 和 7，利用勾股定理可得 AB2 = 22 + 72。 【教材P21 复习题 第6题】 随堂练习 可以利用 5 = 22 + 12，10 = 32 + 12， 13 = 22 + 32 构造正方形。 （2）请在方格纸上分别画出面积为 5 ，10，13 的正方形。 随堂练习 考点1 勾股定理 1.如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB的长为(　　) A.20　　 B.25　　 C.35　　 D.30 返回 (第1题) B 核心考点整合 考试考法 2.［2026烟台期中］如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝90°，过点A作AE⊥BD于点E，若DE＝2，AE＝8，则BC的长为(　　) A.10　　 B.12　　 C.14　　 D.16 返回 (第1题) A 核心考点整合 考试考法 【点拨】因为∠ABC＝90°，所以∠ABE＋∠CBD＝90°.因为AE⊥BD，所以∠AEB＝90°，所以∠ABE＋∠BAE＝90°.所以 ∠BAE＝∠CBD.在△AEB和△BDC中， 返回 (第1题) 核心考点整合 考试考法 所以△AEB≌△BDC，所以AE＝BD，BE＝DC.因为DE＝2，AE＝8，所以DC＝BE＝BD－DE＝8－2＝6.在Rt△BDC 中，BC2＝BD2＋DC2＝100，所以BC＝10.故选A. 返回 (第1题) 核心考点整合 考试考法 3.［2026保定期中］如图所示，E为长方形ABCD的边BC上的一点，将长方形ABCD沿直线DE折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点F处.已知AD＝8，BE＝3，则图中阴影部分的面积为(　　) A.10　　　 B.20　　　 C.30　　　 D.40 返回 C 核心考点整合 考试考法 【点拨】因为四边形ABCD是长方形，所以AD＝BC＝8，AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝90°.所以CE＝BC－BE＝8－3＝5.因为将长方形ABCD沿直 返回 线DE折叠，所以DC＝DF，CE＝EF＝5，∠DFE＝∠C＝90°，在Rt△BEF中，由勾股定理得BF＝4.在Rt△ADF中，AD2＋AF2＝DF2，所以64＋(AB－4)2＝AB2，所以AB＝10，所以AF＝6，所以阴影部分的面积为×6×8＋×3×4＝30. 核心考点整合 考试考法 4.［黄冈市竞赛］如图，在直线l上依次摆放七个正方形，已知斜放的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4＝(　　) A.5　　 B.4　　 C.6　　 D.16 返回 C 核心考点整合 考试考法 【点拨】根据题意易得△ABC≌△BDE，所以AC＝BE.根据勾股定理得，DE2＋BE2＝BD2，所以DE2＋AC2＝BD2，所以S1＋S2＝1.同理可得S2＋S3＝2，S3＋S4＝3，所以S1＋2S2＋2S3＋S4＝1＋2＋3＝6. 返回 核心考点整合 考试考法 考点2 直角三角形的判定 5.下列由三条线段a，b，c构成的三角形ABC中：①∠A＋∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k(k＞0)；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a＝m2＋1，b＝m2－1，c＝2m(m为大于1的整数)，其中是直角三角形的是(　　) A.①④　　 B.①②④ C.②③④　 D.①②③ 返回 B 核心考点整合 考试考法 6.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是(　　) A.AB2＝20　 B.∠BAC＝90° C.△ABC的面积为10 D.点A到直线BC的距离是2 返回 C 核心考点整合 考试考法 7.如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BD＝5，CD2＝125，连接BC. (1)求BC的长； 返回 【解】因为在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，所以BC2＝AB2＋AC2＝100，所以BC＝10. 核心考点整合 考试考法 (2)求△BCD的面积. 返回 【解】因为BC＝10，BD＝5，CD2＝125， 所以BC2＋BD2＝102＋52＝125＝CD2， 所以△BCD是直角三角形，且∠CBD＝90°， 所以△BCD的面积为BD•BC＝×5×10＝25. 核心考点整合 考试考法 勾股定理　 直角三角形边 长的数量关系　　 勾股定理 的逆定理　　 直角三角 形的判定　　 互逆定理 课堂小结 $