精品解析：江苏连云港市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷

2025～2026学年第二学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】联立解得，所以. 2. 若复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 3. 4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据乘法原理计算得到答案. 【详解】每个学生有3种选择，根据乘法原理共有种不同方法. 故选：. 【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题. 4. 已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，若经验回归方程为，则表格中的数据的值为（ ） 0 1 3 4 2.2 4.3 6.7 A. 2.4 B. 4.2 C. 4.8 D. 9.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本中心点计算求解参数. 【详解】计算得， 经验回归直线过样本中心点， 因此， 由，解得. 5. 被5除所得的余数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由利用二项式定理展开，分析得出结果. 【详解】因为 故， 因是正整数，所以被除所得的余数是. 6. 某中学对100名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示．根据此列联表中的数据可以求得，则（ ） 主动预习 不太主动预习 合计 学习兴趣高 36 14 50 学习兴趣一般 12 38 50 合计 48 52 100 参考公式：，其中． A. 240 B. 280 C. 300 D. 320 【答案】C 【解析】 【分析】根据列联表确定卡方公式中各参数的取值，代入公式计算后对比已知的即可求得. 【详解】由表格可知，，，，，总样本量， 则， 解得. 7. 已知，则的值为（ ） A. 220 B. 450 C. 455 D. 715 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等式两边的常数10确定，再根据二项式系数的性质，即可求得. 【详解】由题可知，等式左边每一个二项式展开之后常数项均为1，等式右边常数项为10， 则左边展开共有10个1，则由可得， 因为为的系数，所以结合等式左边，可得， 则. 8. 五一期间，4名女生5名男生到花果山景区游玩．在景区门口，9人排成一队进入景区，则在男生中，男生甲最先进入景区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为题目求男生甲最先进入景区的概率，与女生顺序无关，只需考虑男生， 所有男生的相对顺序共有种，男生甲最先进入景区，则剩下男生的相对顺序共有种， 所以男生甲最先进入景区的概率为. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，表示三个不同的平面，表示一条直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据面面平行和面面垂直的判定定理和相关结论逐一分析判断即可. 【详解】选项A：若，，与可能平行，也可能相交（例如平行于和的交线时，两平面相交），故A错误； 选项B：根据面面平行的判定结论，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故B正确； 选项C：根据面面平行的传递性，平行于同一个平面的两个平面互相平行，故C正确； 选项D：若，，与可能平行，可能相交，且相交时夹角不一定为（例如正方体中两个相对的侧面都垂直于底面，二者平行），故D错误. 10. 若口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同．下列说法正确的是（ ） A. 采取放回抽样方式，先后两次各摸出一球，则两个球颜色不同的概率为 B. 先后两次从中不放回地各摸出一球，则两次摸到的均为黑球的概率为 C. 先后两次从中不放回地各摸出一球，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为 D. 从中不放回地摸球，每次各摸一球，则第三次才摸到黑球的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由古典概型公式，结合摸球实验中放回和不放回的情况，即可分别求出四个选项中对应事件的概率，进而判断正误. 【详解】解：选项A，由采取放回抽样方式，先后两次各摸出一球，则两个球颜色不同， 则有两种情况，第一次白球第二次黑球和第一次黑球第二次白球， 所以概率，A正确； 选项，不放回地摸球两次，两次摸到的均为黑球的概率为，B正确； 选项C，由第一次摸到黑球且不放回，则第二次摸球时有2个黑球和7个白球， 所以第二次摸到黑球的概率，C错误； 选项D，由不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球，则说明前两次摸到的均是白球， 所以概率，D正确. 11. 设正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，，分别是线段，上的动点．下列说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面为四边形 B. 存在，使得异面直线与所成的角为 C. 点到平面的距离为 D. 平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可判断A，由异面直线夹角的计算方法可判断B，由等体积法计算点到平面的距离可判断C，由线面垂直的判定定理和性质定理可判断D. 【详解】如图， 连接，，由，可知平面截正方体所得截面为梯形，故A正确； 如图， 中点记为点，连接， 由，则异面直线与所成的角为或其补角， 当点位于点时，有，，， 则， 当点位于点时，有，，， 则，故， 而，所以不存在，使得异面直线与所成的角为，故B错误； 如图， 连接，设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 由，可得，， 又， 则，， 同理可得， 则，， ，代入可得，故C正确； 如图， 由，，平面，平面，， 可得平面，又平面，所以，同理，， 平面，平面，，所以平面，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设随机事件，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率的计算公式，可得，根据题意，代入数据计算可得答案． 【详解】由条件概率的计算公式，可得, 故答案为. 【点睛】本题考查条件概率的计算公式，是基础题；需要牢记条件概率的公式． 13. 如果随机变量，且，则________． 【答案】 0.2## 【解析】 【详解】随机变量，且， 则． 14. 已知球为棱长为2的正方体的内切球，若在正方体内作一个小球，使它与球外切，同时与正方体的三个面都相切，则小球的半径为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设球的半径为，由题意可得方程，解方程即可求解. 【详解】如图，过作平面，过作平面，显然点均在线段上， 因球为棱长为2的正方体的内切球，则球的半径为1，设球的半径为， 则，，，， 在线段上取，显然四边形是平行四边形，则，，， 所以，即，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在1，2，3，…，9这9个自然数中， （1）若任取2个不同的数，求这2个数中恰有1个奇数的概率； （2）若任取3个不同的数，设为所取的3个数中奇数的个数，求的分布列． 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】(1)古典概型题目，用“一奇一偶组合数除以总组合数”计算概率，分清奇偶是关键； (2)X服从超几何分布，先确定取值范围，再套用超几何概率公式分别算对应概率，最后列表. 【小问1详解】 1到9共包含5个奇数，4个偶数，任取2个不同的数的总基本事件数为，恰有一个奇数包含的基本事件数为，因此所求概率为： 【小问2详解】 任取3个不同的数时，的可能取值为0,1,2,3，总基本事件数为，分别计算各取值对应的概率： ；；；； 则分布列为： 0 1 2 3 16. 已知正项等比数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若随机变量满足，，…，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列基本量的运算，得到，再求通项即可； （2）设，数列的前项和为，根据错位相减法求出，再结合题意即可得到． 【小问1详解】 ，则，解得（负值已舍）， ，解得， ； 【小问2详解】 设，数列的前项和为， ， ， ，时，， 又随机变量满足，， 所以． 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再对实数分两类讨论：和，并结合导数与函数单调性关系可得； （3）对不等式进行参数分离可得，再构造函数，利用导数求函数的最大值可得. 【小问1详解】 当时，，函数定义域为， 所以， ，切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数，函数定义域为， 所以， 因为，故，导数符号由决定，分情况讨论： 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由不等式化简得：，因，变形得：. 所以对，不等式恒成立. 令，求导得， 当时，，，故，在上单调递减， 因此的最大值为， 故， 即的取值范围为. 18. 已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若点的坐标为，求直线的方程； （3）若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2） （3）由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【解析】 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【小问1详解】 将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. 【小问2详解】 设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱台中，平面，，，，，． （1）证明：平面； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由； （3）设为平面内一点，为的中点，，且．若直线与平面的交点为，求点到平面距离的最小值． 【答案】（1）连接， 在四棱台中，， 又，，所以， 又，则， 所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面； （2）直线与垂直，理由如下： 因为平面，，以为原点建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，，， 所以，，， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定即可证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，得到，，再根据向量法可证垂直； （3）设的坐标为，根据椭圆的定义可得，设，再利用向量共面的基本定理可得，令，进而得到，然后利用空间向量法求点到平面的距离即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上述坐标系中，设的坐标为， 因为为的中点，且，则，即， 又因，所以的轨迹是以为两焦点的椭圆， 由,得,故的轨迹方程为. 因为直线与平面的交点为，所以在直线上， 则存在，使， 得， 又在平面内，得， 即，得 ， 所以，得， 因为，令， 则 ，即 因为，所以， 又，平面， 所以平面，则平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离，因 所以当时，取最小值，即， 所以点到平面距离的最小值为． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定，利用空间直角坐标法判定空间直线的位置关系，同时涉及椭圆的定义，利用坐标法得到点在直线上的变化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. ， B. C. D. 2. 若复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，若经验回归方程为，则表格中的数据的值为（ ） 0 1 3 4 2.2 4.3 6.7 A. 2.4 B. 4.2 C. 4.8 D. 9.6 5. 被5除所得的余数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某中学对100名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示．根据此列联表中的数据可以求得，则（ ） 主动预习 不太主动预习 合计 学习兴趣高 36 14 50 学习兴趣一般 12 38 50 合计 48 52 100 参考公式：，其中． A. 240 B. 280 C. 300 D. 320 7. 已知，则的值为（ ） A. 220 B. 450 C. 455 D. 715 8. 五一期间，4名女生5名男生到花果山景区游玩．在景区门口，9人排成一队进入景区，则在男生中，男生甲最先进入景区的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，表示三个不同的平面，表示一条直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 若口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同．下列说法正确的是（ ） A. 采取放回抽样方式，先后两次各摸出一球，则两个球颜色不同的概率为 B. 先后两次从中不放回地各摸出一球，则两次摸到的均为黑球的概率为 C. 先后两次从中不放回地各摸出一球，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为 D. 从中不放回地摸球，每次各摸一球，则第三次才摸到黑球的概率为 11. 设正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，，分别是线段，上的动点．下列说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面为四边形 B. 存在，使得异面直线与所成的角为 C. 点到平面的距离为 D. 平面 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设随机事件，，，则_______． 13. 如果随机变量，且，则________． 14. 已知球为棱长为2的正方体的内切球，若在正方体内作一个小球，使它与球外切，同时与正方体的三个面都相切，则小球的半径为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在1，2，3，…，9这9个自然数中， （1）若任取2个不同的数，求这2个数中恰有1个奇数的概率； （2）若任取3个不同的数，设为所取的3个数中奇数的个数，求的分布列． 16. 已知正项等比数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若随机变量满足，，…，求． 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求的取值范围． 18. 已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若点的坐标为，求直线的方程； （3）若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 19. 如图，在四棱台中，平面，，，，，． （1）证明：平面； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由； （3）设为平面内一点，为的中点，，且．若直线与平面的交点为，求点到平面距离的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $