四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末模拟四数学试卷

宜宾市一中2024级高二下期模拟四 数学试卷 命题人：周峰 审题人：冯平 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1.下列运算不正确的是（) A.(sinx)'=cosx Bogj-应 c.(2)=2*h2 D.(cosx)'=sinx 2.调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=-0.91, 根据最小二乘法算得：=-1.17x+1370.7,下列说法正确的是() ◆候鸟个数 0 温度 A.y与x负相关 B.当x=10时，y一定为1359 C.当x=10时，y一定小于1359 D.两变量无线性关系 3.曲线y=5x+8山x在点(1,5)处的切线方程为() A.y=3x+2 B.y=5x C.y=8x-3 D.y=13x-8 4.二项式 2x+二 展开式中的常数项为( A960 B.160 C.-160 D.-960 5.若随机变量X~B(4,),则P(X=3)=( A 32 1 e品 6.某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A,B,C,D四所农村小学支教，用实际行动支 持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小 学都能去，则不同的安排方案的种数是() A.72 B.78 C.126 D.240 若款事件么B满起P(4)-治P(@-子P(u+B)=子，则P(4=() B.8 c 1 D.8 第1页/共4页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 8.已知函数f(x)=x2+2cosx,则f(-2),f(1),f(3)的大小关系是（) A.f(1)>f(-2)>f(3) B.f(I)>f3)>f(-2) C.f(3)>f()>f(-2) D.f(3)>f(-2)>f(1) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知袋装食盐标准质量为400g.设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X,Y，且 x~N(0,2),Y~N(0,32),则() A.P(X≤-2)+P(X<2)=1 BP(0≤Y<3)+P≤-3)>号 C.P(Y>0)=P(x<0) D.P(X≤2)>P(Ys2) 10.已知函数f(x)=sinx+cosx,x∈(0,2m),则() A.∫(x)有唯一极值点 B.f在到 单调递增 cf倒的最大值为至 D.f(x)在x=π处的切线方程为y=-1 11.已知函数f(x)=x2+axe*-ae2“有三个不同的零点x1,x2,x(其中片<x2<为)，则（) 1 A.a的值可以为一4 B.0<a< e(e-) C.2+为>2 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若随机变量5~B(3,p),且E(5)=1,则p= 13.有3台车床加工同一型号的零件，第1、23台车床加工的次品率依次为5%、4%3%，加工出来的零件 混放在一起，已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的20%、30%、50%，任取一个零件，则它 是次品的概率为 14.已知直线1：y=x+b是函数f(x)=ax2(a>0)与函数g(x)=e的公切线，若(1，f(1)是宜线1与函 数f(x)相切的切点，则a= 第2页/共4页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步豫 15、某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时 间”与“对应频率”的频率分布直方图： 频率 个组距 0.02 0.02 0.015 0.01 0.005 345355365375385395405415425时间/天 (1)求第一四分位数和中位数： (2)设p为首次故障时间小于365天的概率估计值. (i)求p: (ⅱ)已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数， 若x~B(100,),求E(X）和D(X) I6.如图，在三棱锥A-BCD中，点E在BD上，AE上CE,AE⊥DE,CD⊥AD、 0 (1)求证：CD⊥AB; (2)若DE=2,BE=1,AE=√2，CD=2W3.求直线AD与平面ABC所成角的正弦值、 第3页共4页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 17.已知数列{a}中，a=2,且a灯=21+2a（neN) (1)求证：数列 2 }为等差数列： (2),求数列{a。}的前n项和S 18.已知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点，P是抛物线E上一点，.且PF的最小值为1. (1)求B的方程； (2)过F的直线l与E交于A,B两点，过原点O作直线1的垂线1'交E于点C(异于点O).当四边形OACB 的面积为16√2时，求直线AB的方程. 19已知弱数e倒-兰+x-oir-1l6∈R (1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程： (2)若函数f(x)有两个零点，记作x,x2: (i)求参数a的取值范围： ()若0<3x≤x2,证明：x·≥243 第4页/供4页 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 宜宾市一中2024级高二下期第四模拟 数学试卷（答案） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.D.2.A.3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8D 9.ACD 10.BC.11.BCD.12. 13.0.037 8.【详解】已知f(x)=x2+2cosx,函数定义域为R关于原点对称，则 f(-x)=(-x)2+2cos(-x)=x2+2cosx=f(x),即，f()为偶函数.所以f(-2)=f(2). 求导：f(x)=2x-2sinx=2(x-sinx). 当x≥0时，x≥sinx,故x-sinx≥0，即f(x)≥0. 所以f(x)在x≥0时单调递增. 所以f3)>f(2)>f(1),又f-2)=f(2),则f3)>f(-2)>f(1)故选：D. 10.【详解】由f(x)=xsinx+cosx,得f'(x)=sinx+xcOSx-sinx=xCOSx, 令f(倒=0，则x=号或x=3 2 ， 所以当0<x<受或<x<2元时，f>0: 2 当<x<时，f<0. 所以在引上，在上在2上 所以当x=时，f取得极大值 当x=3时， fx)取得极小值 因为2加2r+6o2=1长受所议代冈的最大恤为分 π ∴f"(π)=πc0Sπ=-π， 又f(π)=元sin元+cos兀=-1， “.函数f)在点（π，f(π）处的切线方程是y+1=-π×(x-π)，即x+y-π2+1=0. 故AD错误；故选：BC 第1页/供8页 ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 11.【详解】函数f(x)=x2+are-ae2:有三个不同的零点x1,X2,为3（其中<为2<为）， 即方程x2+e-ae2产=0有三个不同的实数根X,X2,为（其中x<x2<3), 等价于方程 。三Q=0有三个不同的实数根X,,为（其中为<为<） 令。=8()=言xeR共中g()=。 令g(x)>0,则x<1;g(x)<0,则x>1, 即g(x)在(-∞，1)上单调递增，在(+o)上单调递减， 其中80)=0，g(x)=g)=。,且当x>0时，)>0恒成立，可得函数的大致图象， 由题知， 方程 则需要t2+at-a=0有两个不同解4,2(<2)， 所以△=a2+4a>0,即a>0或a<-4,A选项错误； 则有5+t2=-a,1+12=-a, 当a<-4时，1+t2=-a>4,t2=-a>4, 又因为8（回=g(0-日，即m日，所以4+5<子<4与+5=-0>4牙盾， 所以a<-4不符合题意，故舍去. 当a>0时，5+5=-a<04华=-a<0,则<0<4<。 则对应x的关系有x<0<2<1<,且应满足g(x)=g(x)=t2,如图所示， gu)- e X3 y=t 第2页/供8页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 5+60且纺=a,则2+5=0，即0子左 t2. -11-12 令0-后0-y2+0<则-c1-11, 由时与两数y=x+在Q上单训适流，则p间=0-小-2+在和)上举网送， p0<目e)所<a 1 e(e-1) ,B选项正确； 5<0<<1<,所以2-为>1， 8(s)-82-)=8()-g2-5)-点-2点 ex e2- ◆=20<x<,Y0-ee2, e.e2- 当0<x<1时，1-x>0,e2-x-e>0,ee2-x>0, 所以在(0,1)上W(x)>0,u(x)单调递增，所以u()<u()=0, 所以g(x)-8(2-x)<0,即g(s)<g(2-), 又g(x)在(1，+∞)上单调递减，所以为>2-，即x+为>2，故C选项正确； 由5+4=-a且t2=-a,则有 〔1急j〔-301春=-0-----4 =[2-(么+h)+1]=(-a+a+1)2=1,D选项正确.故选：BcD 14.【详解】fx)=2(a>0),∴f'(x)=2ac,1,f(1))是直线1与函数f)相切的切点， ∴.k=f'()=2a,f()=a,∴a=2a+b,…b=-a,即直线l的方程为y=2am-a, g(x)=e,∴g(x)=e,设y=2ax-a与g(x)=e*的切点坐标为(x,), k=e函，%=e切线方程为y-e西=k(x-x),即y=e而x-ew。+eo, 2a=6,0=-%+解得名=号2a6,a=2.放答案为： 第3页/供8页 ▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣5 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.【答案】(1) 由直方图可知，[345,365]的频率为0.015×10=0.15<0.25， [345,375的频率为0.035×10=0.35>0.25， 故第一四分位数在365,375]上，设为x,则(x-365)×0.02+0.15=0.25,解得x=370; [345,375]的频率为0.035×10=0.35<0.5， [345,385]的频率为0.06×10=0.6>0.5， 故中位数在[375,385]上，设为y,则(y-375)×0.025+0.35=0.5,解得y=381: 故第一四分位数为370，中位数为381； 【小问2详解】 由直方图可知，小于365天的频率为(0.005+0.01)×10=0.15，故=0.15， 根据二项分布的期望和方差公式， E(X)=100×0.15=15,D(X)=100×0.15×0.85=12.75 16.【答案】(1)让明： 因为AE⊥CE且AE⊥DE,CE∩DE=E,且CE,DEc平面BCD, 所以AE⊥平面BCD.因为CDc平面BCD,所以AE⊥CD. 又AD⊥CD,AEAD=A,AEC平面ABD, ADC平面ABD,CD文平面ABD, 所以CD⊥平面ABD,故CD⊥AB、 (2)法一：建立空间直角坐标系，求解向量AD和平面ABC的法向量，再结合向量法求解线面夹角：法 【小问2详解】 以D为原点，DE所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D且垂直于平面BCD的直线 为z轴，建立空间直角坐标系， 可得D(0,0,0),C0,2W5,0,E(2,0,0),B(3,0,0). 因为AE⊥DE且AB=√2，所以A2,0,V2) 所以而=(-2,0，-2)，西=1,0，-2)，c=(-2,25,-2) 设平面BC的法向量元=（么以列，则历孤=x-5:=0 元.AC=-2x+25y-V22=01 第4页/共8页 ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 可得x=V2z,令z=2,则：x=2W2,y=V6,即i=(2W2,V6,2: 设AD与平面ABC所成的角为B: AD. -2x22+0+(2)x2 所以sin0= 62=5 啊2r+0+x22+6+26x353 所8AD与平面ABC所成的角为y 3 法=在RMAD8中，AD=B2+DE2-2+2=6, 在Rt△MBE中，AB=VE2+BE=2+1=V5, 由(1)知CD⊥平面ADE,则CD⊥DE,CD⊥AD 在RIABDC中，BC=VBD2+CD=V32+25=Vi. 在RtaADC中，AC=√AD2+CD2=√6+12=3W2 AB2+AC2=(N5+32=21=BC2, aM8c为直角三角影，则Sc-B,4C=X5x3万= 2 设点D到平面ABC的距离为h,AD与平面ABC所成角为B, %m=w称8ch时a,即号29a-〔任32)反， 解得：h=2所以si血9=h-2=6 17.【小问1详解】 由a=2+2a,所以2器=2+1→2器-2=1，又4=2，则受=1， 所以数列 an ” 是以1为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 第5页/共8页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 由(1)可知：8=n→a,=n2”, 2为 Sn=a1+a2++an=1×2+2×22+.+n×2”① 则2Sn=22+2×2+..+n×2m+1② 则0-@得：-8n=2+2+2+…+2°-x21=2×1-2 1-2 -nx21, 所以Sn=(n-1)2m1+2. 18.【小问1详解】 由题知，当点P在原点上时，PF列的最小，所以卫=1，所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x 【小问2详解】 设AB方程为x=My+1.A(,片)，B(x2,y2) x=y+1。 由=4红联立得：少-4g-4=0.于是，片+⅓=4m， 于是，为+2=m(以+y2)+2=4m2+2 AB到=x+x2+p=4(m2+1: 直线OC方程为y=-x. -m联立得：m2x2-4x=0.解得x=0或x=4 由{y=4x 于是点c告)所oc=+r产 所以匹达形04c8的图积8-×h叫oC-8矿原中1-16万 m2 即(m2+1)Nm2+1=2W2m2,令t=√m2+1,则m2=2-1>0,所以2>1 于是，t-2√2t2+2W2=0. 第6页/共8页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效尚 即-V22-22+22=(1-2)-V2(-2)=0 即(t-2-2i-2)=0c>)解得4=5或5=5+10 于是，m=1或m=士2+√5 所以直线AB的方程为x=±y+1或x=±√2+√5y+1 19.【小问1详解】 当a=1时，f)=+x-lx-1, 则f创=1g+1-是f0=0. 又：0合因在x=1处的切盆方程为y君 【小问2详解】 ①由题知，f-三+x-adr-1=0在(@，+o)上有两个根名，， -+x-alnx-1=0,ecalmt-*-(alnx-x)-1=0 令g(t)=e-t-1,则g()=e'-1. 当t∈(-∞，0)时，g(t)<0,g(t)单调递减， 当t∈(0，+oo)时，g()>0,g()单调递增， ∴g(t)=g(0)=0, 所以问题转化为alnx-x=0在(0，+o)上有两个根. 易知a≠0，放上=mr 令=6x>0,则we=尘严 ∴当x∈(0，e)时，(x)>0,h(x)单调递增 当xe(e,+o)时，H(x)<0,h(x)单调递减。 第7页/共8页 。夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效百织 又：(e)=是，x∈(0，)时，()<0，x∈)时，()>0， 且x→+o时，h(x)0；x→0时，h(x)→-oo, :0<<,解得a>e,即参数a的取值范围为(e,+o. a e ()由(i)知， ah=为，两式相减得an立=x-x alnx2 =x2 m支 :1=,要证岁≥243，即证lnx+3x,≥1h243=51n3, a x2-X h立 3x2+1 即E名+语-+3)-三（6+3)产5m3即匹立h冬≥53， aaa 五-1为 令t=点∈B,o）,即证3+1m≥5h3在B,)上恒成立 t-1 0-如≥). +1+3nje-)-6+l3￥-2-1-4w ()=t t (t-1)2 (t-1)2 令0=32-2-1-4rt≥3)， t 0=3+24-6--0 t2 )在民四)上单调谴装，间2()-9-43>0，)>0，则（间在民+四上单滑递赠 u()≥u(3)=3x3+n3=5in3,3+r≥5in3,得证，x写≥243. 3-1 t-1 第8页央8页 ▣口 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效