2025-2026年高一数学下学期人教A版必修第二册期末复习卷第九章统计

**基本信息** 以统计知识为核心，融合“擎源”大模型预测、智慧城市AI大赛等科技情境及涌泉蜜桔质检、生态文明调查等现实问题，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数据处理、模型应用与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|普查与抽样方法、百分位数、方差计算|结合随机数表抽样（题2）、新能源汽车质检（题1）考查基础概念| |填空题|3题15分|分层抽样、总体方差估计|以科技公司部门抽样（题12）、学生身高统计（题13）强化数据意识| |解答题|5题77分|频率分布直方图应用、综合统计分析|如蜜桔质检（题18）结合平均质量与等级划分，生态文明调查（题19）融合分层抽样、概率及方差证明，体现模型观念与运算能力|

2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习 第九章统计 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列调查中，适合用普查的是（    ） A．调查全国居民的食品消费结构 B．调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标 C．调查某款新能源汽车电池的使用寿命 D．检查某载人飞船零部件的质量情况 2．某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 3．某工厂生产A，B，C三种不同型号产品，产量之比为．现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中B种型号的产品有24件，则样本容量的值为（     ） A．16 B．40 C．80 D．90 4．已知一组数据为：1，2，2，3，3，3，4，6，8，9，则该组数据的第70百分位数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 6．若一组数据的平均数为2，方差为3，对于数据，，，下列说法正确的是（   ） A．平均数为3，方差为5 B．平均数为4，方差为11 C．平均数为4，方差为12 D．平均数为3，方差为12 7．某段道路在一天中的汽车时速的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（     ） A． B．时速的众数估计值是60 C．时速的中位数估计值是62.5 D．时速的平均数估计值大于其中位数的估计值 8．已知有20个数，平均数为10，方差为，从中取出个数，若取出的数的平均数为10，方差为8，剩余的数的方差为12，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 10．某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（   ） A．成绩落在区间的频率为0.3 B．这100名学生成绩的中位数为75 C．这100名学生成绩的平均数为76 D．成绩低于60分的学生人数为10人 11．若数据：的中位数是；数据：的平均数是.则关于数据：的统计量，下列说法正确的有（    ） A．平均数是 B．中位数是 C．极差可能是 D．方差一定不是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360.现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是________. 13．学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 14．为推进智慧城市建设，某市举办AI应用解决方案大赛，现统计所有参赛选手的成绩并绘制频率分布直方图（如图所示），已知这组的频数是这组频数的2倍．若选取成绩前25%的选手为一等奖获得者，估计一等奖的分数线为______分．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．    (1)求直方图中的值； (2)估计月平均用电量的第50百分位数； (3)已知该城市一共有36万户居民，试估计该市月平均用电量在的用户有多少户？ 16．某地为提升文旅经济，在端午假期面向部分游客发起满意度调查，调查维度包括饮食、住宿、交通、服务等，满意度得分采用百分制且所有参与调查的游客打分均不低于50分，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求的值； (2)估计此次调查中综合满意度得分的众数和上四分位数； (3)估计此次调查中综合满意度得分的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），若参与本次调查的游客共有1200名，估计在参与调查的1200名游客中综合满意度打分不低于平均分的人数． 17．某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1） (3)估计这次数学竞赛中63分以上的人数． 18．台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这批蜜桔的平均质量； (3)若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 19．“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习 第九章统计 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列调查中，适合用普查的是（    ） A．调查全国居民的食品消费结构 B．调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标 C．调查某款新能源汽车电池的使用寿命 D．检查某载人飞船零部件的质量情况 【答案】D 【详解】A选项，全国居民数量庞大，全面调查难度大､成本高，适合抽样调查，A错误； B选项，调查一批袋装牛奶的细菌数具有破坏性，适合抽样调查，B错误； C选项，调查电池使用寿命会对电池造成损坏，适合抽样调查，C错误； D选项，载人飞船零部件的质量关乎飞行安全，必须确保每个零部件都合格，适合用普查，D正确. 2．某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【答案】A 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 3．某工厂生产A，B，C三种不同型号产品，产量之比为．现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中B种型号的产品有24件，则样本容量的值为（     ） A．16 B．40 C．80 D．90 【答案】C 【详解】设样本中A，B，C三种不同型号产品分别有个， 则，解得. 所以样本容量. 4．已知一组数据为：1，2，2，3，3，3，4，6，8，9，则该组数据的第70百分位数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】求百分位数需数据从小到大排列，且求出为第整数位时要取这一位与后一位的平均数. 【详解】由题意可知这组数据有10个，且已经从小到大排列，求该组数据的第70百分位数， ，这组数据的第七位和第八位分别是4，6，其平均数为， 所以该组数据的第70百分位数是5. 5．国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 【答案】C 【详解】由图可知：实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值，A正确； 对于B，差异平均值为，B正确； 由图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确； 对于C，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，C错误． 6．若一组数据的平均数为2，方差为3，对于数据，，，下列说法正确的是（   ） A．平均数为3，方差为5 B．平均数为4，方差为11 C．平均数为4，方差为12 D．平均数为3，方差为12 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的定义列式求解. 【详解】由一组数据的平均数为2，方差为3，得， 因此数据，，的平均数为， 方差为. 7．某段道路在一天中的汽车时速的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（     ） A． B．时速的众数估计值是60 C．时速的中位数估计值是62.5 D．时速的平均数估计值大于其中位数的估计值 【答案】C 【详解】对于A，由频率分布直方图可知，，解得，故A错误； 对于B，由图可知，时速在内的频率最大，所以众数的估计值为，故B错误； 对于C，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内，设中位数为，则，解得，故C正确； 对于D，时速的平均数估计值为，所以时速的平均数估计值小于其中位数的估计值，故D错误. 8．已知有20个数，平均数为10，方差为，从中取出个数，若取出的数的平均数为10，方差为8，剩余的数的方差为12，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】首先计算剩余数据的平均数，根据数据与均值的差的平方和的等量关系列方程求解. 【详解】已知原20个数，平均数为10，所以原20个数的和为， 取出个数，平均数为10，所以这个数的和为， 剩余个数，平均数为， 根据方差公式，为数据个数，为数据平均数， 则数据与均值的差的平方和为， 原20个数的方差为，与均值的差的平方和为， 取出个数的方差为8，与均值的差的平方和为， 因剩余个数的方差为12，与均值的差的平方和为， 所以，即，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 【答案】AD 【详解】选项A，. 选项B，方法一抽取时零件之间没有区别，抽取概率为. 方法二抽取时各分层概率也均为，因此两方法每一个零件被抽取概率相同. 选项C，方法二的分层抽样按照比例从不同级别的样品中抽取比随机抽样更能反映总体的特征. 选项D，和C同理. 10．某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（   ） A．成绩落在区间的频率为0.3 B．这100名学生成绩的中位数为75 C．这100名学生成绩的平均数为76 D．成绩低于60分的学生人数为10人 【答案】AC 【详解】A选项，由频率分布直方图可得区间频率为，A正确； B选项，设中位数为，则，解得，B错误； C选项，平均数为，C正确； D选项，成绩低于60分的学生人数为，D错误. 11．若数据：的中位数是；数据：的平均数是.则关于数据：的统计量，下列说法正确的有（    ） A．平均数是 B．中位数是 C．极差可能是 D．方差一定不是 【答案】ACD 【分析】根据已知条件推导的范围，逐一分析三个结论进行判断. 【详解】对于数据，中位数为：三个数排序后中间项为中位数，可得， 对于数据，平均数为4：，得，因此，结合得， 五个数的总和为：， 平均数，A正确； 五个数从小到大排序，结合和， 可知这五个数从小到大排序为， 中位数是第三个数，当时，，排序为， 此时中位数为4，极差为4，故B错误，C正确； 方差公式：， 代入化简得：，，令，函数对称轴为， 又该函数开口向上，故该函数在区间单调递减， 得，而，不在方差取值范围内，因此方差一定不是，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360.现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是________. 【答案】10 【详解】由题意可知人工智能部门被抽取的人数为，软件开发部门被抽取的人数为， 则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是. 13．学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 【答案】220 【分析】先根据分层抽样的比例求出样本中男、女的人数，再结合已知条件，代入分层抽样的平均数与方差公式计算求解. 【详解】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为， 其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169， 则样本的平均数， 样本的方差， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220． 14．为推进智慧城市建设，某市举办AI应用解决方案大赛，现统计所有参赛选手的成绩并绘制频率分布直方图（如图所示），已知这组的频数是这组频数的2倍．若选取成绩前25%的选手为一等奖获得者，估计一等奖的分数线为______分．    【答案】 【分析】根据频率分布直方图中频数与频率的关系求出的值，利用频率之和为求出的值，确定前选手所在的分数区间，利用面积法计算分数线． 【详解】由频率分布直方图可知，组距为． 组的频率为． 因为这组的频数是这组频数的倍，且样本容量相同， 所以这组的频率是这组频率的倍， 即，解得． 由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，可得： ， 解得． 各组的频率依次为： ：； ：； ：； ：； ：． 因为选取成绩前的选手为一等奖获得者，即求第百分位数． 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 所以一等奖的分数线位于内． 设一等奖的分数线为， 则， 即， 解得，即． 故估计一等奖的分数线为分． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．    (1)求直方图中的值； (2)估计月平均用电量的第50百分位数； (3)已知该城市一共有36万户居民，试估计该市月平均用电量在的用户有多少户？ 【答案】(1) (2)第50百分位数是224 (3)147600（户） 【分析】（1）由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案； （2）第50百分位数左边和右边直方图面积相等，可得答案； （3）利用频率估计月平均用电量为的居民所占比例，即可得答案． 【详解】（1）由题意知， 解得， （2）因为 所以月均用电量的第50百分位数在内，设第50百分位数为 由 解得， 故月均用电量的第50百分位数是224； （3）因为月均用电量在的频率为 所以月均用电量在的用户为（户）． 16．某地为提升文旅经济，在端午假期面向部分游客发起满意度调查，调查维度包括饮食、住宿、交通、服务等，满意度得分采用百分制且所有参与调查的游客打分均不低于50分，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求的值； (2)估计此次调查中综合满意度得分的众数和上四分位数； (3)估计此次调查中综合满意度得分的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），若参与本次调查的游客共有1200名，估计在参与调查的1200名游客中综合满意度打分不低于平均分的人数． 【答案】(1) (2)众数估计为75，上四分位数估计为85 (3)627人 【分析】（1）结合已知根据频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1列式得； （2）上四分位数即第75百分位数，先确定累计频率为0.75所在的区间，然后根据频率列式求解即可； （3）先求出不低于平均分的频率，然后求解人数即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，， 又，解得. （2）由频率分布直方图，本次综合满意度得分的众数估计为， 因为前3组频率之和为0.6，第四组频率为0.3，故上四分位数在， 则上四分位数估计为：. （3）平均分为， 平均分，故不低于平均分的频率为， 则打分不低于平均分的人数估计为人． 17．某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1） (3)估计这次数学竞赛中63分以上的人数． 【答案】(1) (2)估计中位数为77.1，平均数为76.5 (3)855人 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积和为1列方程求解； （2）根据频率分布直方图中中位数左右两侧的矩形面积相等，均为，区间中点乘以相应组的频率可估计平均数，即可求解； （3）首先求出63分以上的频率，进而可得63分以上的人数. 【详解】（1）由题意得，解得； （2）由（1）得成绩落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为， 因为，所以中位数落在上， 则可估计中位数为， 平均数为； （3）设为63分以上的频率，为63分以上的人数， 则，所以， 故63分以上的人数估计为855人． 18．台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这批蜜桔的平均质量； (3)若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 【答案】(1) (2) (3)95克 【分析】(1)根据频率之和为求得. (2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量. (3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值. 【详解】（1）频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10. 因此. 整理得，解得. （2）各组组中值依次为， 对应频率依次为. 因此. 据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克. （3）由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数. 各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为， 区间累计频率为，区间累计频率为. 因此第55百分位数位于区间内， 设该百分位数为，则. 解得，即合格品的质量应不低于95克. 19．“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 【答案】(1)，平均数为；中位数为 (2) (3)（i）证明见解析 （ii）， 【分析】（1）根据频率分布图的频率之和为1，计算即可求得，进而利用平均数与中位数的意义求解即可； （2）按分层抽样从抽取的5人中任抽2人，列举出所有基本事件，再利用古典概型概率公式计算即可求解. （3）（i）利用方差的意义计算即可证明结论； （ii）利用（i）的结论计算即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以平均数为； 因为， 所以中位数在内，中位数为； （2）由在及的人群中按分层抽样抽取5人，因为两组频率之比为， 所以在内抽取了2人，记这两人为，在内抽取了3人，记这三人为， 从中选2人有共10种取法， 其中这两人来自于同一组的取法有共4种取法， 所以这两人来自同一组的概率为； （3）（i）， 又因为，所以， 同理可得， 所以， ，所以， 同理可得， 根据方差的定义可得， 所以， 又 又 ， 又， 所以， 同理， 所以 所以 （ii）年龄在及的人群的比例为， 所以利用分层抽样的方法在及的人群中共抽取50人， 则在的人群中应抽取20人，在的人群中应抽到30人， 则， 所以， . 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $