2025-2026年高一数学下学期人教A版必修第二册期末复习卷第七章复数

**基本信息** 聚焦复数核心知识，融合棣莫弗公式、欧拉公式等数学文化素材，通过纯虚数判断（基础）、复平面轨迹（能力）、三角形式几何意义（创新）的梯度设计，适配高一期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数概念、运算、几何意义|第1题考查纯虚数概念，夯实基础；第8题复平面轨迹问题，提升直观想象| |选择题（多选）|3/18|复数性质、三角形式|第11题结合旋转几何意义，培养数学思维| |填空题|3/15|复数模、方程实根|第14题方程实根问题，强化运算能力| |解答题|5/77|分类讨论、欧拉公式应用|第19题以欧拉公式为背景，三问递进考查概念、方程与最值，发展数学语言表达|

2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习 第七章复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义，列出方程组，再结合选项筛选结果即可． 【详解】由复数是纯虚数， 则，解得，或， 所以结合选项得． 2．设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为，在复平面上对应的点为，位于第一象限，故A正确. 3．已知，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把代入代数式，再对分式分母实数化，化简整个复数，最后找出虚部. 【详解】因为，所以 ， 所以， 该复数的虚部为. 4．若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】解法一：利用求根公式解出z，再求. 解法二：方程的两根为共轭复数，利用韦达定理得，再求. 【详解】方法一： 由，又因为， 可得，所以. 方法二： 设方程的两根为，由，可知， 因为，所以. 5．已知复数和所对应的向量分别是、，则下列结论错误的是（     ） A．对应的复数是 B．对应的复数是 C．的充要条件是存在唯一实数，使得 D．的充要条件是 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义、复数运算与平面向量运算的对应关系，通过逐一验证各选项的等价性即可判断错误结论. 【详解】选项A：复数的加法与向量的加法是对应的，对应的复数就是，A正确； 选项B：复数的减法与向量的减法是对应的，对应的复数就是，B正确； 选项C：的充要条件是存在唯一实数，使得， 这符合复数与向量平行的关系，C正确； 选项D：的充要条件不是，例：设， 它们对应的向量分别是和，互相垂直，但，D错误. 6．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 7．已知是关于的方程的一个根，则实数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助复数性质计算可解出、，即可得解. 【详解】由题意可得，则， 即，故，解得， 故. 8．已知在复平面内，动点与复数对应，则满足等式的点与点间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，即， 可得动点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 则点与点间的距离的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据共轭复数的定义、复数的模的定义、复数的运算法则判断各选项. 【详解】对A，，A错； 对B，，，因此，B正确； 对C，，，C正确； 对D，，所以，D正确. 10．若复数，，则下列命题中正确的是（） A．当或2时，是纯虚数 B．当时， C．当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用复数的基本概念依次分析各选项即可. 【详解】选项A，实部：，解得或. 时，虚部； 时，虚部，此时为实数，不是纯虚数，故A错误. 选项B，当时， ， ， 所以，故B正确. 选项C，复数在复平面内所对应的点在第三象限时， ，解得：，即，故C错误. 选项D，因为，只有实数才能比较大小，因此都必须为实数. 为实数：虚部， 代入，， 满足，故D正确. 11．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（    ） A．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B．若，则 C．复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D．复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 【答案】BCD 【分析】根据题意结合复数的三角表示以及几何意义依次判断即可. 【详解】对于A，已知，则复数可以表示为， 根据题意，，其中为偶数， 当时，，这是实数，不是纯虚数，故A错误； 对于B，已知，则模长，辐角满足，所以， 因此，则，故B正确； 对于C，点对应的复数为，模长，设辐角为，则， 将点绕原点逆时针旋转，相当于将复数乘以， 设旋转后的点为，对应的复数为，则， 对应的点的坐标为，故C正确； 对于D，设直线上任意一点为，对应的复数为，旋转后的点为，对应的复数为， 根据题意，是由顺时针旋转得到的，即是由逆时针旋转得到的， 因此，所以，， 将代入直线方程：，得，化简得， 因此旋转后得直线方程为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数，则＝________________ ． 【答案】 【详解】复数，所以 13．已知复数满足，则的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最小值. 【详解】由，得复数在复平面内对应的点在以为圆心，1为半径的圆上， 又，则表示在复平面内点到点的距离， 所以. 14．设复数满足，使得关于的方程有实数根，则这样的复数的和为__________. 【答案】 【分析】首先设，代入方程，化简为，再分和两种情况求，验证是否成立即可. 【详解】设. 将原方程改为，分离实部与虚部后等价于 ①， ② 若，则，但当时，①无实数解，从而，此时存在实数满足①、②，故满足条件. 若，则由②知， 代入①解得，进而，相应有. 综上，满足条件的所有复数之和为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2)且 【详解】（1）当且，且时，复数为纯虚数， 由，得或， 由，且得且， 所以当或时，复数为纯虚数． （2）当且时，复数为虚数， 解得且，所以当且时，复数为虚数 16．已知复数，其中． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是纯虚数，求实数m的值； (3)若z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】(1)令虚部为计算即可； (2)令实部为，虚部不为计算即可； (3)实部小于，虚部大于计算即可. 【详解】（1）由z是实数，得， 解得或． （2）由z是纯虚数，得， 解得． （3）由z在复平面内对应的点在第二象限， 得， 由，解得； 由，解得或， 所以m的取值范围为． 17．已知复数，其中． (1)设，若是纯虚数，求实数m的值； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，若，求点P坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，根据是纯虚数即可求解； （2）当时求得复平面上对应的点的坐标，利用向量的坐标表示，计算即可求解. 【详解】（1）， 因为是纯虚数，所以且，解得； （2）当时，，故得，，故． 设点，则 ，， 因为，所以，解得 所以点P的坐标为 . 18．已知复数，i为虚数单位． (1)若z是纯虚数，求a； (2)若，求； (3)在（1）的条件下，复数w满足，写出复数w在复平面上对应点的轨迹. 【答案】(1)． (2)答案见解析 (3)以为圆心，以1为半径的圆 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）利用复数的模长公式，即可求解或,进而利用共轭复数的定义求解即可， （3）根据复数的几何意义即可求解. 【详解】（1）若z是纯虚数，则，所以 （2），所以，所以或, 当时，，，                     当时，， （3）由（1）知，                 ∴复数w在复平面上对应点的轨迹为：以为圆心，以1为半径的圆 19．著名数学家欧拉发现并证明了欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位），从而建立了三角函数和指数函数的关系，已知复数． (1)若，将复数表示成（）的形式； (2)若是关于的实系数方程的一个根，求，的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）代入给定角度，利用欧拉公式将其展开为三角函数形式，合并实部与虚部完成化简； （2）法一：将复数的三角形式转换回，结合复数的运算即可求解，法二：利用实系数一元二次方程“虚数根成对共轭出现”的性质找出另一根，随后通过韦达定理即可求解； （3）法一：将复数的三角形式转换回，结合正弦函数的取值范围即可求解，法二：将复数模长的最值问题转化为复平面内单位圆上的动点到定点的几何距离求最大值即可. 【详解】（1）； （2）法一 ，则， 即，故且， 所以，； 法二 为虚数根，所以方程还有另一个根为， 根据韦达定理：， 所以，； （3）法一 ， ， 故． 法二 ，令，， 则可视为单位圆上的点到点的距离， 到圆心的距离，即在单位圆外， 所以，其中为单位圆的半径. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习 第七章复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 5．已知复数和所对应的向量分别是、，则下列结论错误的是（     ） A．对应的复数是 B．对应的复数是 C．的充要条件是存在唯一实数，使得 D．的充要条件是 6．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 7．已知是关于的方程的一个根，则实数的和为（    ） A． B． C． D． 8．已知在复平面内，动点与复数对应，则满足等式的点与点间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 10．若复数，，则下列命题中正确的是（） A．当或2时，是纯虚数 B．当时， C．当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限 D．若，则 11．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（    ） A．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B．若，则 C．复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D．复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数，则＝________________ ． 13．已知复数满足，则的最小值为_________． 14．设复数满足，使得关于的方程有实数根，则这样的复数的和为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围． 16．已知复数，其中． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是纯虚数，求实数m的值； (3)若z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 17．已知复数，其中． (1)设，若是纯虚数，求实数m的值； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，若，求点P坐标. 18．已知复数，i为虚数单位． (1)若z是纯虚数，求a； (2)若，求； (3)在（1）的条件下，复数w满足，写出复数w在复平面上对应点的轨迹. 19．著名数学家欧拉发现并证明了欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位），从而建立了三角函数和指数函数的关系，已知复数． (1)若，将复数表示成（）的形式； (2)若是关于的实系数方程的一个根，求，的值； (3)求的最大值． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $