2025-2026年高一数学下学期人教A版必修第二册期末复习卷(02)

**基本信息** 这份高一数学必修二期末复习卷，以150分120分钟全面覆盖复数、统计、解三角形、概率、立体几何等核心知识，通过五脊殿建筑、零件直径等真实情境，融合空间观念与数据意识，展现知识综合应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数几何意义、百分位数、解三角形、概率公式、立体几何位置关系|单选基础巩固（如复数运算），多选辨析能力（如三角形性质判断）| |填空题|3题15分|复数方程、骰子概率、正四棱台外接球|考查知识迁移（如完全平方数概率计算）| |解答题|5题77分|统计直方图分析、解三角形综合、立体几何证明与二面角|突出综合能力（如统计与概率结合，立体几何面面垂直证明及二面角求解）|

2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习(02) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 2．某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（     ） 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 A． B． C． D． 3．记的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．设，是两个随机事件，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 6．在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线于点.设，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 8．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为的等边三角形，若点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．校园合唱比赛中，高一（4）班演唱结束后，10位裁判分别进行打分，结果如下（满分10分）：9.0，8.8，9.0，9.2，9.3，8.9，8.8，9.0，8.5，9.5；则下列说法正确的是（    ） A．该班的平均得分是9 B．该班得分的第70百分位数是9.1 C．该班得分的方差是0.72 D．若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小 10．在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．若，则 C．若，则 D．若，则为等腰三角形 11．如图，正方体的棱长为2，是侧面内的一点（包含边界），是棱上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（     ）    A．当为的中点时，不存在点，使得平面 B．存在点，，使得平面平面 C．过点，，的平面截正方体所得的截面图形可能为五边形 D．当与重合且时，点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，．若z与（i为虚数单位）是关于x的方程的两根，则__________． 13．随机投掷3枚质地均匀的正方体骰子（6个面的点数分别为），则3枚骰子正面朝上的点数之和为完全平方数的概率为______． 14．一个正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，高为，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设复数，（其中，）． (1)若，求的值； (2)若是关于x的方程的一个根，求实数的值． 16．某学校高一年级举办一次数学竞赛，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数（，，…，）全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)求这50名学生测试分数的第62百分位数； (3)若采用分层抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 17．已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记,. (1)用表示向量； (2)若，且，求证：； (3)设，，求，的值. 18．在中，角，，所对的边分别为，，，且（）． (1)求； (2)若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习(02) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数z在复平面内对应的点为， 可知， 则. 2．某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（     ） 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定第40百分位数在频数分布表中确定对应的数据位置，先计算目标位置，再通过累加频数找到该位置对应的数值. 【详解】首先计算， 根据百分位数的定义，第40百分位数应为这组数据从小到大排列后的第21项数据， 直径为的频数为8，直径为的频数为9，累加频数为17， 直径为的频数为8，累加频数为25，即占据第18个至第25的位置， 因此，这51个零件的直径的第40百分位数为. 3．记的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得角正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得，即，解得， 而，故，， ， 所以． 则． 故选：C. 4．设，是两个随机事件，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，，， ，且三部分互斥， ，故， 解得． 5．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解. 【详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 6．在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线于点.设，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三等分点的向量关系用、表示，代入已知向量关系后，利用三点共线的向量系数性质求解. 【详解】如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，故， 由向量减法的运算法则可得，整理得， 即. 将条件，代入上式，可得， 因为、、三点共线，且与为不共线的非零向量， 根据平面向量共线的充要条件：若（），则， 因此，解得. 7．直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】 将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图 在左图中，由于，，得是等边三角形，故． 在右图中，． 两点之间线段最短，连接，最小为． 8．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为的等边三角形，若点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用矩形与几何体对称性确定底面矩形外接圆圆心、中点与上下中点连线底面，构造等腰梯形算出长度；设球心到底面距离、外接球半径，分球心在线段上、延长线上两种情况，结合列方程求解，第一种情况无解，第二种求出与，最终代入球表面积公式算出结果. 【详解】如图，连接，设. 因为四边形为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心，连接. 则平面，分别取的中点. 根据几何体的对称性可知，直线交于点． 连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以. 连接，在与中，易知. 所以梯形为等腰梯形，所以，且． 设，球的半径为，连接， 当在线段上时，由球的性质可知， 易得，则，此时无解． 当在线段的延长线上时，由球的性质可知： ，解得，所以， 所以球O的表面积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．校园合唱比赛中，高一（4）班演唱结束后，10位裁判分别进行打分，结果如下（满分10分）：9.0，8.8，9.0，9.2，9.3，8.9，8.8，9.0，8.5，9.5；则下列说法正确的是（    ） A．该班的平均得分是9 B．该班得分的第70百分位数是9.1 C．该班得分的方差是0.72 D．若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小 【答案】ABD 【分析】利用平均数，百分位数，方差的定义和性质逐个选项判断即可． 【详解】把得分按从小到大排列：8.5，8.8，8.8，8.9，9.0，9.0，9.0，9.2，9.3，9.5 对于A：平均分为，故A正确 对于B：因为，故第70百分位数为第7个数据与第8个数据的平均数： ，故B正确 对于C：方差为，故C错误 对于D：由于最高分和最低分平均数是9，故平均分不变，去掉后，数据更集中，故方差变小，D正确. 10．在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．若，则 C．若，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】ACD 【分析】对于A选项，结合三角形边角的性质和正弦定理边角互化，分别证明充分性与必要性即可判断；对于B选项，根据角度比例算出三个内角的具体值，再利用正弦定理得到三边的比例关系进行判断；对于C选项，通过正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换求出的值，进而得到角；对于D选项，利用正弦定理将边的平方比转化为正弦平方的比，再结合余弦定理化简，分析角、的关系判断三角形形状. 【详解】选项A，在中，根据大边对大角和正弦定理（为外接圆半径）：， 因此是的充要条件. 选项B，若，结合内角和，得. 由正弦定理，B错误. 选项C，由正弦定理，将化边为角： 左边， 因此原式得， 中，故，又，得. 选项D，由正弦定理，，交叉相乘得，结合余弦定理化简因式分解得：， 因此，即，为等腰三角形. 11．如图，正方体的棱长为2，是侧面内的一点（包含边界），是棱上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（     ）    A．当为的中点时，不存在点，使得平面 B．存在点，，使得平面平面 C．过点，，的平面截正方体所得的截面图形可能为五边形 D．当与重合且时，点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】A选项，通过找到从出发且与平面垂直的直线，与棱相交的交点即为所求的点，由此判断是否存在；B选项，通过面面平行的判定定理判断，位置，根据已有的平行条件和动点所满足的平行条件即可判断是否存在；C选项，当为棱的中点，为棱的中点时，通过作平行线，将在一个平面内与正方体棱相交的点找到，连接起来判断形状即可；D选项，通过构造直角三角形，可知为恒定的值，从而确定点的轨迹，根据轨迹计算轨迹长度即可． 【详解】A选项，如图，连接，因为为的中点，故也是的中点，所以平面即为平面， 根据正方体的性质易得平面，平面，所以，， 又因为，且平面，故平面，所以当与重合时，平面，故A错误； B选项，当为棱的中点，为棱的中点时，易得平面平面， 因为，且平面，平面，故平面； 又因为，平面，平面，故平面； 因为，且平面，故平面平面，故B正确； C选项，当为棱的中点，为棱的中点时， 在上取，使得，在上取，使得； 连接，则，四边形为平行四边形，则； 在内过点作交于点，则； 连接，则同理可证， 则五边形为过点，，的平面截正方体所得的截面图形，故C正确；    D选项，在正方体中，平面，因为平面， 故，因为，且重合，故，， 则； 故点轨迹为以为圆心，以为半径的圆上， 因为，故圆弧与平面交在棱上， 如图所示，则，则， 故； 故点的轨迹长度为，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，．若z与（i为虚数单位）是关于x的方程的两根，则__________． 【答案】 【分析】利用实系数方程的虚根互为共轭复数先求出根的虚部，再结合韦达定理求出m的值. 【详解】设，则， 由题意得，则， 则两根为，， 由韦达定理得， 解得， 且，则， 当时，，当时，， 综上可得，或. 13．随机投掷3枚质地均匀的正方体骰子（6个面的点数分别为），则3枚骰子正面朝上的点数之和为完全平方数的概率为______． 【答案】 【分析】列举出所有可取完全平方数并计算概率总和. 【详解】由题意得可取的完全平方数为. 对于，有效的三元组为，个数为，因此. 对于，有效的三元组为，，，，，， 个数依次为，总个数为，因此. 对于，有，，个数为，因此. 综上所述，. 14．一个正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，高为，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________． 【答案】 【分析】根据正四棱台的结构特征和性质求出球的半径，进而可求出球的表面积. 【详解】设正四棱台上、下底面所在圆面的半径分别为， 所以，.设球心到上底面的距离为，球的半径为， 所以球心到下底面的距离为， 则，解得， 所以该球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设复数，（其中，）． (1)若，求的值； (2)若是关于x的方程的一个根，求实数的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据共轭复数的定义、复数相等的条件求出对应的参数； （2）根据实系数一元二次方程虚根成对的特点，结合韦达定理求解参数. 【详解】（1）由可得，又，即. 解得，因此. （2）依题意，也是方程的根. 由韦达定理，，解得，即； ，即. 当时，；当时，，故的值为. 16．某学校高一年级举办一次数学竞赛，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数（，，…，）全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)求这50名学生测试分数的第62百分位数； (3)若采用分层抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1列式求解. （2）根据各组频率计算累积频率，确定第62百分位数所在的区间，利用线性插值法计算；（3）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数并编号，再利用列举法求出古典概率. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以. （2）由（1）知，分数在的频率为， 分数在的频率为，分数在的频率为， 分数在的频率为. 前三组的累积频率为，前四组的累积频率为， 所以第62百分位数位于区间内. 设第62百分位数为，则，解得. 所以这50名学生测试分数的第62百分位数为80. （3）记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为， 分数在有3人，编号为， 样本空间， 则，记事件“至少一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为. 17．已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记,. (1)用表示向量； (2)若，且，求证：； (3)设，，求，的值. 【答案】(1)，， (2)因为，且， 所以，，， 所以， 所以， 所以，所以； (3)，. 【分析】（1）根据平面向量线性运算结合条件求解即得； （2）根据数量积运算律求，结合向量垂直与数量积关系证明结论； （3）结合条件利用表示可得结论. 【详解】（1）， ， . （2）略 （3）因为，， 由（1），， 所以，， 所以， 故，， 所以，. 18．在中，角，，所对的边分别为，，，且（）． (1)求； (2)若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对给定的三角函数等式交叉相乘，利用两角和差的正弦、余弦公式化简，结合三角形内角和为的条件推导角的值； （2）先根据角和的值得出的大小，分别在和中应用面积公式，结合与的比例关系即可求出； （3）先用正弦定理将、表示为关于角的函数，代入三角形面积公式，结合的定值和锐角三角形的条件确定角的范围，进而推导面积的取值范围. 【详解】（1）对原式交叉相乘整理得： ， 由余弦差角公式得：， ，且，故， 整理得，又，故，得. （2）由题意，，故， 与同高，面积比等于底之比， 代入面积公式： ， 整理得. （3）由正弦定理，，得，，且， 面积， 由积化和差公式可得： ， 为锐角三角形，故，，解得， 所以，，故. 19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明：连接交于点，连接， 四边形为正方形，是中点， 又为中点，， 平面，平面， 平面. (2)证明：平面，平面，， 四边形为正方形,, ，平面, 平面， 又平面,， ，为线段的中点， ， 又，平面, 平面， 又平面，平面平面. (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，再通过直线与平面平行判定定理证明； （2）先证明平面，得到,再利用，为线段的中点可得，从而得到平面，最后得到平面平面； （3）作于点，连接，，先证明平面，得到，又，所以平面，平面，，所以，是二面角的平面角，通过余弦定理计算出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）作于点，连接， 平面，平面， ， 四边形为正方形,, ，平面, 平面， 平面,， 又，且，平面, 平面, 平面，， 是二面角的平面角， ， 在中，,同理, 在中， ,则为直角三角形， 由于，故与全等， 在中，由余弦定理， 即二面角的余弦值为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $