2025-2026年高一数学下学期人教A版必修第二册期末复习卷第六章平面向量及其应用

**基本信息** 聚焦平面向量与三角应用，通过基础题与综合题梯度设计，考查几何直观、运算推理及模型意识，适配高一期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|向量概念、夹角、解三角形形状|第3题正方形中点向量表示，体现几何直观| |选择题（多选）|3/18|向量共线、投影、三角形性质|第11题线段比例与向量关系，考查推理能力| |填空题|3/15|向量夹角、几何图形向量运算|第13题几何图形交点向量计算，强化空间观念| |解答题|5/77|向量运算、三角面积、实际应用|第18题正三角形中面积范围求解，突出模型意识与创新应用|

2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习 第六章平面向量及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知单位向量，，，满足，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知和的夹角为60°，且，则（    ） A．1 B． C．3 D． 3．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知分别为三个内角的对边，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 5．如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 6．一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（     ）    A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．的最大值为 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 10．的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则是等边三角形 B．已知 ，，若有两解，则的取值范围是 C．在中，若，，且满足条件，则动点经过的重心 D．若，则 11．在中，D是BC的中点，E是线段AD上的点，过E作一直线分别与AB，AC交于点M，N，设，，，其中，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则是等边三角形 C．若，，则 D．若，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量，，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_______________. 13．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 14．已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则_______；若，则面积的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量与的夹角，且 (1)求； (2)求在方向上的数量投影； (3)求在方向上的投影向量. 16．已知向量，． (1)若，求实数的值； (2)设向量，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标． 17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 18．如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，过点O的直线交边AB于点M，交边AC于点N． (1)用，表示； (2)若，，求的值； (3)求面积的取值范围． 19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)已知的外接圆的圆心为O，半径． （ⅰ）作角的平分线交于，，求的面积； （ⅱ）求的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习 第六章平面向量及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知单位向量，，，满足，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据向量的数量积的性质可得，再由夹角公式可得，再结合向量夹角范围可得. 【详解】因为都是单位向量，所以. 由，移项得，两边同时平方得： ， 所以，，整理得. 设夹角为，由夹角公式， 因为，所以，因此，的夹角为. 2．已知和的夹角为60°，且，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为和的夹角为60°，且， 所以. 3．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中和中，根据向量三角形加法法则建立等量关系即可表示出. 【详解】解：由向量三角形加法法则可知，在中，， 在中，，又为的中点，为的中点， 所以，，因此， 又因为，所以. 4．已知分别为三个内角的对边，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【分析】使用正弦定理或余弦定理化简，从而判断三角形的形状. 【详解】方法一： 由于， 根据正弦定理可得，， 即, , 化简，得, 所以，，或,而为三角形内角， 所以，,或 所以，的形状为直角三角形或等腰三角形. 方法二： 根据余弦定理可得， 化简，得 ， 即 所以，,或 所以，的形状为直角三角形或等腰三角形. 5．如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用坐标求模判断A；利用数量积的坐标表示判断B；求出向量夹角判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，而，则，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 故选：D 6．一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（     ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】设该楼阁的高度米，根据题意得，，，，再结合，根据余弦定理求得即可得答案. 【详解】设该楼阁的高度米， 根据题意，，， 所以，，， 因为， 所以， 因为， ， 所以，即， 整理得，解得米，即该楼阁的高度米.    7．如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加法的几何意义得，从而化为求的范围，根据已知及向量数量积的运算律、二次函数的性质求范围. 【详解】因为点是线段的中点，所以向量， 所以，又向量方向相反，且， 所以． 8．在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式和余弦定理，可得，利用不等式和三角函数的运算，即可求解. 【详解】根据三角形面积公式，， 所以， 又由余弦定理，得， 代入得 ， 令，则有解， 因,其中, 故有,解得，故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．的最大值为 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解. 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 10．的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则是等边三角形 B．已知 ，，若有两解，则的取值范围是 C．在中，若，，且满足条件，则动点经过的重心 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对A，根据条件，利用正弦定理得，即可求解；对B，根据条件得，即可求解；对C，过A作于，根据条件得，即可求解；对于D，根据条件，利用正弦定理及正弦的和角公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以， 则，又，则，所以，即， 又，所以，即， 同理可知，所以，故A正确， 对于B，因为，且有两解，则，又，所以，故B正确， 对于C，方法一：如图，过作于，则， 由，得到， 当为中点时，与中线共线，此时动点经过的重心，所以C错误. 方法二：由，得到， 所以， 所以，所以， 所以动点经过的垂心，C错误；    对于D，因为，则， 又，则，所以，又，，所以D正确. 11．在中，D是BC的中点，E是线段AD上的点，过E作一直线分别与AB，AC交于点M，N，设，，，其中，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则是等边三角形 C．若，，则 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的线性运算，以及数量积公式，基本不等式依次求解即可． 【详解】因为， 则，即， 则，所以，A正确； 因为， 所以， 所以，同理，点是的垂心， 又是边的中点，，易知是等腰三角形， 无法确定是等边三角形，B错误； 由题意知，， 所以， 又三点共线，则， 所以， 即，解得，C正确； ， 又三点共线，则， 因此， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为，D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量，，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【分析】通过数量积表示出角度余弦值后求解范围. 【详解】因为，， 所以，， . 因为夹角为锐角，所以两向量数量积大于0且不共线同向 ，解得. 共线时，解得. 综上所述. 13．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 14．已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则_______；若，则面积的取值范围为_______． 【答案】 2 【分析】根据二倍角公式及正弦定理得到，再结合同角三角函数的关系，两角和的正弦公式，诱导公式，正弦定理，及余弦定理即可求出的值；依题意可得，结合余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数的关系，三角形边的关系，及二次函数的性质即可求出面积的取值范围． 【详解】由， 由二倍角公式得， 所以正弦定理得， 又在锐角中，有， 则 ； 若，则， 则由余弦定理有， 所以， 又因为是锐角三角形，则有， 又，解得， 又，所以， 则，所以， 故面积的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量与的夹角，且 (1)求； (2)求在方向上的数量投影； (3)求在方向上的投影向量. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵ 向量与的夹角，且，， ∴ . ， 代入数值可得. （2）根据向量数量投影的定义： 在方向上的数量投影为， 由（1）知. 先计算， 又∵ ， ∴ 所求数量投影为. （3）由（1）知. 根据投影向量的定义： 在方向上的投影向量为， 代入数值可得所求投影向量为. 16．已知向量，． (1)若，求实数的值； (2)设向量，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示求解即可. （2）法一，设，根据题意得到，即，根据向量数量积的坐标表示及二次函数性质求解即可. 法二，设，则，根据向量数量积的坐标表示及二次函数性质求解即可. 【详解】（1），, 因为，所以． 即，解得． （2）（法一）设，P是直线上的一个动点，所以，即． 又，， 所以 ， 所以当时，最小值为，此时点P的坐标为． （法二）设，则． 则， 所以当时，最小值为，此时点P的坐标为． 17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求解角； （2）结合三角形面积公式求出的值，再通过完全平方公式和余弦定理计算边； （3）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合锐角三角形条件确定角的范围，再通过辅助角公式化简，求出的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，展开并整理得. 结合余弦定理，可得，又，故. （2）由三角形面积公式，代入、，得，解得. 由，得. 结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）. （3）由正弦定理，，故，. 由，得. 因为锐角三角形，故，解得. 则，展开并化简得. 由，得，故，因此. 18．如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，过点O的直线交边AB于点M，交边AC于点N． (1)用，表示； (2)若，，求的值； (3)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则及中点性质求解； （2）利用三点共线的充要条件建立方程求解； （3）利用三角形面积公式表示面积，再求解范围. 【详解】（1）因为是中点，所以 ，又因为是中点， 所以，所以； （2）已知，， 将其代入 （1）的结论 所以三点共线，所以 ，得； （3）正三角形边长为，，由（2）知，， 面积是， 由，得， 在线段上，在线段上，，代入： 解不等式， ，，得； ，结合，得, 综上参数范围：，， 令，，由得，所以， 由对勾函数性质：在与处取最大值，在处取最小值， 时，； 或时，，所以， 因为，因此，所以面积的取值范围是 ． 19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)已知的外接圆的圆心为O，半径． （ⅰ）作角的平分线交于，，求的面积； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再由余弦定理得，即可求解； （2（ⅰ）根据题意，得到，由，求得，再由余弦定理，得到，设，得到，求得，结合面积公式，即可求解； （ⅱ）由向量的数量积的运算公式和正弦定理得到，得到，又由，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得，整理得， 又由余弦定理得， 又因为，所以. （2）解：（ⅰ）因为的外接圆的圆心为O，且半径， 所以， 又因为为角的平分线，可得， 因为，且， 可得， 所以，即， 又由余弦定理得， 即， 设，则，代入可得，即， 解得或（舍去），所以， 所以的面积为. （ⅱ）由向量的数量积的运算公式，可得， 因为，所以， 又因为的外接圆的半径，可得， 所以， 因为且，所以， 所以 ， 因为，可得，所以， 所以，即的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $