2025-2026年高一数学下学期人教A版必修第二册期末复习卷第八章 立体几何初步

**基本信息** 聚焦立体几何初步，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间几何体、位置关系及体积表面积计算，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|空间几何体概念（如圆柱截面）、线面关系（如线面平行判定）|结合正方体、四棱锥模型，考查几何直观（如单选3）| |填空题|3题15分|异面直线夹角（12题）、棱台表面积（13题）、外接球截面（14题）|注重空间量计算，体现数学语言表达| |解答题|5题77分|体积计算（15题）、翻折问题（17题）、二面角（19题）|融合证明与计算，如17题翻折考查空间观念，19题二面角体现推理能力，贴合高考命题趋势|

2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习 第八章 立体几何初步 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（   ） A．直角三角形以一条边为轴旋转一周得到的几何体为圆锥 B．过圆柱的轴的截面为矩形 C．侧棱都相等的棱锥是正棱锥 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 【答案】B 【分析】由空间几何体的性质依次判断选项即可. 【详解】对于A，若直角三角形以斜边为轴旋转一周得到的几何体不是圆锥，A错误； 对于B，由圆柱的几何特征可知过圆柱的轴的截面为矩形，B正确； 对于C，侧棱都相等的棱锥的底面不一定为正多边形，所以侧棱都相等的棱锥不一定是正棱锥，C错误； 对于D，棱台的侧棱延长线必须交于一点，所以D错误； 2．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】结合空间线面平行的判定定理与性质定理，逐一分析各选项，通过举反例排除错误选项得到正确结果. 【详解】对于A：若，，可能落在平面内，此时不满足，A错误； 对于B：若，，与可能是异面直线，不一定平行，B错误； 对于C：若，，可能落在平面内，此时不满足，C错误； 对于D：该命题就是线面平行的性质定理，D正确. 3．如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交延长线于点，则直线l为过点平行于的直线，即可确定平面，可得解. 【详解】根据题意，延长交延长线于点， 因为平面与平面交于直线l，且平面， 则直线l为过点平行于的直线， 又因为，则，所以与共面，即平面， 所以点P可以位于，而点、和都不在平面上，故C正确. 4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，M，N分别在棱，上，且，平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线面平行的性质进行求解． 【详解】如图，连接，与交于点，连接，交于点， 连接，因为平面，平面， 平面平面， 所以，由于是的中点，所以. 过点作，交于点，则， 因为，所以， 所以，即. 5．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到截面图形，并求出面积 【详解】连接，，， 因为E，F分别是棱，的中点，所以， 又，故，，则四点共面， 故截该正方体所得截面为四边形， ，， ，四边形为等腰梯形， 过点分别作，交于点， 则，故， 故，所以截面面积为. 6．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据球的体积公式求出外接球半径，再利用三角形中的勾股定理列出方程即可求解. 【详解】设正四面体的外接球半径为，则由可得， 设正四面体的高为，棱长为， 由于正四面体的底面为正三角形，因此底面外接圆的半径， 又外接球球心到底面的距离为， 故由勾股定理可得，， 代入，解得正四面体的高. 7．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点到平面OMA的距离为. ，，，平面； 平面，，即是直角三角形； ，，，； 为的中点，. . ，，，平面； 为的中点，平面，点到平面的距离为； ，，，. ，，即，解得. 即点到平面OMA的距离为. 8．在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 在长方体中，，，， 所以平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，，将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体，则下列说法中正确的有（     ）    A． B．几何体是圆台 C．几何体的体积为 D．几何体的侧面积为 【答案】BC 【分析】利用斜二测直观图的性质还原直观图，结合已知条件计算，判断选项A；根据圆台的性质判断选项B；根据圆台的体积和侧面积公式计算判断选项C、D． 【详解】已知斜二测直观图中，，，， 还原直观图，则有， 则，故A错误； 几何体是下底面半径为，上底面半径为，高为的圆台，故B正确； 由圆台体积公式，故C正确； 母线长， 侧面积，故D错误． 10．在长方体中，，，，E为棱上一点，则（   ） A．该长方体是一个正四棱柱 B．长方体的外接球的表面积为 C．四棱锥的体积为24 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】由正四棱柱的定义判断A；求出长方体外接球的表面积，判断B；求出四棱锥的体积，判断C；将平面展开至与平面共面，利用三角形三边关系判断D. 【详解】对于A，由题意得面和面都是正方形，所以该长方体是一个正四棱柱，故A正确； 对于B，长方体的外接球的直径，所以外接球的表面积为，故B正确； 对于C，过作于， 由等面积法得， 因为平面平面，平面平面，平面, 所以平面，所以为四棱锥的高， 又，所以，故C错误； 对于D，将平面展开至与平面共面，得到如图的矩形， 所以， 所以的最小值为，故D正确． 11．如图，正四棱台的上、下底面中心分别为､，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有（   ） A． B．平面 C．二面角的大小为 D．若为线段上的一动点，则的最小值为 【答案】AB 【分析】根据正四棱台的性质及面面垂直的判定和性质即可判断A；根据面面平行的判定及性质即可判断B；根据二面角平面角的定义即可判断C；根据正四棱台的性质，余弦定理即可判断D． 【详解】对于A，由正四棱台得，平面，底面为正方形，则， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 对于B，因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 由正四棱台得，，则， 又，所以， 又点是中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，取中点，连接，则，， 过点作底面，垂足为，则， 二面角的平面角即为， 由题可知，，， 所以， 所以二面角的大小不为，故C错误； 对于D，，则， 在等腰梯形中，过点作，垂足为，则， 在中，， 在中，， 所以， 在等腰梯形中，过点作，垂足为， 已知，，， ，所以， 所以， 在中，， 则， 所以， 由题得，将展开在同一平面，则点关于对称，当点共线时，最小，如图所示，此时，， 在中，， 所以， 所以的最小值为，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】取的中点，构造三角形的中位线，将异面直线与所成的角转化为三角形的内角，结合余弦定理可得. 【详解】 取的中点，连接， 由E、F分别为边、的中点，由三角形的中位线性质可得，为异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 由异面直线间夹角范围可得直线与所成的角为. 13．如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 【答案】 【分析】取上下底面对应边的中点，构造侧面与底面所成二面角的平面角，求出侧面等腰梯形的高，结合面积公式求解. 【详解】设棱台上下底面的中心分别为， 取的中点，的中点， 连接. 由正棱台的性质可知， 平面，，， 且四点共面. 过作于点， 则平面，且. 因为，，，所以平面， 又平面， 所以. 同理. 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角， 由题意可知. 因为， 所以，， 又四边形为矩形， 所以. 所以， 在中，， 即侧面等腰梯形的高为. 上底面面积为，下底面面积为， 侧面积为， 所以该棱台的表面积. 14．已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 【答案】 【分析】取线段的中点，根据长度关系求出点为三棱锥的外接球球心，再根据的关系求出的最小值即可. 【详解】取线段的中点，连接， 因，，， 则由勾股定理可知，，，则， 则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为 因，则由勾股定理可知，， 因为的中点，则， 设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为， 则， 欲使截面面积最小，即最小，则要求最大， 当垂直截面时，最大，最大值为， 则的最小值为，则截面面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：平面平面. (3)求证：平面. 【答案】(1). (2)∵底面为矩形，∴. 平面平面，平面平面，∴平面. ∵平面， . ，，平面. 平面，平面平面. (3)取的中点，连接，，如图所示， ，分别为，的中点，，. ∵底面为矩形，为的中点，，. ，，得四边形为平行四边形. . 平面，平面， 平面. 【详解】（1），为的中点，，，，. 平面平面，平面平面， 平面. 为的中点，点到底面的距离. 底面为矩形，，，. . 三棱锥的体积为. （2）略 （3）略 16．如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作交于点，由勾股定理求得，进而求得表面积； （2）由题，正四棱锥外接球的球心在直线上，由外接球的体积，可求得外接球的，利用球的截面性质求出棱锥高h的值，再根据体积公式求解即可. 【详解】（1）由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以正四棱锥的表面积. （2）设外接球半径为，由外接球体积，可得. 底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 当时，； 当时，. 综上所述，正四棱锥的体积为或. 17．如图所示，在矩形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，使平面平面. (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：根据题意可知，在矩形中，和为等腰直角三角形，所以∠DEA＝∠CEB＝45°，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AE. 因为平面D'AE⊥平面ABCE，且平面平面ABCE＝AE， 平面ABCE，所以BE⊥平面D'AE. 因为平面D'AE，所以AD'⊥BE. (2) (3)存在，EP＝ED'. 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理，证明BE⊥平面D'AE，即可证出AD'⊥BE； （2）由面面垂直的性质定理可知，线面垂直，从而证明D'F⊥平面ABCE，即D'F为面ABCE上的高，再利用锥体的体积公式求解即可； （3）假设存在点，利用线面平行的性质定理，即可求出点的位置. 【详解】（1）略 （2）如图所示，取AE的中点F，连接D'F，则D'F⊥AE， 且， 因为平面D'AE⊥平面ABCE，且平面平面ABCE＝AE，D'F⊂平面D'AE， 所以D'F⊥平面ABCE， 所以VD'-ABCE＝S四边形ABCE·D'F＝××（1＋2）×1×＝. （3）存在. 连接AC交BE于点Q，假设在D'E上存在点P，使得D'B∥平面PAC，连接PQ， 因为平面D'BE，平面平面PAC＝PQ，所以D'B∥PQ， 所以在△EBD'中，， 因为△CEQ∽△ABQ，所以， 所以，即EP＝ED'， 所以在棱ED'上存在一点P，使得D'B∥平面PAC，且EP＝ED'. 18．如图，在直三棱柱中，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)记与交于点，显然为的中点，由D为中点得，    由平面，平面可得平面． (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由得直线与所成角即直线与所成角，由余弦定理计算得到夹角的余弦值； （3）记与交于点N，由等体积法可得B到平面的距离为d，根据直线与平面的定义求得所成角的正弦值； 【详解】（1）略 （2）由得直线与所成角即直线与所成角， 即或其补角为所求角，记为，而由勾股定理得， ，， 由余弦定理可得． （3）记与交于点N，易得，，， 由得，可得的面积， 记点B到平面的距离为d，由等体积法得， 即，可得， 而由平面几何知识显然可得， 记直线与平面所成角为，则．    19．如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．是边长为2的等边三角形． (1)证明：平面面； (2)若，求直线和所成角的余弦值； (3)点在棱上，如图2，，三棱锥的体积为4，求二面角平面角的正切值． 【答案】(1)因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面面． (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质得出平面，在根据面面垂直的判定即可证明； （2）分别取的中点M、N，连接，得到异面直线和所成角（或为邻补角）即为，再根据已知求其余弦值； （3）过点E作交于N．过点N作交于点M，连接，利用面面垂直、线面垂直的判定和性质定理，确定为二面角的平面角，再由已知求其正切值． 【详解】（1）略． （2）如下图，分别取的中点M、N，连接， 因为O为中点，所以且， 所以异面直线和所成角（或为邻补角）即为， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 由（1）知，平面，因为平面，所以， 由，得，得． 在直角三角形中，则， 在中， 所以直线和所成角的余弦值为． （3）如下图，过点E作交于N．过点N作交于点M，连接， 因为且，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以，， 在中，因为，所以，而，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 因为， 因为，所以， 又因为，所以，得， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 所以二面角平面角的正切值为． 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习 第八章 立体几何初步 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（   ） A．直角三角形以一条边为轴旋转一周得到的几何体为圆锥 B．过圆柱的轴的截面为矩形 C．侧棱都相等的棱锥是正棱锥 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 2．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，M，N分别在棱，上，且，平面，则（    ） A． B． C． D． 5．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 6．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 8．在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（   ）. A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，，将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体，则下列说法中正确的有（     ）    A． B．几何体是圆台 C．几何体的体积为 D．几何体的侧面积为 10．在长方体中，，，，E为棱上一点，则（   ） A．该长方体是一个正四棱柱 B．长方体的外接球的表面积为 C．四棱锥的体积为24 D．的最小值为 11．如图，正四棱台的上、下底面中心分别为､，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有（   ） A． B．平面 C．二面角的大小为 D．若为线段上的一动点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 13．如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 14．已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：平面平面. (3)求证：平面. 16．如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 17．如图所示，在矩形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，使平面平面. (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 18．如图，在直三棱柱中，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 19．如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．是边长为2的等边 三角形． (1)证明：平面面； (2)若，求直线和所成角的余弦值； (3)点在棱上，如图2，，三棱锥的体积为4，求二面角平面角的正切值． 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $