期末复习：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

**基本信息** 聚焦爪形三角形与四边形中解三角形问题，通过分层例题与变式训练，构建从单一三角形到复杂多边形的几何转化逻辑，强化几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |爪形三角形|3例+3变式|含角平分线/中线分割的三角形综合题|以正弦定理、余弦定理为核心，通过线段分割建立方程关系，延伸三角形性质应用| |四边形|3例+3变式|梯形/不规则四边形的分割与求解|将四边形转化为三角形组合，运用正余弦定理、面积公式及圆的性质（外接圆）解决多三角形关联问题|

期末复习：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 期末复习：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 考点目录 爪形三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 考点一 爪形三角形中的解三角形问题 例1．（25-26高一下·浙江台州·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，为边上一点，且，，． (1)若，求的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）根据余弦定理及基本不等式即可求解． 【详解】（1）在中，， 即，解得， 在中，， 所以． （2）在中，， 在中，， 即， 化简得， 因为， 所以，当，时取等号， 所以的最大值为． 例2．（25-26高一下·福建福州·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若平分，点在线段上，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理和同角三角函数关系得到，因式分解得到，故； （2）由（1）可得，由正弦定理得到，设，由余弦定理可得方程组，联立可得，所以． 【详解】（1）由正弦定理得， 又，故， 即 ， 所以，即， ． 又，故，所以，由正弦定理可得． （2）因为，由（1）得．由平分，得， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， ，故， 两式相除得． 设，由余弦定理， 在中， 所以①． 在中，， 所以②． 又，②①得，则， 所以． 例3．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）在中，已知的平分线与边相交于点. (1)求证：； (2)若，，，求. 【答案】(1)证明：在和中，如图所示：    由正弦定理得： ，， 因为，所以， 所以， 即， 又因为为的角平分线，所以， 所以，，两式相除得， 所以得证. (2) 【分析】（1）分别对和采用正弦定理可得，，两式联立即可. （2）解法一：由，得与，左右两侧同时平方解得与的长度，再通过余弦定理求解即可.    解法二：由，得，通过等面积法可求解与的长度，再通过余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）解法一：，所以， 平方得，由（1）可得：，， 解得，， 则，， 所以. 解法二： 由，由（1）得，所以， 因为为的角平分线, ，所以， 则， 解得，， 则，， 所以. 变式1．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若D为AB中点，，，求的周长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）方法一：利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出c的值； 方法二：利用余弦定理将角化边，得出，消去，进而求得c的值． （2）方法一，利用已知条件和余弦定理，得出，转化成，利用余弦定理得出，求得，进而得到的周长； 方法二，利用，利用余弦定理，求得，由余弦定理，得到，得出，求得，进而得到的周长； 方法三：在 和中，利用余弦定理，得出，再由余弦定理，得到，得出，求得，进而得到的周长. 【详解】（1）解：方法一：因为，可得， 由正弦定理，可得， 因为，可得， 所以， 又因为，可得，所以． 方法二：因为，可得， 由余弦定理，可得， 整理得，可得， 因为，所以． （2）解：方法一：由（1）知：且， 因为，可得， 在中，利用余弦定理得，所以， 又由余弦定理得，所以， 可得，所以的周长为． 方法二：因为，所以， 由余弦定理，可得，所以， 又由余弦定理得，所以，所以， 又因为，所以， 所以的周长为． 方法三：在和中，由余弦定理可得， 所以， 又由余弦定理得，所以，所以， 又因为，所以， 所以的周长为． 变式2．（24-25高一下·云南昆明·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； (2)若的面积为，且平分，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的模长公式即可求解， （2）利用等面积法即可结合面积公式求解. 【详解】（1）在中，，因为为的中点， 所以， 两边平方得， 则，解得 （2）因为平分， 所以， 又， 即 所以， 解得， 变式3．（24-25高一下·浙江金华·阶段检测）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．    (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解，由正弦定理即可求解. （2）作辅助线根据解直角三角形知识分别求出和即可. 【详解】（1）由余弦定理得： ∴ , 由正弦定理：得. （2）如图所示：    过作于，在中， ，， ∴，，在中，.       ∴       ∴ ∴ 考点二 四边形中的解三角形问题 例1．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【详解】（1）设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 例2．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知的面积为． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)记的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用余弦定理以及三角形的面积公式，结合已知条件即可求出； （2）利用正弦定理可得，由代入化简可得：，结合为锐角三角形求出的范围，从而求出的范围，由三角形面积公式求出的取值范围即可； （3）设，在和中利用正弦定理化简可得：，结合三角恒等变换可得或，根据三角形面积公式以及正弦定理可得，将或代入化简即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理可知：， 所以， 因为，所以， 化简得：，即， 因为，所以 （2）因为，， 由正弦定理可得：，解得：， 因为，，所以， 则， 又因为为锐角三角形，所以，则， 则，，故， 又，所以， 即的面积的取值范围为 （3）设，则，，， 在中，由正弦定理可得：，① 在中，由正弦定理可得：，②， 由于，， 所以①②化简可得：， 即， 即， 即，即，因为 所以或，解得：，或， 设，则， 在中，， 在中，， 所以， 由正弦定理可得： 当时，，，所以 当时，，，所以 例3．（24-25高三上·安徽·期中）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，结合余弦定理证明即可. （2）由、及，可证得四边形是等腰梯形，进而可得，进而可求得，在中，由正弦定理可得，再结合、可得即可. 【详解】（1）如图， 由题意知，则， 由余弦定理得， 即，整理得， 因为，所以． （2）因为，所以， 因为，所以，所以． 又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以． 设，则，解得． ． 在中，由正弦定理可得， 又因为，所以． 变式1．（25-26高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值. （2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【详解】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 变式2．（25-26高一下·江西赣州·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)若为锐角，且，求的面积； (2)求四边形面积的最大值； (3)当时，在四边形所在平面内，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，在中，在中，分别利用余弦定理表示，可得，可求得，可求得的面积； （2），两边平方结合（1）可求得四边形面积的最大值； （3）将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，，可求得，进而由余弦定理可求得，利用可求最小值. 【详解】（1）连接. 在中，由余弦定理可得，即. 在中，由余弦定理可得，即， 则，即. 因为为锐角，且，所以，所以，则， 故的面积为. （2）四边形的面积， 则.① 由（1）可知，则.② 联立①②，解得，则，等号成立当且仅当， 所以四边形面积的最大值为. （3）将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，， 则，，，. 因为，所以， 所以，则. 由图可知， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 故的最小值是. 变式3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据外接圆得到，在中，有余弦定理得，在中，利用余弦定理求出； （2）设，则，由正弦定理得到方程组，求出，由正弦定理求出答案. 【详解】（1）因为四边形存在外接圆，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 解得； （2）设，则， 分别在、中用正弦定理可得 ，则， ，则， ，则或（舍）， 故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 期末复习：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 考点目录 爪形三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 例1.(25-26高一下浙江台州期末)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D为边BC上一 点考煮4®=4，卵形空角形绅的解三角形问题 ()若cos∠ABC=3 ,求b的值： (2)求bc的最大值. 例2.(25-26高一下福建福州月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,己知 b.(sinA+sinB)=c.sin(A-B) (1)证明：a=2b: @话6=LCD平分∠4Cg:点D在袋段a上，且CD-,求AB的长， 期末复习：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 例3.(2425高一下辽宁丹东期末)在△ABC中，已知∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D. BD AB (1)求证：DCAC (2)若BD=2DC,∠BAC=60°，AD=2,求BC 变式1.（2425高-一下新疆伊犁期中)AdBC的内角4，B,C的对边分别为a.e,已知bcosC+cosB-a (1)求c: ②活D为AB中点，CD=5,∠4CB=60,求△MBCA 的周长. 期末复习：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 变式2.(2425高一下云南昆明阶段检测)在4BC中，角么B.C的对边分别为a6c,已知。4，C=勿 3 D为AB边上一点. 若D为MB的中点，且CD=V5,求b, ,求 ②考△4BC的面积为45，且CD平分4CB,求CD的长. 变式3.(2425高一下浙江金华阶段检测)如图，在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知Q=4, c=V3B=30° B (1)求sinC的值： 若D为立BC上一点，且os乙DC=,求BD的长 期末复习：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 考点二 四边形中的解三角形问题 例1.(2526商三上贵州遵义阶段检测)如图，在四边形48CD中，4C=27,CD=24D,∠1DC= 3· (1)求sin∠DAC的值： (2)若∠BAC=2∠DAC,且△ABC的面积是△ACD面积的4倍，求AB的长. 例2.(2425高一下广东深圳期中)如图，已知△ABC的面积为 s.-(4W+0c-4C) 4 B (I)求∠ABC的大小： (@四活△4BC为锐角三角形，且BC=2,求△4BC的面积的取值范围； (3)记△MCD的面积为S,若CD=VBBC,∠CAD-元∠BCD= 6 6,求5的值. 期末复习：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 例3.(2425高三上·安徽期中)如图，在平面四边形ABCD中，AC与DB的交点为E,DB平分∠ADC, AB=BC=CD=2,AD>2. 0 E B BD2=2(AD+2) (1)证明： (2)若<∠ABD=3n DE 4,求BE, 变式1.(25-26高一下·北京期中)如图，在梯形ABCD中，AB/CD, B-2/6.CD-6.cos4-6 3。s4B一 D B (1)求coS∠ABD: (2)求BC的长. 期末复习：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 变式2.(25-26高一下江西赣州期中)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1,BC=3,CD=2,AD=4. D @)若1为锁角，且n1= 8,求△BCD的面积： (2)求四边形ABCD面积的最大值： (3)当A=60°时，P在四边形ABCD所在平面内，求PA+PB+PD的最小值. 变式3.(2S-26高一下重庆阶段检测)如图，已知在平面四边形MBCD中，∠ADC=45°，CD=5.BC=2 (1)若该四边形 ABCD 存在外接圆，且1B=V5, 米AD (2)若∠BAD=∠BCA=60°，求AB. 6