期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形中中线、角平分线、高线三类核心线段问题，通过分层例题与变式题构建系统性训练体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中线问题|7题（3例+4变式）|结合正余弦定理求中线长及范围，涉及三角形形状判断|以余弦定理为核心，推导中线长公式，构建“角-边-中线”数量关系链| |角平分线问题|5题（3例+2变式）|利用角平分线定理或面积法求长度，结合范围与最值|通过角平分线性质建立边比关系，衔接三角形面积公式与余弦定理应用| |高线问题|6题（3例+3变式）|关联面积公式求高线长，结合周长与范围求解|以面积公式为桥梁，建立“边-角-高线”转化关系，强化运算能力与应用意识|

期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点目录 解三角形中的中线问题 解三角形中的角平分线问题 解三角形中的高线问题 a b a2b2 例1.(25-26高一下江苏南通月考)在①cos A cos B;②tanA tan B,这两个条件中任选一个，补充在下面问 解三角形虫的中线问题 题煮彝作答己知在角人BC中，有： . C的对边分别为a,b,C,- (1)判断△ABC的形状： (2)在(1)的条件下，若 os1=⑤ 5,b=10,AD为BC边上的中线，求AD的长. 例2.(25-26高-下河南洛阳月考)在△ABC中，内角A,B,C的对边长分别为a,b,C,若b2+c2-a2=bc (1)求角A的大小： (2②)若“=5，求8C边上的中线4M的大值 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 例3.(25-26高一下福建厦门月考)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2 asinC=V3 ccos A+csin A. (1)求角A的大小： (2)设D是BC的中点，若 +c=v5,求BC边上的中线4D的取值范围 变式1.(25-26高一下贵州贵阳月考)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C,且 (b-c)(sinB+sinc)=(a-c)sinA (1)求B: (2)若b=1,BM为AC边中线，求BM的最大值. 变式2.(25-26高一下河北秦皇岛月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,面积为S,已知 b2=23 3 +abcosC (I)求A的值： AD=1 (②)若BC边上的中线A ,求△ABC周长的最小值 2 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式3.(25-26高一下安徽毫州月考)在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且bcosC+csin B=a, a+b+c ，=62 sin A+sin B+sin C (1)求b: (2)求AC边上中线长的取值范围. 1 变式4，(2S-26高三上河南信阳期末)设。4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acosC+2c=b. (1)求角A的大小： 2考△MBC边BC上的中线4D的长度为6，求△4BC 面积的最大值 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点二 解三角形中的角平分线问题 例1.(25-26高一下河南郑州期中)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 3bsin C+3csin B=4asin Bsin C 2bsin B+2csin C=bc+3a (1)求角A的大小： (2)求边a的值： (3)角A的角平分线AD与边BC交于点D,求角平分线AD长度的取值范围. 例2.(25-26高三下河北沧州阶段检测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 sin B-sin A c-a sinC a+b (I)求角B的大小： (2)若C=4△ABC 5 面积为 ,求4AB 的角平分线BD的长度。 例3.(2425高二上重庆期中)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a-c=2 ccosB.。 (1)求证：B=2C: (2)若∠ABC的角平分线交AC于D,且a=6,求线段BD的长度的取值范围. 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式1.(25-26高一下广东惠州月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长 的三个正三角形的面积依次为S,S,S,.已 知-+5=6 c 3 (1)求cosB: 9π (②)若。4BC外接圆面积为4，求aC的最大值； 3v2 0BD=25 4,且△ABC的角平分线3，求a+c. 变式2.(25-26高一下·河北邢台·月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,且 √3c=V3 a cos B-asin B (1)求A的大小： (2)若A的角平分线交BC于D,且AD=3,求△ABC面积的最小值. 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点三 解三角形中的高线问题 例1.(2026福建模拟预测)记△MBC的内角 A,B,C a,b,c 的对边分别为 OC,，已知SinB+V3 sbcosC=0 (1)求C; 2没5(a+D)=2c,且AB边上的高为1，求△MBC的周长. 例2.(2026黑龙江哈尔滨一模)在△1BC中，内角1，B,C所对的边长分别是，b,C.2c-2acsB=VB6 (1)求角A: @若0=1.c=25,c>b,求4B边上的高 6 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 例3.(25-26高三上：河南三门峡期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 (2a+c)cosB+bcosC=0 (1)求B的大小： 知b=5,BD为1C边上的高，求BD的取值范围。 (2)已知° 变式1.(25-26高一下湖南长沙月考)在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 2bsin C+asin A=bsin B+csin C (1)求A; (2)若aV2 ,求BC边上的高AD的最大值. 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式2.(2023河北模拟预测)已知a,b,C分别为△ABC内角A,B,C的对边，且 sin B-sin A sin C-sin A a+b· (1)求B的值： (2)若4ABC 面积为 5,求4C边上的高h的最大值。 变式3.(25-26高一下黑龙江哈尔滨·月考)在锐角△ABC中，设边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且a2-b2=bc, (1)求角B的取值范围： (2)若c=4,求△ABC中AB边上的高h的取值范围.期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点目录 解三角形中的中线问题 解三角形中的角平分线问题 解三角形中的高线问题 考点一 解三角形中的中线问题 例1．（25-26高一下·江苏南通·月考）在①；②,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， . (1)判断△ABC的形状； (2)在（1）的条件下，若，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长. 【答案】(1)选①，等腰三角形；选②，等腰三角形； (2)选①，；选②，或； 【分析】（1）选①，由正弦定理变形后可得；选②，由正弦定理及同角关系变形后，结合正弦函数性质得三角形为等腰三角形或直角三角形； （2）选①，由等腰三角形性质求得底边长，然后由余弦定理求得； 选②，三角形为等腰三角形时同选①，三角形为直角三角形时，由求得，然后求得，用勾股定理求得． 【详解】（1）选①，，由正弦定理理，即，又是三角形内角，所以，△ABC是等腰三角形； 选②，，由正弦定理得，所以， ，又是锐角三角形内角，所以 所以，所以△ABC是等腰三角形； （2）选①，，则，，， 中，由余弦定理得： ，； 选②，时同选①得， 时，，则，，所以，， 所以． 例2．（25-26高一下·河南洛阳·月考）在中，内角的对边长分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求边上的中线的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知等式可推导得到，由此可求得； （2）在中，利用余弦定理和基本不等式可求得；在中，利用余弦定理可化简整理得到，由可求得最大值. 【详解】（1），，又，； （2）在中，由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），； 又， 在中，由余弦定理得：， ， ，即中线的最大值为. 例3．（25-26高一下·福建厦门·月考）在中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）设是的中点，若，求边上的中线的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由正弦定理边角互化的并整理得，进而得，故； （2）把补成平行四边形，由余弦定理得，再结合基本不等式得，再结合三角形中两边之和大于第三边得，进而得答案. 【详解】（1）由正弦定理及得： 即. 因为，所以， 所以，即：， 又，所以. （2）把补成平行四边形（如图所示）， 在中，， 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，所以． 又，所以． 综上，，故边上的中线的取值范围是. 变式1．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求B； (2)若，BM为AC边中线，求BM的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦定理边角关系及余弦定理可得，结合三角形内角的性质即可确定B的大小. （2）由（1）及题设可得外接圆的半径，根据圆的性质，应用数形结合思想判断BM最大时的位置关系，即可得BM的最大值． 【详解】（1）由题设及正弦定理有，又，即， 又，则. （2）由（1）及知：外接圆的半径，如下图示， 由图知：要使最大，只需共线且在两侧， 所以. 变式2．（25-26高一下·河北秦皇岛·月考）记的内角的对边分别为，面积为，已知. (1)求的值； (2)若边上的中线，求周长的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式及正弦定理化简，可得，即可求出的值； （2）先根据为边上的中线得到，即，根据不等式求出，以及和，可得，再根据函数关系即可求出最值. 【详解】（1）∵面积为， ，且， 得， ， 由正弦定理得：， ， ， ， ，. （2）边上中线， ， ， 得，， ，， 且，即， ，当且仅当时，“=”成立. 又，由余弦定理得 ， ， ， 设， ， 设， ， 在单调递减， 又，，， 在单调递减， 则最小值为， 所以当时，的最小值为， 故周长最小值为. 变式3．（25-26高一下·安徽亳州·月考）在中，角的对边分别为，且，． (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 【答案】(1)6 (2). 【分析】（1）由已知条件，利用正弦定理边化角化简可得角B，利用正弦定理化简求得，又，可得结果； （2）根据余弦定理结合基本不等式可得，设边上的中点为D， 因为，利用向量数量积运算可得边上中线的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理得， 且，则，可得，即， 且，则， 由正弦定理，其中为的外接圆半径， 可得，， 又因， 所以. （2）在中，由余弦定理，即， 则，当且仅当时，等号成立， 可得，即 设边上的中点为D， 因为， 则 ， 即，所以边上中线长的取值范围为. 变式4．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 考点二 解三角形中的角平分线问题 例1．（25-26高一下·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角； （2）利用正弦定理将所给等式转化为关于的等式，结合余弦定理即可求出； （3）利用三角形面积公式，将角平分线表示为，对边对角模型，，转化为三角函数求值域． 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为，所以， 所以，又，所以. （2）由正弦定理，得， 由得：， 即， 由余弦定理得，， 联立解得. （3） 如图所示，由（1）知，由于， ， ， 由（2）知， 因为，所以， 则 令，则， 因为是锐角三角形，则， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以，即 即长度的范围为 例2．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的角平分线的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理将已知等式的角化为边，再结合余弦定理求出角； （2）先根据三角形面积公式求出 的值，再利用角平分线的性质和三角形面积公式求出角平分线的长度. 【详解】（1）由正弦定理可得：，即 ，化简可得， 由余弦定理 . 因为 ，所以 . （2）根据三角形面积公式 ，可得：， 即 ，化简可得 ，解得 . 因为 是角平分线，所以 . 由 得：. ， 解得 . 例3．（24-25高二上·重庆·期中）在锐角中，角所对的边分别为，，，且. (1)求证：； (2)若的角平分线交于，且，求线段的长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得，再由角的范围可得； （2）由正弦定理可得，再由锐角三角形限定出角的范围，根据三角函数值可得的长度的取值范围. 【详解】（1）证明：由，根据正弦定理可得， 即，所以； 可得， 所以， 即，显然， 故，， 所以. （2）在中，由正弦定理可得，可得， 即，所以， 因为是锐角三角形，且，所以 解得，可得，所以， 所以线段长度的取值范围是. 变式1．（25-26高一下·广东惠州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知． (1)求； (2)若外接圆面积为，求的最大值； (3)若，且的角平分线，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知得，由余弦边角关系即可求值； （2）由正弦定理求外接圆半径，由（1）得，进而求得，应用余弦定理、基本不等式求最值，注意等号成立条件. （3）利用等面积法得，由二倍角余弦公式求，即可求结果. 【详解】（1）由题知，即， 由，解得． （2）由外接圆面积为得外接圆半径， 由（1），所以， 由正弦定理得，解得， 由余弦定理得，即， 化简得，当且仅当a＝c时等号成立． 所以ac的最大值为． （3）因为BD是的角平分线，则， 所以的面积， 所以，则， 由，所以，解得（负值舍去）， 综上，． 变式2．（25-26高一下·河北邢台·月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案； （2）由可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）由正弦定理，得， 得， 得， 因为，所以，即. （2）因为， 所以. 因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立）， 所以．故△ABC面积的最小值为. 考点三 解三角形中的高线问题 例1．（2026·福建·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)设，且边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件并结合正弦定理可得，再由角的范围可得所求角的值； （2）先由等面积法可得，再由余弦定理及条件可得，再代入余弦定理得，从而可得三角形周长. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， ，，，， ，． （2）因为边上的高为，所以， 由（1）知，所以， 因此，即①. 又由余弦定理，，，② 又因为，得代入②，， 所以，，解得或（舍去）. 再由②和①得， 因此，所以. 的周长为． 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得； （2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断的形状，从而求解. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 例3．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 变式1．（25-26高一下·湖南长沙·月考）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求BC边上的高AD的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解； （2）利用余弦定理和基本不等式求出，再求出，即得解. 【详解】（1）根据正弦定理可得， 又，∴． ∵,∴． （2），∴， 当且仅当时取等号. ∵，∴， ∴， ∴，∴AD的最大值为. 变式2．（2023·河北·模拟预测）已知，，分别为内角，，的对边，且． (1)求的值； (2)若面积为，求边上的高的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正余弦定理边角转化即可求解， （2）由三角形面积公式，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）∵，∴， ，， ∴， ∵， ∴. （2）由面积为得：，而， ∴ ∵边上的高为， ∴，则， ∵， ∴，当且仅当时，取“=”， 即的最小值为2．此时最大为． 变式3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在锐角中，设边所对的角分别为，且． (1)求角的取值范围； (2)若，求中边上的高的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正余弦定理及三角恒等变换结合条件可得，然后根据三角形为锐角三角形进而即得； （2）根据三角形面积公式及正弦定理可得，然后根据三角恒等变换及正切函数的性质结合条件即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，，又， 所以，整理可得， 所以或(舍去)， 所以，又为锐角三角形， 所以， 所以； （2）由题可知，即， 又， 所以， 所以， 由，可得， 所以， 所以， 即中边上的高的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $