模拟试卷2025-2026学年湖北武汉二中广雅中学八年级下册数学

**基本信息** 本试卷以八年级下册核心知识为载体，通过物理力学实验（第8题）、文化节采购（第22题）等真实情境，融合函数、几何与统计，考查数学眼光观察现实、数学思维分析问题的能力，适配期末限时检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|函数自变量范围、一次函数性质、矩形菱形性质、众数|第8题结合浮力实验分析函数图象，体现数学与物理跨学科应用| |填空题|6|二次根式计算、方差应用、一次函数表达式、折叠问题|第15题折叠与平行线结合，考查空间观念与推理能力| |解答题|8|统计图表分析、菱形证明、动态几何与函数、新定义“正向积1”函数|第24题通过新定义函数探究性质，培养创新意识与模型观念|

2025-2026学年湖北省武汉二中广雅中学八年级（下）限时作业数学试卷 一．选择题（共10小题） 1．函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．一次函数y＝x﹣3的图象经过（　　） A．第一、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 4．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．四个角都是直角 C．对角相等 D．邻角互补 5．一个运动员连续投篮25次，其中4次投中10分，8次投中9分，10次投中8分，3次投中7分．则投中分数的众数为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 6．若点（a，b）在一次函数y ＝ 3x﹣2的图象上，则3a﹣b的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 7．已知一次函数y ＝ （n﹣2）x+n﹣3的图象上两点C（x3，y3），D（x4，y4），当x3＜x4时，有y3＞y4，那么n的取值范围是（　　） A．n＜2 B．n＞2 C．n＜3 D．n＞3 8．如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数F（单位：N）反映金属块对细线的拉力，F与金属块浸入水中的深度h（单位：cm）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数F不再随浸入深度h的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，F＝G重力﹣F浮力）．当0≤h≤12时，下列结论正确的是（　　） A．该长方体金属块的重力是3N B．该长方体金属块的高度是12cm C．传感器示数F随着长方体金属块浸入水中的深度h的增大而减小 D．当长方体金属块浸入水中的深度h＝5时，传感器示数F为4.5N 9．已知直线y1 ＝ ax+3（a＜0）与直线y2 ＝ bx（b＞0）的交点坐标为，则不等式组bx﹣5＜ax+3＜bx的解集为（　　） A． B．0＜x C．x D．x 10．如图，已知△ABC，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F； ②以点E为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线BM，与CA延长线交于点P，点D为CP延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（　　） A．∠PBC＝2∠ABC B．AF＝AM C．CM⊥BP D．S△APB：S△ACB＝PB：CB 二．填空题（共6小题） 11．计算的值为． 12．在学校组织的篮球投篮训练中，甲乙两位同学各投篮15次，平均成绩均相同，甲成绩的方差是，乙成绩的方差是，教练应选择派 （填写甲或乙）出战． 13．已知一次函数的图象经过点（4，3），且与直线y ＝ 3x+2平行，则一次函数的表达式为． 14．已知点B（6，0）及第一象限的动点Q（m，n），且m+n ＝ 8，设△OQB的面积为S，则S关于m的函数解析式为；m的取值范围为． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D，E分别为△ABC中AC，AB边上一点，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F，使得DF∥AB，当点F落在△ABC的高上时，AE＝ 　 　 ． 16．已知函数y ＝|x﹣3a|（a为常数），当﹣3≤x≤﹣1时，y有最大值为8，则a的值为． 三．解答题（共8小题） 17．计算（1）；（2）． 18．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（0，3）和（2，0）． （1）求k和b的值； （2）当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝mx+2m（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值且大于﹣7，请直接写出m的取值范围． 19．某校组织学生参加“希望工程”捐书活动．为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为　 　 ，图①中m的值为　 　 ； （2）求统计的这些学生所捐书本数据的平均数、众数和中位数． 20．如图，四边形ABCD是矩形，点E是CB延长线上一点，过点A作DE的垂线交BC于点F．若CF＝BE，求证：四边AEFD是菱形． 21．如图，直线l1与l2相交于点O，所夹的锐角为α，△ABC与△A′B′C′关于直线l1对称． （1）在图中作△A″B″C″，使得△A″B″C″与△A′B′C′关于直线l2对称．（要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹．） （2）第（1）题中的△A″B″C″可以看作是由△ABC经过两次轴对称变换得到，它能由△ABC经过一次图形变换得到吗？如果能，请写出变换过程；如果不能，说明理由． 22．为迎接“文化节”，某商店准备采购600件纪念品，现有甲、乙两种纪念品可供选择，其中甲种纪念品的进价为90元/件，售价为120元/件：乙种纪念品的进价为72元/件，售价为90元/件，设购进甲种纪念品m（m为整数）件，所购纪念品全部售完时利润为y元．（1）求y关于m的函数关系式；（2）若乙种纪念品的数量不少于甲种纪念品数量的2倍，且利润y不低于12000元，请通过计算说明商店有几种采购方案．（3）若甲种纪念品每件售价降低4a元，乙种纪念品每件售价上涨3a元，在（2）的条件下，最大利润为13000元，求a的值． 23．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝12，AC＝16，点E是AB的中点，连接OE，动点P从点A出发，沿A→D运动，同时动点Q从点B出发，沿B→E→O运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接OP，OE，OQ．设运动的时间为x秒，记△BOQ的面积为y1，△POE的面积与动点P运动时间之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象：请写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 24．关于x的一次函数yx+k（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点． 【性质初探】 （1）y随x的增大而　 　 （填“增大”或“减小”）； （2）求证：△AOB的面积为1； 【归纳提炼】 我们把形如yx+k（k≠0）的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 （3）图象经过点（2，2）的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； （4）已知点P（m，n）不在坐标轴上，若图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个． ①求n关于m的函数解析式； ②选取一个符合条件的点P，并验证该点是线段AB的中点． 2025-2026学年湖北省武汉二中广雅中学八年级（下）限时作业数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查函数自变量取值范围，对于二次根式，被开方数须是非负数．所以要使函数有意义，3x﹣2须大于等于0，据此求解x的取值范围． 【解答】要使函数有意义，则3x﹣2≥0，移项可得3x≥2，解得．逐一分析选项：A选项错误；B选项错误；C选项正确；D选项错误．所以答案是C． 【点评】本题关键是掌握二次根式中被开方数的取值要求，通过解不等式确定自变量取值范围． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，需要根据二次根式的运算法则来逐一判断选项． 【解答】A选项，与不是同类二次根式，不能直接相加，所以，A错误；B选项，，计算正确；C选项，7与不是同类二次根式，不能直接相加，，C错误；D选项，，，两者不相等，D错误．所以答案是B． 【点评】本题重点考查二次根式的运算规则，要注意同类二次根式的概念以及根式运算的准确性． 3．一次函数y＝x﹣3的图象经过（　　） A．第一、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【分析】本题考查一次函数的性质，对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），k决定函数图象的增减性，b决定函数图象与y轴的交点位置，据此判断函数图象经过的象限． 【解答】对于一次函数y＝x﹣3，其中k＝1＞0，所以函数图象从左到右上升，b＝﹣3＜0，函数图象与y轴交于负半轴．所以函数图象经过第一、三、四象限．逐一分析选项：A选项第一、三、四象限正确；B选项第一、二、三象限错误；C选项第一、二、四象限错误；D选项第二、三、四象限错误．所以答案是A． 【点评】本题关键是掌握一次函数k和b对函数图象的影响，以此判断函数图象经过的象限． 4．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．四个角都是直角 C．对角相等 D．邻角互补 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，需要分别明确矩形和菱形的性质，然后对比分析找出符合条件的选项． 【解答】A选项，矩形和菱形的对角线都互相平分，不符合要求；B选项，矩形的四个角都是直角，而菱形的角不一定是直角，符合要求；C选项，矩形和菱形的对角都相等，不符合要求；D选项，矩形和菱形的邻角都互补，不符合要求．所以答案是B． 【点评】本题关键是准确掌握矩形和菱形各自的性质，通过对比来解题． 5．一个运动员连续投篮25次，其中4次投中10分，8次投中9分，10次投中8分，3次投中7分．则投中分数的众数为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】本题考查众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数据．所以需要找出这组投篮得分数据中出现次数最多的分数． 【解答】在这组投篮得分数据中，投中8分的次数是10次，出现的次数最多．逐一分析选项：A选项10分出现次数不是最多，错误；B选项9分出现次数不是最多，错误；C选项8分出现次数最多，正确；D选项7分出现次数不是最多，错误．所以答案是C． 【点评】本题关键是理解众数的定义，通过统计不同得分的出现次数来确定众数． 6．若点（a，b）在一次函数y ＝ 3x﹣2的图象上，则3a﹣b的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．因为点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入函数式，然后变形可求解． 【解答】因为点（a，b）在一次函数y ＝ 3x﹣2的图象上，所以将（a，b）代入y ＝ 3x﹣2可得b ＝ 3a﹣2，移项可得3a﹣b ＝ 2．逐一分析选项：A选项﹣3错误；B选项﹣2错误；C选项 2正确；D选项 3错误．所以答案是C． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征这一基础知识点，关键是理解点的坐标与函数解析式的关系． 7．已知一次函数y ＝ （n﹣2）x+n﹣3的图象上两点C（x3，y3），D（x4，y4），当x3＜x4时，有y3＞y4，那么n的取值范围是（　　） A．n＜2 B．n＞2 C．n＜3 D．n＞3 【分析】本题考查一次函数的性质．一次函数y ＝ kx+b（k≠0），当k＜0时，y随x的增大而减小，根据已知条件判断k的取值范围，进而求出n的取值范围． 【解答】因为当x3＜x4时，有y3＞y4，所以一次函数y ＝ （n﹣2）x+n﹣3中y随x的增大而减小，那么一次项系数n﹣2＜0，解得n＜2．逐一分析选项：A选项 n＜2正确；B选项 n＞2错误；C选项 n＜3错误；D选项 n＞3错误．所以答案是A． 【点评】本题考查一次函数的增减性这一重要性质，关键是根据函数的增减性判断一次项系数的正负． 8．如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数F（单位：N）反映金属块对细线的拉力，F与金属块浸入水中的深度h（单位：cm）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数F不再随浸入深度h的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，F＝G重力﹣F浮力）．当0≤h≤12时，下列结论正确的是（　　） A．该长方体金属块的重力是3N B．该长方体金属块的高度是12cm C．传感器示数F随着长方体金属块浸入水中的深度h的增大而减小 D．当长方体金属块浸入水中的深度h＝5时，传感器示数F为4.5N 【分析】当h＝0时，F的值即为金属块的重力的值，据此可判断A；F的值开始不随深度h的变化而变化时h的值即为金属块的高度的值，据此可判断B；根据函数图象可判断C；利用待定系数法求出当0≤h≤6时，F关于h的关系式，再求出h＝5时，F的值即可判断D． 【解答】解：根据图象信息及题意逐项分析判断如下： A、由函数图象可知，当h＝0时，F＝12，则金属块浸入水中的深度为0cm时，F＝12N，故该长方体金属块的重力是12N，原说法错误，不符合题意； B、由函数图象可知，从h＝6开始，F不再随浸入深度h的增大而变化，则从h＝6开始金属块完全浸没，故该长方体金属块的高度是6cm，原说法错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当0≤h≤6时，传感器示数F随着长方体金属块浸入水中的深度h的增大而减小，当6＜h≤12，传感器示数F不再随浸入深度h的变化而变化，原说法错误，不符合题意； D、当0≤h≤6时，设F＝kh+b（k≠0），由条件可得， 解得， ∴， 在中，当h＝5时，， ∴当长方体金属块浸入水中的深度h＝5时，传感器示数F为4.5N，原说法正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了函数图象，熟练掌握该知识点是关键． 9．已知直线y1 ＝ ax+3（a＜0）与直线y2 ＝ bx（b＞0）的交点坐标为，则不等式组bx﹣5＜ax+3＜bx的解集为（　　） A． B．0＜x C．x D．x 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．根据两直线交点坐标，结合一次函数图象与不等式的关系求解不等式组． 【解答】因为直线y1 ＝ ax+3（a＜0）与直线y2 ＝ bx（b＞0）的交点坐标为，对于不等式bx﹣5＜ax+3＜bx，由bx﹣5＜ax+3可得bx﹣ax＜8，即（b﹣a）x＜8；由ax+3＜bx可得（a﹣b）x＜﹣3．从图象上看，bx﹣5＜ax+3＜bx的解集就是直线y1 ＝ ax+3在直线y2 ＝ bx﹣5上方且在直线y2 ＝ bx下方时x的取值范围，所以解集为．逐一分析选项：A选项 正确；B选项 0＜x错误；C选项 x错误；D选项 x错误．所以答案是A． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，关键是理解函数图象与不等式的关系． 10．如图，已知△ABC，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F； ②以点E为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线BM，与CA延长线交于点P，点D为CP延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（　　） A．∠PBC＝2∠ABC B．AF＝AM C．CM⊥BP D．S△APB：S△ACB＝PB：CB 【分析】作图﹣基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，运用相关知识逐项判断即可． 【解答】解：根据作图﹣基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理的相关知识点进行判断如下： 连接AM，AF，ME，FE，过点A作AQ⊥BP于点Q，AN⊥BC于点N， 由作图得，BM＝BF，ME＝FE， 又BE＝BE， ∴△BEM≌△BEF（SSS）， ∴∠PBA＝∠ABC， ∴∠PBC＝2∠ABC，故选项A正确，不符合题意； ∵BM＝BF，∠ABM＝∠ABF，BA＝BA， ∴△ABM≌△ABF（SAS）， ∴AM＝AF，故选项B正确，不符合题意； 无法判断CM⊥BP，故选项C符合题意； ∵∠PBA＝∠ABC，AQ⊥BP，AN⊥BC， ∴AQ＝AN， 又， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 二．填空题（共6小题） 11．计算的值为． 【分析】本题考查算术平方根的计算．算术平方根是一个非负数的正的平方根，根据算术平方根的定义求解． 【解答】因为7×7 ＝ 49，所以 ＝ 7． 【点评】本题考查算术平方根这一基础知识点，关键是理解算术平方根的定义． 12．在学校组织的篮球投篮训练中，甲乙两位同学各投篮15次，平均成绩均相同，甲成绩的方差是，乙成绩的方差是，教练应选择派 （填写甲或乙）出战． 【分析】本题考查方差的应用．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据越稳定． 【解答】因为甲成绩的方差是，乙成绩的方差是，且，即乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩更稳定，教练应选择派乙出战． 【点评】本题考查方差的实际应用，关键是理解方差的意义． 13．已知一次函数的图象经过点（4，3），且与直线y ＝ 3x+2平行，则一次函数的表达式为． 【分析】本题关键在于利用两直线平行斜率相等，先设出一次函数表达式为y ＝ kx+b（k≠0），因为所求一次函数与直线y ＝ 3x+2平行，所以k ＝ 3，再把点（4，3）代入表达式求b的值． 【解答】设所求一次函数表达式为y ＝ kx+b（k≠0），因为与直线y ＝ 3x+2平行，所以k ＝ 3，函数表达式为y ＝ 3x+b．把点（4，3）代入y ＝ 3x+b得：3 ＝ 3×4+b，即3 ＝ 12+b，解得b ＝﹣9．所以一次函数表达式为y ＝ 3x﹣9． 【点评】考查两直线平行时斜率的关系以及用待定系数法求一次函数表达式，注意代入点坐标时计算准确． 14．已知点B（6，0）及第一象限的动点Q（m，n），且m+n ＝ 8，设△OQB的面积为S，则S关于m的函数解析式为；m的取值范围为． 【分析】根据三角形面积公式S ＝ 1/2×底×高，先确定△OQB的底和高，底为OB的长度，高为点Q的纵坐标n，再结合m+n ＝ 8得到n关于m的表达式，进而得到S关于m的函数解析式，根据点Q在第一象限确定m的取值范围． 【解答】因为点B（6，0），所以OB ＝ 6．又因为m+n ＝ 8，所以n ＝ 8﹣m．则△OQB的面积S ＝ 1/2×OB×n ＝ 1/2×6×（8﹣m）＝ 24﹣3m．因为点Q（m，n）在第一象限，所以m＞0，n ＝ 8﹣m＞0，即m＜8．所以m的取值范围是0＜m＜8． 【点评】考查用待定系数法求一次函数解析式以及根据点的位置确定自变量取值范围，关键是理解三角形面积与点坐标的关系． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D，E分别为△ABC中AC，AB边上一点，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F，使得DF∥AB，当点F落在△ABC的高上时，AE＝ 　或　 ． 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，先由勾股定理求出BC＝3，再由三角形的面积公式得CH2.4，进而在Rt△ACH中，由勾股定理得AH＝3.2，再根据DF∥AB及折叠性质∠FDE＝∠AED＝∠ADE，则AE＝AD＝FD，设AE＝AD＝FD＝a，CD＝4﹣a，再分两种情况讨论如下：①当点F落在BC上时，证明△DFC和△ABC相似，由相似三角形性质得AE＝a；②当点F落在CH上时，证明△DFC和△AHC相似，由相似三角形性质得AE＝a，综上所述可的AE或． 【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，如图1所示： ∴∠CHA＝90°， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， 由勾股定理得：BC3， 由三角形的面积公式得：S△ABCAB•CHAC•BC， ∴CH2.4， 在△ACH中，由勾股定理得：AH3.2， ∵DF∥AB， ∴∠FDE＝∠AED， 由折叠性质得：∠FDE＝∠ADE，FD＝AD， ∴∠AED＝∠ADE， ∴AE＝AD， 设AE＝AD＝a， ∴FD＝AD＝a，CD＝AC﹣AD＝4﹣a， ∵DF∥AB， ∴当点F落在△ABC的高上时，有以下两种情况： ①当点F落在BC上时，如图2所示： ∵DF∥AB， ∴△DFC∽△ABC， ∴， ∴， 解得：a， ∴AE＝a； ②当点F落在CH上时，如图3所示： ∵DF∥AB， ∴△DFC∽△AHC， ∴， ∴， 解得：a， ∴AE＝a， 综上所述：AE或． 故答案为：或． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是易错点． 16．已知函数y ＝|x﹣3a|（a为常数），当﹣3≤x≤﹣1时，y有最大值为8，则a的值为． 【分析】本题需根据绝对值函数的性质，对x﹣3a的正负性进行讨论，结合给定的x取值范围，求出y取最大值时a的值． 【解答】①当x﹣3a≥0，即x≥3a时，y ＝ x﹣3a，在﹣3≤x≤﹣1上y随x的增大而增大．若﹣1≥3a，当x ＝﹣1时，y有最大值，即|﹣1﹣3a|＝ 8．当﹣1﹣3a ＝ 8时，﹣3a ＝ 9，a ＝﹣3；当﹣1﹣3a ＝﹣8时，﹣3a ＝﹣7，a ＝ 7/3（此时不满足﹣1≥3a，舍去）．②当x﹣3a＜0，即x＜3a时，y ＝﹣x+3a，在﹣3≤x≤﹣1上y随x的增大而减小．若﹣3＜3a，当x ＝﹣3时，y有最大值，即|﹣3﹣3a|＝ 8．当﹣3﹣3a ＝ 8时，﹣3a ＝ 11，a ＝﹣11/3；当﹣3﹣3a ＝﹣8时，﹣3a ＝﹣5，a ＝ 5/3．综上，a的值为﹣3或﹣11/3或5/3． 【点评】考查一次函数的性质以及绝对值函数的最值问题，注意分类讨论时的取值范围判断． 三．解答题（共8小题） 17．计算（1）；（2）． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，（1）先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）利用多项式乘法法则展开计算． 【解答】（1）．（2）． 【点评】考查二次根式的化简和混合运算，注意计算过程中根式的化简和合并同类项． 18．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（0，3）和（2，0）． （1）求k和b的值； （2）当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝mx+2m（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值且大于﹣7，请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先根据“x＜2时，mx+2m＜kx+b确定m的上限，再结合mx+2m＞﹣7的条件确定m的下限． 【解答】解：（1）把点（0，3）和（2，0）代入y＝kx+b，得：， 将b＝3代入2k+b＝0，得2k+3＝0， ∴， 答：，b＝3； （2）由（1）得，一次函数解析式为， 当x＝2时，，对于x＜2时，恒成立， 将x＝2代入y＝mx+2m，得y＝4m，需满足4m≤0，解得m≤0； 当直线y＝mx+2m与平行时，，此时x＜2时恒满足， ∴m，当x＜2时，mx+2m＞﹣7恒成立； y＝mx+2m＝m（x+2），直线恒过定点（﹣2，0），当x＝2时，y＝4m，需满足4m＞﹣7，解得， 综合，且，则下限取， 综上，． 【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键． 19．某校组织学生参加“希望工程”捐书活动．为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为　50　 ，图①中m的值为　20　 ； （2）求统计的这些学生所捐书本数据的平均数、众数和中位数． 【分析】（1）根据捐1本书的人数和其占比即可求得接受调查的总人数，根据捐4本书的人数除以总人数，即可确定m的值； （2）根据平均数、众数、中位数的意义和计算方法，分别求出结果即可． 【解答】解：（1）总人数为：8÷16%＝50（人）； ∵， ∴m＝20． 故答案为：50，20； （2）平均数为（本）， ∵捐3本的人数最多， ∴众数为3本， 将这50个数据从小到大排列后，第25个和第26个数均为3， ∴中位数是（本）， ∴统计的这些学生所捐书本数据的平均数为2.8本，众数为3本，中位数为3本． 答：统计的这些学生所捐书本数据的平均数为2.8本，众数为3本，中位数为3本． 【点评】本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 20．如图，四边形ABCD是矩形，点E是CB延长线上一点，过点A作DE的垂线交BC于点F．若CF＝BE，求证：四边AEFD是菱形． 【分析】先根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，进而求出AD＝BC＝EF，证明四边形AEFD是平行四边形，利用AF⊥DE证明四边形AEFD是菱形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE， ∴CF+BF＝BE+BF，即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AF⊥DE， ∴四边形AEFD是菱形． 【点评】本题考查了矩形性质、菱形的判定，熟练掌握以上知识点是关键． 21．如图，直线l1与l2相交于点O，所夹的锐角为α，△ABC与△A′B′C′关于直线l1对称． （1）在图中作△A″B″C″，使得△A″B″C″与△A′B′C′关于直线l2对称．（要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹．） （2）第（1）题中的△A″B″C″可以看作是由△ABC经过两次轴对称变换得到，它能由△ABC经过一次图形变换得到吗？如果能，请写出变换过程；如果不能，说明理由． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A′，B′，C′的对应点A″，B″，C″结论； （2）可以通过旋转变换得到． 【解答】解：（1）如图，△A″B″C″即为所求； （2）能．△ABC绕点O逆时针旋转2α度得到△A″B″C″． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质． 22．为迎接“文化节”，某商店准备采购600件纪念品，现有甲、乙两种纪念品可供选择，其中甲种纪念品的进价为90元/件，售价为120元/件：乙种纪念品的进价为72元/件，售价为90元/件，设购进甲种纪念品m（m为整数）件，所购纪念品全部售完时利润为y元．（1）求y关于m的函数关系式；（2）若乙种纪念品的数量不少于甲种纪念品数量的2倍，且利润y不低于12000元，请通过计算说明商店有几种采购方案．（3）若甲种纪念品每件售价降低4a元，乙种纪念品每件售价上涨3a元，在（2）的条件下，最大利润为13000元，求a的值． 【分析】（1）根据利润 ＝ （售价﹣进价）×数量，分别表示出甲、乙两种纪念品的利润，进而得到y关于m的函数关系式；（2）根据乙种纪念品数量与甲种纪念品数量的关系以及利润条件列出不等式组，求解得到m的取值范围，进而确定采购方案；（3）根据售价变化重新计算利润函数，结合最大利润求出a的值． 【解答】（1）购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品（600﹣m）件．甲种纪念品每件利润为120﹣90 ＝ 30元，乙种纪念品每件利润为90﹣72 ＝ 18元．所以y ＝ 30m+18（600﹣m）＝ 30m+10800﹣18m ＝ 12m+10800．（2）由题意得解不等式600﹣m≥2m，得3m≤600，m≤200．解不等式12m+10800≥12000，得12m≥1200，m≥100．所以100≤m≤200，因为m为整数，所以m可以取100，101，…，200，共101种采购方案．（3）甲种纪念品每件售价变为120﹣4a元，乙种纪念品每件售价变为90+3a元．则利润y ＝ （120﹣4a﹣90）m+（90+3a﹣72）（600﹣m）＝ （30﹣4a）m+（18+3a）（600﹣m）＝ （30﹣4a）m+10800+1800a﹣18m﹣3am＝ （12﹣7a）m+10800+1800a．因为100≤m≤200，当12﹣7a＞0，即a＜12/7时，y随m的增大而增大，m ＝ 200时，y有最大值．则（12﹣7a）×200+10800+1800a ＝ 130002400﹣1400a+10800+1800a ＝ 13000400a ＝﹣200a ＝﹣0.5（舍去）．当12﹣7a＜0，即a＞12/7时，y随m的增大而减小，m ＝ 100时，y有最大值．则（12﹣7a）×100+10800+1800a ＝ 130001200﹣700a+10800+1800a ＝ 130001100a ＝ 1000a ＝ 10/11（舍去）．当12﹣7a ＝ 0，即a ＝ 12/7时，y ＝ 10800+1800×12/7≠13000（舍去）．综上，a的值为1． 【点评】考查一次函数在实际问题中的应用，包括函数关系式的建立、不等式组的求解以及根据函数性质求参数值，注意计算过程中数据的准确性和分类讨论． 23．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝12，AC＝16，点E是AB的中点，连接OE，动点P从点A出发，沿A→D运动，同时动点Q从点B出发，沿B→E→O运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接OP，OE，OQ．设运动的时间为x秒，记△BOQ的面积为y1，△POE的面积与动点P运动时间之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象：请写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【分析】（1）根据菱形的性质得到AC⊥BD，AOAC＝8，OBBD＝6，根据勾股定理得到AB10，过O作OH⊥AB于H，根据三角形的面积公式得到OH，当0＜x≤5时，当5＜x≤10时，根据三角形的面积公式得到y1；根据三角形中位线定理得到OE∥AD，求得点P到OE的距离为，根据三角形的面积公式得到y2（0＜x≤10）； （2）根据题意画出函数图象，根据函数的图象得到函数的性质； （3）根据函数的图象即可得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AOAC＝8，OBBD＝6， ∴AB10， ∵点E是AB的中点， ∴OEAB＝5， 过O作OH⊥AB于H， ∴OH， 当0＜x≤5时，y1BQ•OHxx； 当5＜x≤10时，如图， 过B作BH⊥EQ， ∵BE＝OEAB， ∴BH， ∴y1（10﹣x）•x+24， 综上所述，y1； ∵AE＝BE，OB＝OD， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE∥AD， ∴点P到OE的距离为， ∴△POE的面积OE512， ∴y2（0＜x≤10）； （2）函数图象如图所示； 当0＜x≤5，y1随x的增大而增大； （3）由图象知，y1＞y2时x的取值范围2.2＜x＜5.5． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，一次函数的性质，反比例函数的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 24．关于x的一次函数yx+k（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点． 【性质初探】 （1）y随x的增大而　增大　 （填“增大”或“减小”）； （2）求证：△AOB的面积为1； 【归纳提炼】 我们把形如yx+k（k≠0）的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 （3）图象经过点（2，2）的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； （4）已知点P（m，n）不在坐标轴上，若图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个． ①求n关于m的函数解析式； ②选取一个符合条件的点P，并验证该点是线段AB的中点． 【分析】（1）根据k2＞0，可得到y随x的增大而增大， （2）分别求出B（0，k），A（，0），再由△AOB的面积|k|×||＝1即可证明； （3）将点（2，2）代入yx+k中，求出k＝1或k＝﹣2，即可分别求出直线解析式； （4）①将点P（m，n）代入yx+k中，再由图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个，可知Δ＝1+2mn＝0，即可求n； ②取任意m、n满足①，代入验证即可． 【解答】（1）解：∵k2＞0， ∴y随x的增大而增大， 故答案为：增大； （2）证明：当x＝0时，y＝k， ∴B（0，k）， 当y＝0时，x， ∴A（，0）， ∴△AOB的面积|k|×||＝1； （3）存在，理由如下： 将点（2，2）代入yx+k中， ∴k2×2+k＝2， 解得k＝1或k＝﹣2， 当k＝1时，yx+1； 当k＝﹣2时，y＝2x﹣2； （4）解：①将点P（m，n）代入yx+k中， ∴m+k＝n， ∵图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个， ∴Δ＝1+2mn＝0（m≠0）， ∴n； ②取m＝1，则n， ∴P（1，）， ∴k， 解得k＝﹣1， ∴yx﹣1， ∴A（2，0），B（0，﹣1）， ∴AB的中点为（1，）， ∴该点是线段AB的中点． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/27 19:58:56；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $