精品解析：湖北省武汉外国语学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下学期 武汉外国语学校初中二年级期末考试 数学试题 卷面分值：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式中字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线与坐标轴交于两点，则时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，若cm，则的长为（　　）cm A. 10 B. 8 C. 5 D. 6. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 7. 水是生命之源，为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，8，5，6，8，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 6，8 B. 8，2 C. 7，8 D. 8，8 8. 如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点C，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 9. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（ ） A. 48 B. C. 62 D. 10. 如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为18；③当P在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简的结果为______． 12. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，AC＝6，BD＝10，则OE的长为______． 13. 如图，直线和相交于点，则关于x不等式的解集是______． 14. 甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的距离y（单位：）与所用时间x（单位：）之间的函数关系如图所示（粗线表示乙车，细线表示甲车），则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为______． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使A点与C点重合，则折痕的长度为______． 16. 直线与函数图像有且只有两个公共点，则k的取值范围是______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，、分别是上的点且，求证：四边形为平行四边形． 19. 已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，且点A坐标为，直线交x轴于点D，与直线相交于点C． （1）求点C的坐标； （2）求的面积． 20. 某地教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某中学八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中a的值是______；该校八年级学生共有______人，这次抽样调查中学生每学期参加综合实践活动的天数的中位数是______； （2）请补全条形统计图； （3）请你估计该校八年级学生每学期参加综合实践活动的平均天数约是多少？ 21. 已知，点A，B，C都是格点，用无刻度直尺画图： （1）作的中线； （2）作的高； （3）在上作点E，使； （4）点F为与网格线的交点，在上作点D，使． 22. 某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 a 380 940 餐椅 160 已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同． （1）用含a的代数式表示600元购进的餐椅，1300元购进的餐桌数量分别为______，______． （2）求表中a的值； （3）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 已知：正方形，F、H分别是边、上的动点．连接、． 【初步探究】 （1）如图1，连接，若，求证：； 深入探究】 （2）如图2，过F作交于E，过H作交于G，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，求的度数； 【延伸探究】 （3）如图3，P是矩形内一点，且，，，请直接写出的长度． 24. 已知直线交x轴于点，交y轴于点，点． （1）直接写出直线解析式； （2）如图2，点P为直线上第一象限内一点，且，求P点坐标； （3）在直线上是否存在点Q，使．若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期 武汉外国语学校初中二年级期末考试 数学试题 卷面分值：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式中字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，再求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选B 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，明确二次根式中的被开方数是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式运算法则逐项计算即可． 【详解】A.与被开方数不同，不能合并，故A错误； B.，故B错误； C.，故C错误； D.，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的运算法则，准确进行计算． 3. 在中，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】∵在中，，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理，牢记勾股定理（如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么）是解题的关键． 4. 如图，直线与坐标轴交于两点，则时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一次函数图像写出函数值大于0时x的取值范围，具有数形结合的思想并且熟练的掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．根据图像，找到直线与x的交点坐标，观察在x上方的部分即可得到x的取值范围． 【详解】解：由图可知，直线与x轴的交点坐标为， 当时，图像在x轴上方，在与x轴交点的右边， 所以当时， 故选：C 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，若cm，则的长为（　　）cm A. 10 B. 8 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质可求解cm,，再利用含角的直角三角形的性质可求解，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，交于E， 根据勾股定理可得： 故选：D 【点睛】本题考查了含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是：熟记含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形的外角性质． 6. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图： A、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形；故B选项不符合题意； C、，无法判断四边形是平行四边形；故C选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形；故D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 7. 水是生命之源，为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，8，5，6，8，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 6，8 B. 8，2 C. 7，8 D. 8，8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数的知识，理解并掌握众数和中位数的定义是解题关键．根据众数和中位数的定义分别求解，即可获得答案． 【详解】解：将这组数据从小到大排列，为5，6，7，8，8，9，10， 其中排在第4位的是8， ∴这组数据的中位数为8， 这组数据中，出现次数最多的是8，共计2次， ∴这组数据的众数为8． 故选：D． 8. 如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点C，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解题关键．由作图过程可知，结合菱形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：由作图过程可知，， ∴依据是“四条边相等的四边形是菱形”． 故选：B． 9. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（ ） A. 48 B. C. 62 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，设两个小正方形的边长分别为a，b，不妨设，，根据题意，，由完全平方公式求得即可． 【详解】解：设两个小正方形的边长分别为a，b，不妨设，， 根据题意，，， 即， 由得 ， 即， 故选：C． 10. 如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为18；③当P在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，，得到四边形为矩形，推出四边形为正方形，即可判断①；过点作于点，根据题意得到，，根据折叠的性质和矩形性质推出，根据直角三角形性质得到，利用即可判断②；连接，根据三角形三边关系得到，推出当时，取得最小值，利用勾股定理得到，根据，即可判断③；根据已知条件推出、、三点共线，利用平行线性质和折叠的性质，结合等量代换得到，推出，根据勾股定理算出，推出即可判断④． 【详解】解：①四边形为矩形， ， 将沿折叠得到， ，，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形正方形； ①正确； ②过点作于点， 点，点，， ，， ，， ， ， ， 的面积为， ②错误； ③连接， ，，当时，取得最小值， ，， ， ， 的最小值为， ③正确； ④， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ． ④正确； 综上所述，结论正确有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形三边关系，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，30度所对直角边等于斜边的一半，熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】把二次根式化为最简二次根式即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，掌握二次根式的性质是解题的关键． 12. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，AC＝6，BD＝10，则OE的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出OC=3，OD=5，进而利用勾股定理得出CD的长，利用三角形中位线的性质得出OE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=10，AC=6， ∴OC=3，OD=5， ∵∠OCD=90°， ∴， ∵E是BC边的中点，O是BD的中点， ∴2OE=CD， ∴OE=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及中位线定理，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质． 13. 如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线求出P点坐标，不等式的解即为直线OP在直线PQ下方时，对应的x的范围 【详解】 ∵点在上 ∴ 即 故 ∵ 即直线OP在直线PQ下方 由图知，此时 故答案为： 【点睛】本题考查一元一次不等式与一次函数，注意以两直线交点作为分界点去看 14. 甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的距离y（单位：）与所用时间x（单位：）之间的函数关系如图所示（粗线表示乙车，细线表示甲车），则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两车两次相遇的时间，然后作差即可． 【详解】解：设甲乙两地的距离为S km， 则甲车的速度为，乙车的速度为， 甲、乙两车在途中第一次相遇的时间为：， 设甲、乙两车在途中第二次相遇的时间为a min， 则， 解得， ， 即甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使A点与C点重合，则折痕的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理求出，由折叠的性质可得，由垂直平分线的性质可得，设，则，由勾股定理可得，求出的值即可得到的长，再由勾股定理求出的长，再证明即可得到答案． 【详解】解：连接，记的交点为， 四边形是矩形，，， ，，， ， 由折叠的性质得：， 垂直平分， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，是解题的关键． 16. 直线与函数的图像有且只有两个公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；先把函数化为分段函数的形式，再求解当过时，当过时，的值，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ； 而过， 如图， 当过时， ∴， 解得：， 当过时， ∴， 解得：， 此时的图象与的图象平行， ∴直线与函数的图象有且只有两个公共点，k的取值范围是； 故答案为： 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，计算乘方运算，化简绝对值，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平行四边形中，、分别是上的点且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于O，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 19. 已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，且点A坐标为，直线交x轴于点D，与直线相交于点C． （1）求点C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的交点，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）先求出直线的解析式，再和直线的解析式联立，解方程组即可得到结论； （2）先求出点D的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：； 联立直线、的解析式成方程组 为 ，解得 ∴点C的坐标是． 【小问2详解】 解：把代入得：． ∴， ∵，， ∴，点C到距离是2 ， ∴． 20. 某地教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某中学八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中a的值是______；该校八年级学生共有______人，这次抽样调查中学生每学期参加综合实践活动的天数的中位数是______； （2）请补全条形统计图； （3）请你估计该校八年级学生每学期参加综合实践活动的平均天数约是多少？ 【答案】（1）；； （2）补全图形见解析 （3）天 【解析】 【分析】本题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）根据各部分所占的百分比的和等于1列式计算即可求出a的值，根据看2天的人数与所占的百分比列式计算即可求出总人数，将实践活动的天数按照从小到大顺心排列，找出最中间的两个数，求出平均数即可得到中位数； （2）根据所占的百分比分别求出活动时间为5天、7天的学生人数，然后补全统计图即可； （3）直接利用平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴； 八年级学生总数为（人）； 将实践活动的天数按照从小到大顺心排列，找出最中间的两个数都为4； ∴中位数是； 【小问2详解】 解：活动时间为5天人数为（人）， 活动时间为7天的人数为（人）， 补全统计图，如图所示： 【小问3详解】 解：该校八年级学生每学期参加综合实践活动的平均天数约是： （天）； 21. 已知，点A，B，C都是格点，用无刻度直尺画图： （1）作的中线； （2）作的高； （3）在上作点E，使； （4）点F为与网格线的交点，在上作点D，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的中线的定义，利用数形结合的思想作出中线即可； （2）取格点，，，得到，据此即可作出高； （3）取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）； （4）观察图形知，取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）． 【小问1详解】 解：如图，线段，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，线段，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求； 【小问4详解】 解：如图，点即为所求， 22. 某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 a 380 940 餐椅 160 已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同． （1）用含a的代数式表示600元购进的餐椅，1300元购进的餐桌数量分别为______，______． （2）求表中a的值； （3）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元． 【解析】 【分析】（1）利用总价除以单价即可得到答案； （2）根据二者数量相等即可列出关于a的方程，解方程并检验即得结果； （3）设购进餐桌x张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求出x的取值范围，再根据“总利润成套销售的利润零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，然后根据一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：600元购进的餐椅数量为：张，1300元购进的餐桌数量为张； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得：， 经检验：是所列方程解， ∴； 【小问3详解】 解：设购进餐桌x张，则购进餐椅张，销售利润为W元． 由题意得：， 解得：． ∵， ∴餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张． 依题意可知： ， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取最大值，最大值为9200元． 答：购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，解题的关键是：正确理解题意、由数量相等得出关于a的分式方程；根据数量关系找出W关于x的函数解析式，灵活应用一次函数的性质． 23. 已知：正方形，F、H分别是边、上的动点．连接、． 【初步探究】 （1）如图1，连接，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，过F作交于E，过H作交于G，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，求的度数； 【延伸探究】 （3）如图3，P是矩形内一点，且，，，请直接写出的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）如图所示，延长到，使得，连接，证明，再证明，从而可得结论； （2）如图所示，延长到，使得，连接，可证，可得，根据正方形的性质，垂直的性质可得四边形，四边形，四边形，四边形是矩形，设正方形的边长为，，，则，，根据矩形的面积恰好是矩形面积的倍，勾股定理的知识，可求出，根据“边边边”的判定方法可证，由此即可求解． （3）如图，过作，的平行线，交矩形的边于，则矩形被分成4个小矩形，再结合勾股定理可得：，再进一步可得答案． 【详解】证明：（1）如图所示，延长到，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴； （2）如图所示，延长到，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，且四边形是正方形， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形是矩形， 设正方形的边长为，，，则，， ∵矩形的面积恰好是矩形面积的倍， ∴，， ∴，则，， 在中，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图，过作，的平行线，交矩形的边于， 则矩形被分成4个小矩形， ∴，，，， 由勾股定理可得： ， ， ， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查正方形的性质及勾股定理，全等三角形的判定和性质的综合应用，掌握对正方形背景下的辅助线的添加方法，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 已知直线交x轴于点，交y轴于点，点． （1）直接写出直线的解析式； （2）如图2，点P为直线上第一象限内一点，且，求P点坐标； （3）在直线上是否存在点Q，使．若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或； 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）求解直线为，可得，如图，过作于，交直线于，记与直线的交点为，作平分，其反向延长线交轴于，可得，过作于，作于，可得，可得，设，求解，，可得：为：，再进一步可得答案； （3）如图，设，取的中点，可得， 可得，当时满足条件；如图，当在的上方，即在轴的右侧时，没有满足条件的点，如图，在上取使，则，显然，此时没有符合条件的点，如图，当时，，此时符合条件，再进一步利用平行线的性质建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设直线为，而直线交x轴于点，交y轴于点， ∴， 解得：， ∴直线为； 【小问2详解】 解：设直线为，与轴的交点为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当，则， ∴， 如图，过作于，交直线于，记与直线的交点为，作平分，交与点P，其反向延长线交轴于， ∴， ∴， 过作于，作于， ∴， ∴， 设， 由勾股定理， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， 同理可得：为：， 当时，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设，取的中点， ∴， ∵， ∴， ∴当时满足条件； ∵，， ∴， 设直线为， ∴， ∴， 设直线为， 同理可得：， ∵， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∴， 如图，当在的上方，即在轴的右侧时，没有满足条件的点， 如图，在上取使，则， 显然，此时没有符合条件的点， 如图，当时， ∴， 此时符合条件， 同理可得：，，， ∴，， 设为， 同理可得：， 设为：， 同理可得：， ∴， 解得：，经检验符合题意， ∴， 综上：或； 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，勾股定理的应用，角平分线的性质，平行线的性质，待定系数法求解函数解析式，分式方程的解法，本题的难度很大，做出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$