第二周 第3天全称量词与存在量词暑假自学配套同步分层练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 暑假自学同步练习以青铜局、黄金局、王者局分层，通过基础概念辨析、知识综合应用到创新挑战，构建全称量词与存在量词的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|量词表示、命题真假判断|单选/多选结合辨析概念，解答题深化符号应用| |黄金局|集合与量词结合、参数范围|与集合交汇提升知识迁移，参数问题培养推理能力| |王者局|存在性实例构造、含参集合命题|开放题构造实例，含参集合问题发展模型意识|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第二周 第3天 全称量词与存在量词 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.命题“实数的平方不小于零”可以表示为(　　) A.∀x∈R，x2≥0 B.∃x∈R，x2≥0 C.∀x∈R，x2>0 D.∃x∈R，x2>0 答案　A 解析　命题“实数的平方不小于零”为全称量词命题，可以表示为∀x∈R，x2≥0. 2.(多选)下列命题中是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　) A.有一个x∈R，使得x2>3成立 B.对有些x∈R，x2>3成立 C.任选一个x∈R，都有x2>3成立 D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立 答案　ABD 解析　命题“∃x∈R，x2>3”中∃x∈R表示有些、有一个、存在一个、至少有一个的意思，是存在量词命题，故选项A，B，D正确； 选项C中任选一个x∈R，表示对所有的x∈R，是全称量词命题，故选项C不正确. 3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A.∀x∈R，2x+1>0 B.若2x为偶数，则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 答案　C 解析　对A，是全称量词命题，当x=-1时，2x+1=-1<0，所以是假命题，故A不正确； 对B，是全称量词命题，当x=-1时，2x为偶数，但-1∉N，所以是假命题，故B不正确； 对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确. 4.下列命题中的假命题是(　　) A.∃x∈R，|x|=0 B.∃x∈R，2x-10=1 C.∀x∈R，x3>0 D.∀x∈R，x2+1>0 答案　C 解析　当x=0时，x3=0，故选项C为假命题. 5.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使>2 答案　B 解析　A中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；对于B，令n=2，2n2+5n+2=20，能被2整除，所以B是存在量词命题又是真命题；C中，因为+(-)=0，所以C是假命题；D中，对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题. 6.已知命题p：∃x∈R，x2+2x-a=0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.a>-1 B.a<-1 C.a≥-1 D.a≤-1 答案　B 解析　依题意得，方程x2+2x-a=0无实根， 所以必有Δ=4+4a<0，解得a<-1. 7.(多选)下列是真命题的是 (　　) A.存在x∈Q，使4-x2=0 B.存在x∈R，使x2+x+1=0 C.至少有一个正整数是偶数 D.有的有理数没有倒数 答案　ACD 解析　对于选项A，x=2符合题意，选项A为真命题；对于选项B，由于x2+x+1=>0恒成立，选项B为假命题；对于选项C，2符合题意，选项C为真命题；对于选项D，0没有倒数，选项D为真命题. 8.(5分)命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为　　　　　　　　　　　　. 答案　∃x<0，(1+x)(1-9x)2>0 解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”. 9.(5分)若命题“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　由题意，“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题， 根据二次函数的图象与性质， 可得Δ=(-3)2-4×9a<0，解得a>. 10.(10分)判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数t>0且<t；(2分) (2)存在实数x，使得x2-3x-4=0；(2分) (3)存在实数对(x，y)，使得3x-4y-5>0；(3分) (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3分) 解　(1)为全称量词命题，且为假命题， 如取t=1，则<t不成立. (2)为存在量词命题，且为真命题， 因为判别式Δ=b2-4ac=25>0， 所以存在实数x，使得x2-3x-4=0. (3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2，0)，则3x-4y-5>0成立. (4)为全称量词命题，且为真命题. 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)已知集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，则下列命题为真命题的是(　　) A.∃x∈A，x∈B B.∃x∈B，x∉A C.∀x∈A，x∉B D.∀x∈B，x∈A 答案　AD 解析　因为集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，所以B是A的真子集，所以“∃x∈A，x∈B”“∀x∈B，x∈A”为真命题. 12.已知集合A={x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 答案　C 解析　当该命题是真命题时，a≥(x2)max，因为x∈A={x|1≤x≤2}，又当1≤x≤2时，x2的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故a≥5是该命题为真命题的一个充分不必要条件. 13.(5分)已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x+1”，命题q：“∃x∈R，2x2+5x+a=0”，若p，q均是真命题，则实数a的取值范围是　　　　　. 答案　 解析　由∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x+1，得a≥3； 由∃x∈R，2x2+5x+a=0，即方程2x2+5x+a=0有实根，则Δ=25-8a≥0，解得a≤ 又p，q均是真命题， 则3≤a≤所以实数a的取值范围是. 14.(10分)已知命题“∃x∈{x|-3≤x≤2}，3a+x-2=0”为真命题，求实数a的取值范围. 解　由3a+x-2=0，得3a-2=-x， ∵-3≤x≤2，∴-2≤-x≤3， ∴-2≤3a-2≤3，即0≤a≤ 故实数a的取值范围是. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2-ab+b=0”是真命题的一组有序数对(a，b)为　　　　. 答案　(2，4)(答案不唯一) 解析　由a2-ab+b=0，得ab-b=a2，即b(a-1)=a2，则b=(a≠1). 当a=2时，b=4，能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2-ab+b=0”是真命题. 16.(12分)已知M={x|a≤x≤a+1}， (1)若“∀x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围；(6分) (2)若“∃x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)∀x∈M，x+1>0是真命题，即a+1>0，解得a>-1， 所以实数a的取值范围是a>-1. (2)“∃x∈M，x+1>0”是真命题，即a+1+1>0， 解得a>-2， 所以实数a的取值范围是a>-2. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第二周 第3天 全称量词与存在量词 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.命题“实数的平方不小于零”可以表示为(　　) A.∀x∈R，x2≥0 B.∃x∈R，x2≥0 C.∀x∈R，x2>0 D.∃x∈R，x2>0 2.(多选)下列命题中是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　) A.有一个x∈R，使得x2>3成立 B.对有些x∈R，x2>3成立 C.任选一个x∈R，都有x2>3成立 D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立 3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A.∀x∈R，2x+1>0 B.若2x为偶数，则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 4.下列命题中的假命题是(　　) A.∃x∈R，|x|=0 B.∃x∈R，2x-10=1 C.∀x∈R，x3>0 D.∀x∈R，x2+1>0 5.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使>2 6.已知命题p：∃x∈R，x2+2x-a=0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.a>-1 B.a<-1 C.a≥-1 D.a≤-1 7.(多选)下列是真命题的是 (　　) A.存在x∈Q，使4-x2=0 B.存在x∈R，使x2+x+1=0 C.至少有一个正整数是偶数 D.有的有理数没有倒数 8.(5分)命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为　　　　　　　　　　　　. 9.(5分)若命题“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是　　　　. 10.(10分)判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数t>0且<t；(2分) (2)存在实数x，使得x2-3x-4=0；(2分) (3)存在实数对(x，y)，使得3x-4y-5>0；(3分) (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3分) 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)已知集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，则下列命题为真命题的是(　　) A.∃x∈A，x∈B B.∃x∈B，x∉A C.∀x∈A，x∉B D.∀x∈B，x∈A 12.已知集合A={x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 13.(5分)已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x+1”，命题q：“∃x∈R，2x2+5x+a=0”，若p，q均是真命题，则实数a的取值范围是　　　　　. 14.(10分)已知命题“∃x∈{x|-3≤x≤2}，3a+x-2=0”为真命题，求实数a的取值范围. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2-ab+b=0”是真命题的一组有序数对(a，b)为　　　　. 16.(12分)已知M={x|a≤x≤a+1}， (1)若“∀x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围；(6分) (2)若“∃x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围.(6分) 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $