第一周 第2天集合的基本关系 暑假自学配套同步分层练习 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026新高一暑假自学同步分层练习，聚焦集合的基本关系，分青铜、黄金、王者三层，梯度从基础概念到综合应用再到挑战创新，助力知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|单一概念（包含关系、真子集个数、元素与集合关系等）|选择填空为主，夯实抽象能力| |黄金局|综合应用（子集个数计算、非空真子集元素之和、集合关系抽象表达等）|解答题增加，提升推理能力| |王者局|拓展挑战（集合运算生成新集合分析、含参方程集合问题等）|复杂情境题，发展创新意识与应用意识|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第一周 第2天 集合的基本关系 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) 答案　C 解析　由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中. 2.(多选)已知集合A={0，1}，则下列式子正确的是 (　　) A.0∈A B.{1}∈A C.∅⊆A D.{0，1}⊆A 答案　ACD 解析　∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确. 3.已知集合A=则集合A的真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 答案　C 解析　集合A={x|-1<x<3，x∈N}={0，1，2}， 其真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共7个. 4.已知集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}，那么集合M={2，3，4}与Q的关系是(　　) A.MQ B.M，Q互不包含 C.QM D.Q=M 答案　A 解析　∵集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}={2，3，4，5，6}，又集合M={2，3，4}， ∴MQ. 5.已知集合A={x|-1≤x≤1}，B={x|a-1≤x≤2a-1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|0≤a≤1} D.{a|0<a<1} 答案　A 解析　当B=∅，即2a-1<a-1，即a<0时，满足B⊆A； 当B≠∅，即a-1≤2a-1，即a≥0时，要使B⊆A， 则满足解得0≤a≤1. 综上，a≤1. 6.(多选)已知集合A={2，-1}，集合B={m2-m，-1}，若A⊆B且B⊆A，则实数m等于(　　) A.2 B.-1 C.-2 D.4 答案　AB 解析　∵A⊆B且B⊆A，∴A=B， ∴m2-m=2，解得m=2或m=-1. 7.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由题意知，A={1，2}，B={1，2，3，4}.又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. 8.(5分)已知a是实数，若集合{x|x2+x+a=0}是任何集合的子集，则a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　由题意知，集合{x|x2+x+a=0}是空集，即方程x2+x+a=0无解， 则Δ=1-4a<0，解得a>. 9.(5分)已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+p<0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是　　　　. 答案　{p|p≥4} 解析　集合A={x|x<-1或x>2}， B={x|4x+p<0}= 若B⊆A，则-≤-1，即p≥4， 则实数p的取值范围是{p|p≥4}. 10.(10分) 已知集合A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，试写出集合A的所有子集. 解　因为A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}， 所以A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 所以集合A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 黄金局 提能力·融会贯通 11.已知M=则集合M的子集个数是(　　) A.8 B.16 C.32 D.64 答案　B 解析　因为∈N， 又x∈N，所以x=7，6，4，0， 所以集合M={7，6，4，0}， 所以集合M的子集个数为24=16. 12.已知集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.6 答案　C 解析　集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集有：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}， 故3(a1+a2+a3)=9，即a1+a2+a3=3. 13.集合M={x|x=5k-2，k∈Z}，P={x|x=5n+3，n∈Z}，S={x|x=10m+3，m∈Z}之间的关系是(　　) A.SPM B.S=PM C.SP=M D.P=MS 答案　C 解析　由题意知M={…，-7，-2，3，8，13，18，…}，P={…，-7，-2，3，8，13，18，…}，S={…，-7，3，13，23，…}，故SP=M. 14.(10分)设集合A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}. (1)若a=试判定集合A与B的关系；(5分) (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C.(5分) 解　(1)A={x|x2-8x+15=0}={5，3}， 当a=时，B={5}，元素5是集合A={5，3}中的元素， 集合A={5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以BA. (2)当a=0时，由题意得B=∅，又A={3，5}，故B⊆A； 当a≠0时，B=又A={3，5}，B⊆A，此时=3或=5，则有a=或a=. 所以C=. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(多选)已知集合A={1，2，4，8}，B={z|z=xy，x∈A，y∈A}，则下列四个结论正确的是(　　) A.AB B.{1，4，16，64}⊆B C.集合B中元素的个数为8 D.集合B的真子集的个数为127 答案　ABD 解析　∵集合A={1，2，4，8}，∴集合B={z|z=xy，x∈A，y∈A}={1，2，4，8，16，32，64}，∴AB，A正确；{1，4，16，64}⊆B，B正确；集合B中元素的个数为7，C错误；集合B的真子集的个数为27-1=127，D正确. 16.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x-4=0}. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；(5分) (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)由于A中有两个元素， ∴关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=9+16a>0，且a≠0，即a>-且a≠0. 故实数a的取值范围是. (2)集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素， 即方程ax2-3x-4=0无解或只有一解， 当a=0时，方程为-3x-4=0，解得x=-集合A=； 当a≠0时，若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根，则A中只有一个元素， 此时a=-； 若关于x的方程ax2-3x-4=0没有实数根，则A中没有元素，此时a<-. 综上可知，实数a的取值范围是. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第一周 第2天 集合的基本关系 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) 2.(多选)已知集合A={0，1}，则下列式子正确的是 (　　) A.0∈A B.{1}∈A C.∅⊆A D.{0，1}⊆A 3.已知集合A=则集合A的真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 4.已知集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}，那么集合M={2，3，4}与Q的关系是(　　) A.MQ B.M，Q互不包含 C.QM D.Q=M 5.已知集合A={x|-1≤x≤1}，B={x|a-1≤x≤2a-1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|0≤a≤1} D.{a|0<a<1} 6.(多选)已知集合A={2，-1}，集合B={m2-m，-1}，若A⊆B且B⊆A，则实数m等于(　　) A.2 B.-1 C.-2 D.4 7.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知a是实数，若集合{x|x2+x+a=0}是任何集合的子集，则a的取值范围是　　　　. 9.已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+p<0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是　　　　. 10.已知集合A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，试写出集合A的所有子集. 黄金局 提能力·融会贯通 11.已知M=则集合M的子集个数是(　　) A.8 B.16 C.32 D.64 12.已知集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.6 13.集合M={x|x=5k-2，k∈Z}，P={x|x=5n+3，n∈Z}，S={x|x=10m+3，m∈Z}之间的关系是(　　) A.SPM B.S=PM C.SP=M D.P=MS 14.设集合A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}. (1)若a=试判定集合A与B的关系； (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(多选)已知集合A={1，2，4，8}，B={z|z=xy，x∈A，y∈A}，则下列四个结论正确的是(　　) A.AB B.{1，4，16，64}⊆B C.集合B中元素的个数为8 D.集合B的真子集的个数为127 16.已知集合A={x∈R|ax2-3x-4=0}. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $