第一周 第4天 全集、补集及综合运用 暑假自学配套同步分层练习 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层递进设计，从基础概念到综合应用再到创新挑战，通过青铜、黄金、王者三局实现全集与补集知识的螺旋式巩固，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|全集、补集的基本运算|基础选择填空为主，结合Venn图（题4）和简单方程（题5），夯实概念理解| |黄金局|集合运算与实际问题、子集关系|综合解答题，含多选（题12）和分类讨论（题14），提升逻辑推理能力| |王者局|集合元素个数（card函数）、方程与集合综合|抽象问题与创新题型，如集合基数运算（题15），培养创新意识与数学思维|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第一周 第4天 全集、补集及综合运用 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.已知集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则∁AB等于(　　) A.{x|x是菱形} B.{x|x是内角都不是直角的菱形} C.{x|x是正方形} D.{x|x是邻边都不相等的矩形} 2.(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B=则∁A(A∩B)等于(　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 3.设集合S={x|x>-2}，T={x|-4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(　　) A.{x|-2<x≤1} B.{x|x≤-4} C.{x|x≤1} D.{x|x≥1} 4.已知全集U=R，集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|-2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3} 5.设集合U={1，2，3，4}，M={x|x2-7x+p=0}，若∁UM={1，2}，则实数p的值为(　　) A.-6 B.-12 C.12 D.6 6.已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)=∅，则M∪N等于(　　) A.M B.N C.R D.∅ 7.(多选)下列说法中，当U为全集时，正确的是(　　) A.若A∩B=∅，则(∁UA)∪(∁UB)=U B.若A∩B=∅，则A=∅或B=∅ C.若A∪B=U，则(∁UA)∩(∁UB)=∅ D.若A∪B=∅，则A=B=∅ 8.(5分)已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，B={2，3，4}，则∁U(A∩B)=　　　　　　. 9.(5分)已知全集U=R，集合A={x|x<-1}，B={x|2a<x<a+3}，且B⊆∁RA，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 10.(10分)设全集为R，A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}， 求：(1)A∩B；(3分)(2)∁RA；(3分) (3)∁R(A∪B).(4分) 黄金局 提能力·融会贯通 11.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% 12.(多选)设全集U={1，2，3，4，5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T={2}，(∁US)∩T={4}，(∁US)∩(∁UT)={1，5}，则有(　　) A.3∈S B.3∈∁US C.3∈T D.3∈∁UT 13.(5分)已知集合S={x|0<x<9}，集合A={x|8<x<10}，B={x|a<x<2a-1}，若(∁SB)∩A={x|8<x<9}，则实数a的取值范围是　　　　. 14.(11分)已知集合A={x|a<x<a+1}，B={x|0≤x≤2}. (1)若a=1，求A∪B；(4分) (2)在①A∩B=∅，②(∁RB)∩A=∅，③B∪(∁RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.(7分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，已知全集U=A∪B，D=(∁UA)∪(∁UB)，card(U)=m，card(D)=n，若A∩B非空，则card(A∩B)等于(　　) A.mn B.m+n C.n-m D.m-n 16.(12分)设全集U=R，集合A={x|x2+4x+a=0}，B={x|x2+bx-2=0}. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数a的值；(4分) (2)若(∁UA)∩B={2}，(∁UB)∩A={-3}，求A∪B.(8分) 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第一周 第4天 全集、补集及综合运用 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.已知集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则∁AB等于(　　) A.{x|x是菱形} B.{x|x是内角都不是直角的菱形} C.{x|x是正方形} D.{x|x是邻边都不相等的矩形} 答案　B 解析　由集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则∁AB={x|x是内角都不是直角的菱形}. 2.(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B=则∁A(A∩B)等于(　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 答案　D 解析　因为A={1，2，3，4，5，9}， B={x|∈A}， 所以B={1，4，9，16，25，81}， 则A∩B={1，4，9}，∁A(A∩B)={2，3，5}. 3.设集合S={x|x>-2}，T={x|-4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(　　) A.{x|-2<x≤1} B.{x|x≤-4} C.{x|x≤1} D.{x|x≥1} 答案　C 解析　因为S={x|x>-2}，所以∁RS={x|x≤-2}，又T={x|-4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}. 4.已知全集U=R，集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|-2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3} 答案　D 解析　由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤3}={x|-1≤x≤3}. 5.设集合U={1，2，3，4}，M={x|x2-7x+p=0}，若∁UM={1，2}，则实数p的值为(　　) A.-6 B.-12 C.12 D.6 答案　C 解析　由于集合U={1，2，3，4}，M={x|x2-7x+p=0}，∁UM={1，2}， 故M={3，4}，即x2-7x+p=0的两实根为3，4， 故p=3×4=12. 6.已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)=∅，则M∪N等于(　　) A.M B.N C.R D.∅ 答案　A 解析　∵N∩(∁RM)=∅，∴N⊆M，∴M∪N=M. 7.(多选)下列说法中，当U为全集时，正确的是(　　) A.若A∩B=∅，则(∁UA)∪(∁UB)=U B.若A∩B=∅，则A=∅或B=∅ C.若A∪B=U，则(∁UA)∩(∁UB)=∅ D.若A∪B=∅，则A=B=∅ 答案　ACD 解析　因为A∩B=∅，(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)=∁U∅=U，故A正确；A∩B=∅，例如A={1，2}，B={3，4}，A∩B=∅，但A≠∅且B≠∅，故B错误；A∪B=U，(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)=∁UU=∅，故C正确；A∪B=∅，则A，B都是∅，故D正确. 8.(5分)已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，B={2，3，4}，则∁U(A∩B)=　　　　　　. 答案　{1，2，5} 解析　A∩B={3，4}，所以∁U(A∩B)={1，2，5}. 9.(5分)已知全集U=R，集合A={x|x<-1}，B={x|2a<x<a+3}，且B⊆∁RA，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 答案　 解析　由题意得∁RA={x|x≥-1}.①若B=∅，则a+3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA；②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥-1且2a<a+3，解得-≤a<3.综上，实数a的取值范围为. 10.(10分)设全集为R，A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}， 求：(1)A∩B；(3分)(2)∁RA；(3分) (3)∁R(A∪B).(4分) 解　(1)∵A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}， ∴A∩B={x|3≤x<7}. (2)∵全集为R，A={x|3≤x<7}，∴∁RA={x|x<3或x≥7}. (3)∵A∪B={x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}. 黄金局 提能力·融会贯通 11.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% 答案　C 解析　设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x， 用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图， 则(60%-x)+(82%-x)+x=96%，解得x=46%. 12.(多选)设全集U={1，2，3，4，5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T={2}，(∁US)∩T={4}，(∁US)∩(∁UT)={1，5}，则有(　　) A.3∈S B.3∈∁US C.3∈T D.3∈∁UT 答案　AD 解析　因为S∩T={2}，所以2∈S，且2∈T，又(∁US)∩T={4}，所以4∉S，4∈T，又(∁US)∩(∁UT)={1，5}，所以∁U(S∪T)={1，5}，所以1，5∉(S∪T)，3∈(S∪T)，3∉(S∩T)，若3∈T，则3∉S，3∈(∁US)∩T，与(∁US)∩T={4}矛盾，所以3∈S，3∉T，3∈∁UT. 13.(5分)已知集合S={x|0<x<9}，集合A={x|8<x<10}，B={x|a<x<2a-1}，若(∁SB)∩A={x|8<x<9}，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　当B=∅时，2a-1≤a，得a≤1， 此时∁SB=S，(∁SB)∩A=S∩A={x|8<x<9}，符合题意； 当B≠∅时，2a-1>a，得a>1， 因为S={x|0<x<9}，B={x|a<x<2a-1}， 所以∁SB={x|0<x≤a或2a-1≤x<9}， 因为(∁SB)∩A={x|8<x<9}， 所以2a-1≤8，得a≤ 所以当B≠∅时，1<a≤ 综上所述，实数a的取值范围是. 14.(11分)已知集合A={x|a<x<a+1}，B={x|0≤x≤2}. (1)若a=1，求A∪B；(4分) (2)在①A∩B=∅，②(∁RB)∩A=∅，③B∪(∁RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)当a=1时，A={x|1<x<2}， B={x|0≤x≤2}，所以A∪B={x|0≤x≤2}. (2)若选①A∩B=∅，则a+1≤0或a≥2， 解得a≤-1或a≥2. 若选②(∁RB)∩A=∅，∁RB={x|x<0或x>2}， 所以解得0≤a≤1. 若选③B∪(∁RA)=R，∁RA={x|x≤a或x≥a+1}， 所以解得0≤a≤1. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，已知全集U=A∪B，D=(∁UA)∪(∁UB)，card(U)=m，card(D)=n，若A∩B非空，则card(A∩B)等于(　　) A.mn B.m+n C.n-m D.m-n 答案　D 解析　card(A∩B)=card(A∪B)-card(D)=card(U)-card(D)=m-n. 16.(12分)设全集U=R，集合A={x|x2+4x+a=0}，B={x|x2+bx-2=0}. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数a的值；(4分) (2)若(∁UA)∩B={2}，(∁UB)∩A={-3}，求A∪B.(8分) 解　(1)∵集合A中恰有一个元素， ∴Δ=16-4a=0，解得a=4. (2)∵(∁UA)∩B={2}， ∴2∈B，则4+2b-2=0，解得b=-1. ∵(∁UB)∩A={-3}， ∴-3∈A，则9-12+a=0，解得a=3. 则A={x|x2+4x+3=0}={-1，-3}， B={x|x2-x-2=0}={-1，2}， 检验可知(∁UA)∩B={2}，(∁UB)∩A={-3}成立. ∴A∪B={-3，-1，2}. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $