2.2.2 有理数的除法 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件围绕有理数除法展开，通过“4小时气温下降12℃”的生活情境导入，以除法是乘法逆运算为学习支架，衔接有理数乘法知识，引导学生探究除法法则。 其亮点在于以数学眼光抽象现实问题，用数学思维推导法则（如逆向归纳符号规律），借数学语言解决实际问题（如例8公司盈亏计算）。分场景教学结合分层练习，助学生理解本质提升运算能力，也为教师提供系统教学资源。

2.2.2 有理数的除法 人教版七年级数学上册 · 第二章 有理数的运算 1.7.2013 同学们好！今天我们将学习第二章的内容——有理数的除法。在小学我们学过除法是乘法的逆运算，引入负数后，除法运算会有哪些新的变化呢？让我们一起从课本中寻找答案。 ‹#› 情境引入：生活中的平均分问题 在实际生活中，我们经常会遇到涉及负数的计算，比如气温的升降、海拔的高低等。温度计的刻度变化直观展示了正负数值的意义。 问题情境：某地的气温在4个小时内均匀地下降了12℃。那么，平均每小时气温下降了多少摄氏度呢？这是一个典型的将“总量”按“时间”平均分的问题。 逻辑分析与列式： “下降12℃”记为-12℃，“4个小时”记为+4。将总下降温度平均分到每一小时，需用除法运算，列式为： (-12) ÷ 4 = ? 这个包含负数的除法算式，结果应该是多少呢？它的计算规则与正数除法有什么联系和区别？ 1.7.2013 我们来看一个生活中的例子。计算平均每小时下降的温度，我们会遇到一个新问题：负数除以正数。这个算式该如何计算呢？这就是我们今天要学习的内容。 ‹#› 新知探究（一）：除法是乘法的逆运算 01 逆向推导：由乘法想除法 因为 (-3) × 4 = -12， 所以 (-12) ÷ 4 =-3 因为 3 × (-4) = -12， 所以 (-12) ÷ (-4) =3 因为 (-3) × (-4) = 12， 所以 12 ÷ (-4) =-3 因为 0 × (-5) = 0， 所以 0 ÷ (-5) =0 02 观察总结：符号的奥秘 异号两数相除： “负正得负，正负得负” 同号两数相除： “负负得正，正正得正” 特别注意：0除以任何一个不等于0的数，都得0。 法则归纳：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数都得0。 1.7.2013 我们利用除法是乘法逆运算的思想来解决问题。通过观察一系列算式，我们发现了有理数除法的第一个法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。这个法则和乘法法则非常相似。 ‹#› 新知探究（二）：除以一个数等于乘以它的倒数 第一组算式：正数除数 (-12) ÷ 4 = -3 (-12) × () = -3 计算发现：两个算式结果相等，除法转化为乘法后符号和数值均一致。 第二组算式：负数除数 (-12) ÷ (-4) = 3 (-12) × (- ) = 3 计算发现：同样满足结果相等，符号由“负负得正”的乘法法则确定。 核心结论：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。用字母表示为：a ÷ b = a × ()（其中 b ≠ 0）。 场景一：能整除时 优先使用“先定符号，再算绝对值”的法则一，计算步骤更简洁直接。 场景二：不能整除时 特别是除数为分数或小数时，用法则二“化除为乘”，将除法转化为乘法运算更简便。 1.7.2013 当遇到不能整除的情况，比如除数是分数时，我们需要一个更通用的方法。通过观察，我们发现了一个惊人的结论：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。这个法则非常强大，可以将除法运算转化为我们熟悉的乘法运算。 ‹#› 有理数除法法则总览 法则一：整除适用 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。这是有理数除法最基础的运算规则，核心在于先定符号，再算数值。适用于结果为整数的情况。 法则二：转化运算 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。公式表示为： a ÷ b = a × () (b ≠ 0) 特别注意事项 1. 0除以任何一个不等于0的数，结果都为0。 2. 0不能作除数，因为以0为除数的运算无意义。 核心口诀：符号先判定，数值再计算；遇除变乘倒，零除要记牢。 1.7.2013 现在，我们总结一下有理数除法的法则。我们有两个法则，法则一适用于能整除的情况，法则二适用于除数是分数或小数的情况。同时，我们要牢记两个关键点：0除以任何非0数都得0，以及0不能作除数。 ‹#› 例题解析（一）：基础计算 例4 (1)：整数除法 —— 异号两数相除 解：原式 = -(36 ÷ 9) = -4 思路：两数相除，异号得负，并把绝对值相除。直接利用有理数除法法则一进行计算。 例4 (2)：分数除法 —— 化除为乘 解：原式 = (- ) × (- ) = 思路：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。先确定符号为正，再将除法转化为乘法进行约分计算。 题目：(-36) ÷ 9 题目：(- ) ÷ (- ) 1.7.2013 我们来看课本上的例4，这两个小题分别对应了不同类型的除法运算。第一题用法则一，第二题用法则二。 ‹#› 例题解析（二）：分数形式的化简 解：原式 = (-2) ÷ 3 = -(2 ÷ 3) = - 。 这里利用了“异号两数相除得负”的法则，将分数转化为除法运算进行化简。 解：原式 = (-45) ÷ (-12) = 45 ÷ 12 = 。 同号两数相除得正，再将分子分母约分，得到最简分数形式。 分数与除法的关系：分数可以看作是两个整数相除的形式，分数线相当于除号，分子是被除数，分母是除数。 有理数的定义形式：有理数是形如 （p, q 是整数，且 q≠0）的数，整数和分数统称有理数。 例5 (1) 化简： 例5 (2) 化简： 1.7.2013 来看例5，这里我们学习了如何化简分数形式的有理数。这也告诉我们，有理数都可以写成分数的形式。 ‹#› 课堂练习（一） 1. 基础计算：直接应用法则 （1） (-18) ÷ 6 = ； （2）(-63) ÷ (-7) = ； （3） 1 ÷ (-9) = ； （4） 0 ÷ (-8) = ； （5） (-6.5) ÷ 0.13 = ； （6） (- ) ÷ (- ) = . -3 9 - 0 -50 3 2. 分数化简：转化为乘法约分 （1） - = ； （2） = ； （3） = ； （4） = 。 -8 0 - 1.7.2013 好了，学了这么多，我们来做几道课本上的练习题巩固一下。这些题目都是对我们今天所学法则的直接应用，请大家认真完成。 ‹#› 例题解析（三）：简便运算与混合运算 例6 (1) 计算：(- 125) ÷ (-5) 解：原式 = (125 + ) × = 125 × + × = 25 + = 25。 将带分数拆分，利用乘法分配律，避免大数除法的繁琐。 例6 (2) 计算：-2.5 ÷ × (- ) 解：原式 = × × = 1。 先将小数化分数、除法变乘法，确定符号后，通过约分快速得出结果，是乘除混合运算的常用技巧。 1.7.2013 来看例6，这里我们运用了乘法分配律和运算律来简化计算。对于乘除混合运算，我们可以将除法转化为乘法，然后进行简便运算。 ‹#› 混合运算法则 有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 例7 (1) 计算：-8 + 4 ÷ (-2) 例7 (2) 计算：(-7)×(-5)-90÷(-15) 解：原式 = -8 + (-2) = -10 解：原式 = 35 - (-6) = 35 + 6 = 41 1.7.2013 当加减乘除混合在一起时，我们要遵循“先乘除，后加减”的运算顺序。来看例7，我们先计算乘除，再计算加减。 ‹#› 例题解析（四）：实际应用 例8：某公司去年1—3月平均每月亏损1.5万元，4—6月平均每月盈利32万元，7—10月平均每月盈利21.7万元，11—12月平均每月亏损2.3万元。试计算该公司去年全年的盈亏总额。 【解题关键】用正负数表示相反意义的量：记盈利额为正数，亏损额为负数，将实际问题转化为有理数的混合运算问题。 解：(-1.5)×3 + 32×3 + 21.7×4 + (-2.3)×2 = -4.5 + 96 + 86.8 - 4.6 =173.7(万元) 答：这个公司去年全年盈利 173.7 万元。 1.7.2013 来看例8，这是一个实际应用问题。通过有理数的混合运算，我们可以计算出公司全年的盈亏情况。 ‹#› 课堂练习（二） 1.计算： （1） ÷(-6)； （2）(-36)÷9； （3）(-12)÷(-4)÷(-1)； （4）(- )×÷(-0.25). 解：原式= - ( × ) = - 解：原式= ( -36 )× = - (36× + × ) =-(4+)= - 4 解：原式= - (12× ×) = - (3×) = - 解：原式= × × 4 = 1.7.2013 继续完成课本上的练习。这些题目综合运用了乘法法则和运算律，希望大家能灵活运用今天所学的知识来解决它们。 ‹#› 课堂练习（二） 2.计算： （1）6-(-12)÷(-3)； （2）3×(-4)+(-28)÷7； （3）(-48)÷8-(-25)×(-6)； （4）42×(- )+( - )÷(-0.5). 解：原式= 6-(12÷3) =6-4 =2 解：原式= -(3×4)+[-(28÷7)] = -12+(-4) = -16 解：原式= - (48÷8)-(25×6) =-6-150 =-156 解：原式= - (42×)+( ×2) = -28+ = -26 1.7.2013 继续完成课本上的练习。这些题目综合运用了乘法法则和运算律，希望大家能灵活运用今天所学的知识来解决它们。 ‹#› 课堂练习（二） 3.用计算器计算： （1）357+(-154)+26+(-212) （2）-5.13+4.62+(-8.47)-(-2.3) （3）26×(-41)+(-35)×(-17) （4）1.252÷(-44)-(-356)÷(-0.196)（结果保留小数点后三位） =17 = - 6.68 = - 471 = - 1816.355 1.7.2013 继续完成课本上的练习。这些题目综合运用了乘法法则和运算律，希望大家能灵活运用今天所学的知识来解决它们。 ‹#› 课程总结 核心概念：倒数 乘积为1的两个数互为倒数，这是连接除法与乘法的关键桥梁。 核心法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以一个非0数，等于乘这个数的倒数。简言之：先定符号，再算绝对值。 ⚠️ 特别注意：0除以任何非0数都得0；0不能作除数，运算中需时刻警惕。 1.7.2013 课程结束，我们来回顾一下。今天我们学习了有理数除法的两个法则，记住“先定符号，再算绝对值”。更重要的是，我们再次运用了“转化”这一重要的数学思想，将除法问题转化为乘法问题来解决。 ‹#› 课后作业 知识回顾 复习本节课核心内容，重点熟记有理数除法的法则与相关运算律，理解其推导逻辑。 习题巩固 完成课时作业，课本习题2.2，在练习中检验对除法运算的掌握程度。 新知预习 自主预习下一节内容：有理数的乘方。尝试思考乘方与乘法运算之间的联系与区别。 下课！希望大家能用今天学到的知识去解决更多的数学问题～ 1.7.2013 今天的课就到这里。课后请大家完成作业，巩固今天所学。希望大家能用今天学到的知识去解决更多的数学问题！同学们再见！ ‹#› $