2.2.2+有理数的除法 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数除法法则，通过生活中气温下降的平均分问题导入，从正数除法过渡到负数除法，引导学生观察式子组发现除法与乘法的转化关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过观察归纳和逆向推导发展数学思维，用字母表示法则及实际应用强化数学语言。如气温问题抽象算式，例题中分数化简和公司盈亏计算，助学生理解本质提升运算能力，教师可直接用实例和练习提高教学效率。

2.2.2 有理数的除法 第1课时 有理数的除法法则 学习目标 1.认识有理数的除法，经历除法的运算过程. 2.理解有理数的除法法则，体验除法与乘法的转化关系. 3.掌握有理数的除法及乘除混合运算. 学习重难点 掌握有理数的除法及乘除混合运算. 掌握有理数的除法及乘除混合运算. 难点 重点 情境引入：生活中的平均分问题 在实际生活中，我们经常会遇到涉及负数的计算，比如气温的升降、海拔的高低等。温度计的刻度变化直观展示了正负数值的意义。 问题情境：某地的气温在4个小时内均匀地下降了12℃。那么，平均每小时气温下降了多少摄氏度呢？这是一个典型的将“总量”按“时间”平均分的问题。 逻辑分析与列式： “下降12℃”记为-12℃，“4个小时”记为+4。将总下降温度平均分到每一小时，需用除法运算，列式为： (-12) ÷ 4 = ? 这个包含负数的除法算式，结果应该是多少呢？它的计算规则与正数除法有什么联系和区别？ 1.7.2013 我们来看一个生活中的例子。计算平均每小时下降的温度，我们会遇到一个新问题：负数除以正数。这个算式该如何计算呢？这就是我们今天要学习的内容。 ‹#› (1) (+6)÷(+2)= +3 +3 (2) (+6)÷(-2)= -3 -3 观察下列两组式子，你能找到它们的共同点吗？ “÷”变“×” “÷”变“×” 互为倒数 互为倒数 思考：从中你能得出什么结论？ 有理数除法法则一 用字母表示： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 新知探究（一）：除法是乘法的逆运算 01 逆向推导：由乘法想除法 因为 (-3) × 4 = -12， 所以 (-12) ÷ 4 =-3 因为 3 × (-4) = -12， 所以 (-12) ÷ (-4) =3 因为 (-3) × (-4) = 12， 所以 12 ÷ (-4) =-3 因为 0 × (-5) = 0， 所以 0 ÷ (-5) =0 02 观察总结：符号的奥秘 异号两数相除： “负正得负，正负得负” 同号两数相除： “负负得正，正正得正” 特别注意：0除以任何一个不等于0的数，都得0。 法则归纳：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数都得0。 1.7.2013 我们利用除法是乘法逆运算的思想来解决问题。通过观察一系列算式，我们发现了有理数除法的第一个法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。这个法则和乘法法则非常相似。 ‹#› 新知探究（二）：除以一个数等于乘以它的倒数 第一组算式：正数除数 (-12) ÷ 4 = -3 (-12) × () = -3 计算发现：两个算式结果相等，除法转化为乘法后符号和数值均一致。 第二组算式：负数除数 (-12) ÷ (-4) = 3 (-12) × (- ) = 3 计算发现：同样满足结果相等，符号由“负负得正”的乘法法则确定。 核心结论：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。用字母表示为：a ÷ b = a × ()（其中 b ≠ 0）。 场景一：能整除时 优先使用“先定符号，再算绝对值”的法则一，计算步骤更简洁直接。 场景二：不能整除时 特别是除数为分数或小数时，用法则二“化除为乘”，将除法转化为乘法运算更简便。 1.7.2013 当遇到不能整除的情况，比如除数是分数时，我们需要一个更通用的方法。通过观察，我们发现了一个惊人的结论：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。这个法则非常强大，可以将除法运算转化为我们熟悉的乘法运算。 ‹#› 怎样计算8÷(-4)呢？ 8÷（-4）＝ 8×(－)＝ －2 于是 8×(－) 8÷(-4)＝ －2 因为（-2）×（-4）=8 所以8÷（-4）=-2 换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘？ （1）（－10）÷（－2）=+5 （－10）×（－）=+5 （2）（+6）÷（-2）＝-3 6×(－)＝-3 观察下列两组式子，你能找到它们的共同点吗？ “÷”变“×” “÷”变“×” 互为倒数 互为倒数 ☀你发现了什么？ 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 有理数除法法则二 注意：有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用，对于同一个除法运算，用不同的法则计算，所得的结果是相同的. 提示：1.有理数的除法没有交换律、结合律，更没有分配律. 2.两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是 -1，则这两个数互为相反数. 到现在为止我们有了两个除法法则，那么这两个法则是不是都可以用于解决两数相除呢？ 两个法则都可以用来求两个有理数相除.如果两数相除，能够整除的就选择法则二，不能够整除的就选择用法则一. 思考： 归纳： 有理数除法法则总览 法则一：整除适用 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。这是有理数除法最基础的运算规则，核心在于先定符号，再算数值。适用于结果为整数的情况。 法则二：转化运算 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。公式表示为： a ÷ b = a × () (b ≠ 0) 特别注意事项 1. 0除以任何一个不等于0的数，结果都为0。 2. 0不能作除数，因为以0为除数的运算无意义。 核心口诀：符号先判定，数值再计算；遇除变乘倒，零除要记牢。 1.7.2013 现在，我们总结一下有理数除法的法则。我们有两个法则，法则一适用于能整除的情况，法则二适用于除数是分数或小数的情况。同时，我们要牢记两个关键点：0除以任何非0数都得0，以及0不能作除数。 ‹#› 例题解析（一）：基础计算 例4 (1)：整数除法 —— 异号两数相除 解：原式 = -(36 ÷ 9) = -4 思路：两数相除，异号得负，并把绝对值相除。直接利用有理数除法法则一进行计算。 例4 (2)：分数除法 —— 化除为乘 解：原式 = (- ) × (- ) = 思路：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。先确定符号为正，再将除法转化为乘法进行约分计算。 题目：(-36) ÷ 9 题目：(- ) ÷ (- ) 1.7.2013 我们来看课本上的例4，这两个小题分别对应了不同类型的除法运算。第一题用法则一，第二题用法则二。 ‹#› 有理数除法法则1： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 用字母表示：a÷b＝a×(b≠0) 利用上面的除法法则计算下列各题： （1) 27÷(－9)＝ （2) (-72)÷(－9)＝ （3) 0÷(－2)＝ （4) 48÷(－6)＝ （5) (－18)÷6＝ （7) (－27)÷(－9)＝ －3 8 0 －8 －3 3 思考：从上面我们能发现商的符号及其绝对值与除数、被除数有什么关系？ 例1 计算：（1）（-36） 9； （2） . 解：（1）（-36） 9= - (36 9)= - 4； （2） 例题示范 例题示范 例2 化简： 例题解析（二）：分数形式的化简 解：原式 = (-2) ÷ 3 = -(2 ÷ 3) = - 。 这里利用了“异号两数相除得负”的法则，将分数转化为除法运算进行化简。 解：原式 = (-45) ÷ (-12) = 45 ÷ 12 = 。 同号两数相除得正，再将分子分母约分，得到最简分数形式。 分数与除法的关系：分数可以看作是两个整数相除的形式，分数线相当于除号，分子是被除数，分母是除数。 有理数的定义形式：有理数是形如 （p, q 是整数，且 q≠0）的数，整数和分数统称有理数。 例5 (1) 化简： 例5 (2) 化简： 1.7.2013 来看例5，这里我们学习了如何化简分数形式的有理数。这也告诉我们，有理数都可以写成分数的形式。 ‹#› 例题解析（三）：简便运算与混合运算 例6 (1) 计算：(- 125) ÷ (-5) 解：原式 = (125 + ) × = 125 × + × = 25 + = 25。 将带分数拆分，利用乘法分配律，避免大数除法的繁琐。 例6 (2) 计算：-2.5 ÷ × (- ) 解：原式 = × × = 1。 先将小数化分数、除法变乘法，确定符号后，通过约分快速得出结果，是乘除混合运算的常用技巧。 1.7.2013 来看例6，这里我们运用了乘法分配律和运算律来简化计算。对于乘除混合运算，我们可以将除法转化为乘法，然后进行简便运算。 ‹#› 有理数除法法则2： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0 例1 计算：(1)(－36)÷9； (2)(－)÷(－). 解：(1)(－36)÷9＝－(36÷9)＝－4； (2)(－)÷(－)＝(－)×(－)＝. 计算：＝________； （提醒：带有分数线的数可以理解为分子除以分母.） 解：＝(－3)÷6＝ ＝ . 一般地，根据有理数的除法，形如（p，q是整数，q≠0）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式(整数可以看成分母为1的分数).这样，有理数就是形如（p，q是整数，q≠0）的数. －(3÷6) － （1）有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算； （2）乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）. 方法归纳 知识点2 有理数的乘除混合运算 新知引入 1.有理数的乘除混合运算按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的. 2.有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果. 注意：有理数的乘除混合运算中，将除法转化为乘法，可根据负因数的个数确定积的符号，同时将小数化为分数、带分数化为假分数，方便约分；还可应用乘法运算律简化运算。 例题解析（四）：实际应用 例8：某公司去年1—3月平均每月亏损1.5万元，4—6月平均每月盈利32万元，7—10月平均每月盈利21.7万元，11—12月平均每月亏损2.3万元。试计算该公司去年全年的盈亏总额。 【解题关键】用正负数表示相反意义的量：记盈利额为正数，亏损额为负数，将实际问题转化为有理数的混合运算问题。 解：(-1.5)×3 + 32×3 + 21.7×4 + (-2.3)×2 = -4.5 + 96 + 86.8 - 4.6 =173.7(万元) 答：这个公司去年全年盈利 173.7 万元。 1.7.2013 来看例8，这是一个实际应用问题。通过有理数的混合运算，我们可以计算出公司全年的盈亏情况。 ‹#› 课堂练习（二） 1.计算： （1） ÷(-6)； （2）(-36)÷9； （3）(-12)÷(-4)÷(-1)； （4）(- )×÷(-0.25). 解：原式= - ( × ) = - 解：原式= ( -36 )× = - (36× + × ) =-(4+)= - 4 解：原式= - (12× ×) = - (3×) = - 解：原式= × × 4 = 1.7.2013 继续完成课本上的练习。这些题目综合运用了乘法法则和运算律，希望大家能灵活运用今天所学的知识来解决它们。 ‹#› 课堂练习（二） 2.计算： （1）6-(-12)÷(-3)； （2）3×(-4)+(-28)÷7； （3）(-48)÷8-(-25)×(-6)； （4）42×(- )+( - )÷(-0.5). 解：原式= 6-(12÷3) =6-4 =2 解：原式= -(3×4)+[-(28÷7)] = -12+(-4) = -16 解：原式= - (48÷8)-(25×6) =-6-150 =-156 解：原式= - (42×)+( ×2) = -28+ = -26 1.7.2013 继续完成课本上的练习。这些题目综合运用了乘法法则和运算律，希望大家能灵活运用今天所学的知识来解决它们。 ‹#› 2.有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算. (2)两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. 1.有理数除法法则 (1)除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. (3)0除以任何一个不等于0的数，都得0. 归纳小结 课程总结 核心概念：倒数 乘积为1的两个数互为倒数，这是连接除法与乘法的关键桥梁。 核心法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以一个非0数，等于乘这个数的倒数。简言之：先定符号，再算绝对值。 ⚠️ 特别注意：0除以任何非0数都得0；0不能作除数，运算中需时刻警惕。 1.7.2013 课程结束，我们来回顾一下。今天我们学习了有理数除法的两个法则，记住“先定符号，再算绝对值”。更重要的是，我们再次运用了“转化”这一重要的数学思想，将除法问题转化为乘法问题来解决。 ‹#› 法则1 有理数除法 两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除. 法则2 注意 0除以任何一个不等于0的数，都得0 a÷b＝a×(b≠0) $