第二周 第2天 充要条件 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步分层练习（第二周第2天充要条件），以青铜局、黄金局、王者局三级分层设计，通过基础概念辨析、综合应用深化到创新情境挑战，构建从单一到综合的知识巩固路径，培养数学逻辑推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|充要条件基本概念、简单逻辑关系判断|结合企鹅游泳、电路图等情境题，通过选择、填空、证明题夯实基础，体现数学眼光| |黄金局|充要条件与集合、方程根分布的综合应用|通过多命题判断、集合关系分析题提升逻辑思维，培养数学思维| |王者局|新定义运算、充要条件证明的创新应用|以新运算情境题和证明题挑战高阶思维，发展创新意识|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第二周 第2天 充要条件 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.已知x∈R，则“x2=x+6”是“x=”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由于“x2=x+6”，则“x=±”， 故“x2=x+6”是“x=”的必要不充分条件. 2.巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”.若啾啾是一只鸟，则“啾啾是巴布亚企鹅”是“啾啾会游泳”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种， 则“啾啾是巴布亚企鹅”可以推出“啾啾会游泳”， 但“啾啾会游泳”并不能推出“啾啾是巴布亚企鹅”. 所以“啾啾是巴布亚企鹅”是“啾啾会游泳”的充分不必要条件. 3.设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q⇏p，因为r是q的必要不充分条件，所以q⇒r且r⇏q，因为s是r的充要条件，所以s⇒r且r⇒s，如图，所以p⇒s且s⇏p，故s是p的必要不充分条件. 4.已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1<x<6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|1<a<2} B.{a|1≤a≤2} C.{a|0<a<1} D.{a|0<a≤1} 答案　C 解析　因为p是q的充分不必要条件， 所以 解得0<a<1.所以实数a的取值范围是{a|0<a<1}. 5.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是(　　) 答案　C 解析　对于A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；对于B，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；对于C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；对于D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件. 6.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的充分不必要条件可以是(　　) A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1，3，5} D.x≤0或x>2 答案　BC 解析　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干中所给集合的真子集，只有B，C满足题意. 7.(多选)设集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx-2=0}，则下列可作为BA的充分不必要条件的是(　　) A.m∈{0，1} B.m∈ C.m∈ D.m∈{1} 答案　ABD 解析　A={x|x2+x-6=0}={2，-3}， 当BA时，①若B=∅，则m=0；②若B≠∅，则B={2}或B={-3}，对应的m=1或m=- 故当BA时，实数m的取值集合为. 所以满足可作为BA的充分不必要条件的实数m的取值集合为的非空真子集. 8.(5分)设a，b∈R，则“a2+b2=0”的充要条件为　　　　　. 答案　a=b=0(与此等价的形式亦可) 解析　因为a，b∈R，若a2+b2=0， 则a2=b2=0，即a=b=0； 若a=b=0，则a2+b2=0， 所以“a2+b2=0”的充要条件是“a=b=0”. 9.(5分)已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　　. 答案　{k|k<-2} 解析　p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3， 设集合A={x|2k-1≤x≤3}，B={x|-5≤x≤3}， 因为p是q的必要不充分条件，所以BA， 所以2k-1<-5，解得k<-2. 所以实数k的取值范围是{k|k<-2}. 10.(10分)求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 证明　充分性：因为a+b+c=0， 所以c=-a-b，代入方程ax2+bx+c=0， 得ax2+bx-a-b=0，即(x-1)(ax+a+b)=0. 所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1， 所以x=1满足方程ax2+bx+c=0， 所以a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0. 故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 黄金局 提能力·融会贯通 11.下列命题正确的是(　　) A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件 B.“a+b=0”是“=-1”的充要条件 C.“x≠±1”是“|x|≠1”的必要不充分条件 D.“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件 答案　D 解析　由x>5⇒x>3，由x>3⇏x>5，所以“x>3”是“x>5”的必要不充分条件，故A错误；当a=b=0时，a+b=0，但不存在，所以“a+b=0”不是“=-1”的充分条件，故B错误；当x≠±1时，|x|≠1，反过来也成立，所以“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件，故C错误；由A∪B=B得A⊆B，所以A∩B=A，反之，若A∩B=A，则A⊆B，进而得A∪B=B，故“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件，故D正确. 12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2，则“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当x1=1，x2=5时，满足x1·x2>4且x1+x2>4，但得不到x1>2且x2>2， 若x1>2且x2>2，则x1·x2>4且x1+x2>4， 所以“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的必要不充分条件. 13.(多选)设全集为S，集合A，B⊆S，下列四个命题，是命题A⊆B的充要条件的是(　　) A.A∪B=B B.∁SB⊆∁SA C.∩A=∅ D.∩B=∅ 答案　ABC 解析　当A∪B=B时，A⊆B；当A⊆B时，A∪B=B，A满足题意； 当∁SB⊆∁SA时，A⊆B；当A⊆B时，∁SB⊆∁SA，B满足题意； 当(∁SB)∩A=∅时，A⊆B；当A⊆B时，(∁SB)∩A=∅，C满足题意； 当(∁S A)∩B=∅时，B⊆A，D不满足题意. 14.(10分)已知非空集合A={x|2a-1<x<3a+1}，B={x|-1<x<4}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；(5分) (2)是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(5分) 解　(1)非空集合A={x|2a-1<x<3a+1}，集合B={x|-1<x<4}. 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B， 所以解得0≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}. (2)假设存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件，那么A=B，则必有无解. 故不存在实数a，使得A=B， 即不存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.设m，n∈R，定义一种新运算：当mn≥0时，m⊗n=m+n；当mn<0时，m⊗n=|m+n|.例如-6⊗4=2，则“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a⊗b=-1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当a=0，b=-1或a=-1，b=0时，ab=0，由当mn≥0时，m⊗n=m+n知，a⊗b=-1+0=-1；当a⊗b=-1时，根据定义可知ab≥0，所以a+b=-1，故只要满足ab≥0且a+b=-1即可，比如a=b=-时，a⊗b=-1，所以“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a⊗b=-1”的充分不必要条件. 16.(12分)已知a，b是正实数，求证：+2=的充要条件是a+b=1. 证明　必要性：若+2= 则 即a2+a+b2+b+2ab=2， 即(a+b)2+(a+b)-2=0， 即(a+b-1)(a+b+2)=0， 因为a，b是正实数， 所以a+b+2>0，所以a+b-1=0， 即a+b=1. 充分性：若a+b=1， 则+2= = =. 故+2=的充要条件是a+b=1. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第二周 第2天 充要条件 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.已知x∈R，则“x2=x+6”是“x=”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”.若啾啾是一只鸟，则“啾啾是巴布亚企鹅”是“啾啾会游泳”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1<x<6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|1<a<2} B.{a|1≤a≤2} C.{a|0<a<1} D.{a|0<a≤1} 5.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是(　　) 6.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的充分不必要条件可以是(　　) A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1，3，5} D.x≤0或x>2 7.(多选)设集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx-2=0}，则下列可作为BA的充分不必要条件的是(　　) A.m∈{0，1} B.m∈ C.m∈ D.m∈{1} 8.(5分)设a，b∈R，则“a2+b2=0”的充要条件为　　　　　. 9.(5分)已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　　. 10.(10分)求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 黄金局 提能力·融会贯通 11.下列命题正确的是(　　) A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件 B.“a+b=0”是“=-1”的充要条件 C.“x≠±1”是“|x|≠1”的必要不充分条件 D.“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件 12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2，则“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.(多选)设全集为S，集合A，B⊆S，下列四个命题，是命题A⊆B的充要条件的是(　　) A.A∪B=B B.∁SB⊆∁SA C.∩A=∅ D.∩B=∅ 14.(10分)已知非空集合A={x|2a-1<x<3a+1}，B={x|-1<x<4}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；(5分) (2)是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(5分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.设m，n∈R，定义一种新运算：当mn≥0时，m⊗n=m+n；当mn<0时，m⊗n=|m+n|.例如-6⊗4=2，则“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a⊗b=-1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.(12分)已知a，b是正实数，求证：+2=的充要条件是a+b=1. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $